2023-2024学年广东省广州市越秀区铁一中学八年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州市越秀区铁一中学八年级上学期期中数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列四个手机软件图标中，属于轴对称图形的是()
A． B． C． D． 2．（3 分）下列运算正确的是()
A． a2  a3  a5
B． a2 a2  2a2
C． 6a5  3a3  2a2
D． (a2 )3  a5
3．（3 分）如图， AE / / DF ， AE  DF ，则添加下列条件还不能使EAC  FDB 的为()
AB  CD
E  F
EC  BF
ACE  DBF
4．（3 分）设三角形 ABC 与某长方形相交于如图所示的 A 、 E 、 D 、 F 点，如果C  90 ， B  30 ，
BAF  15 ，那么CDE  ()
A． 35B． 40C． 45D． 50
5．（3 分）已知点 P(a  b, 3) 、Q(2, b) 关于 y 轴对称，则 ab 的值是()
A． 1
B．2C． 3
D．3
6．（3 分）如图，已知ABC 中，点 D 、 E 分别是边 BC 、 AB 的中点．若ABC 的面积等于 8，则BDE
的面积等于()
A．2B．3C．4D．5
7．（3 分）已知(a  b)2  25 ， (a  b)2  9 ，则 ab  ()
A．16B．8C．4D．1
8．（3 分）如图， ABC  AED ，点 D 在 BC 边上．若EAB  50 ，则ADE 的度数是()
A． 50B． 60C． 65D． 30
9．（3 分）已知ABC(AC  BC) ，用尺规作图的方法在 BC 上确定一点 P ，使 PA  PC  BC ，则符合要求的作图痕迹是()
A． B．
C． D．
10．（3 分）如图， AB  BE ， DBC  1 ABE ， BD  AC ，下列结论正确的有()
2
① BC 平分DCE ；
② ABE  ECD  180 ；
③ AC  2BE  CE ；
④ AC  2CD  CE ．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．）
11．（3 分）若一个多边形的每个外角均为 40 ，则这个多边形的边数为 ．
12．（3 分）等腰三角形的一个角是80 ，则它的底角是 ．
13．（3 分）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E ，交 AC 于点 D ，连接 BD ，若 AB  AC  8 ，
BCD 的周长为 13，则 BC ．
14．（3 分）如图，从边长为(a  4)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a  1)cm 的正方形(a  0) ，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为 ．
15．（3 分）如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边 AB 上，AC 与
DE 交于点 M ，如果BDF  103 ，则AMD 的度数为．
16．（3 分）如图，点 D 是FAB 内的定点且 AD  2 ，若点C 、E 分别是射线 AF 、AB 上异于点 A 的动点，且CDE 周长的最小值是 2 时， FAB 的度数是．
三、解答题（本大题满分 102 分，共 9 小题）
17．（9 分）计算：①化简： (2x)3 (xy2 )  4x ； ②若 xm  2 ， xn  3 ，求 x2mn 的值．
18．（9 分）已知：如图， AB  AC ， BD  CE ．求证： AD  AE ．
19．（10 分）（1）解方程： x(x  3)  22  (x  9)(x  1) ；
（2）先化简，再求值： (2x  y)2  (x  2 y)(x  2 y)  3x(x  y) ，其中 x   1 ， y  2 ．
2
20．（10 分）如图，在ABC 中，AB  AC ，BAC  120 ，AD 是 BC 上的中线，E 是 AC 的中点，连接 DE ．
求证： ADE 为等边三角形；
若 AD  3 ，求 AB 的长．
21．（12 分）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为 1．格点三角形 ABC （顶点是网格线交点的三角形）的顶点 A ， C 的坐标分别是(4, 6) ， (1, 4) ．
请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
请画出ABC 关于 x 轴对称的△ A1 B1C1 ，直接写出点 A1 ， B1 ， C1 的坐标；
请在 y 轴上求作一点 P ，使△ PB1C 的周长最小，写出 P 的坐标．
22．（12 分）如图，在ABC 中， AD 平分BAC 交 BC 于点 D ， DE  AB ， DF  AC ，垂足为 E 、 F ．
若 SABD  10 ， AB  5 ，求 DF 的长度；
连接 EF ，求证： AD  EF ．
23．（12 分）如图，在四边形 ABCD 中， AD  AB 且 AD  AB  CD ，连接 AC ．
尺规作图：作ADC 的平分线 DE 交 AC 于点 E ；（保留作图痕迹，不写作法． )
在（1）的基础上，若 AC  BC ，求证： DE  2BC ．
24．（14 分）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
如图①中，若ABC 和ADE 互为“兄弟三角形”， AB  AC ，AD  AE ．写出BAD ，BAC 和BAE
之间的数量关系，并证明．
如图②， ABC 和ADE 互为“兄弟三角形”， AB  AC ， AD  AE ，点 D 、点 E 均在ABC 外，连接 BD 、CE 交于点 M ，连接 AM ，求证： AM 平分BME ．
如图③，若 AB  AC ， BAC  ADC  60 ，试探究B 和C 的数量关系，并说明理由．
25．（14 分）如图，在三角形 ABC 中， ABC  90 ， AB  BC ，点 A ， B 分别在坐标轴上．
如图①，若点C 的横坐标为3 ，点 B 的坐标为；
如图②，若 x 轴恰好平分BAC ，BC 交 x 轴于点 M ，过点C 作CD 垂直 x 轴于 D 点，试猜想线段CD与 AM 的数量关系，并说明理由；
如图③，OB  BF ，OBF  90 ，连接CF 交 y 轴于 P 点，点 B 在 y 轴的正半轴上运动时，BPC 与
AOB 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
2023-2024 学年广东省广州市越秀区铁一中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．（3 分）下列四个手机软件图标中，属于轴对称图形的是()
A． B． C． D．
【解答】解： A 、不是轴对称图形，故此选项错误；
B 、是轴对称图形，故此选项正确； C 、不是轴对称图形，故此选项错误； D 、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选： B ．
2．（3 分）下列运算正确的是()
A． a2  a3  a5
B． a2 a2  2a2
C． 6a5  3a3  2a2
D． (a2 )3  a5
【解答】解： A 、 a2 和 a3 不能合并，故原题计算错误；
B 、 a2 a2  a4 ，故原题计算错误；
C 、 6a5  3a3  2a2 ，故原题计算正确； D 、(a2 )3  a6 ，故原题计算错误； 故选： C ．
3．（3 分）如图， AE / / DF ， AE  DF ，则添加下列条件还不能使EAC  FDB 的为()
AB  CD
E  F
EC  BF
ACE  DBF
【解答】解： AE / / DF ，
A  D ，
A ．当 AB  CD 时， AB  BC  CD  BC ，即 AC  DB ， 根据 SAS 可以判定EAC  FDB ；
故 A 不符合题意；
B ．当E  F 时，根据 ASA 可以判定EAC  FDB ；故 B 不符合题意；
C ．当 EC  BF 时，不能判定EAC  FDB 符合题意；
D ．当ACE  DBF 时，根据 AAS 可以判定EAC  FDB 不符合题意； 故选： C ．
4．（3 分）设三角形 ABC 与某长方形相交于如图所示的 A 、 E 、 D 、 F 点，如果C  90 ， B  30 ，
BAF  15 ，那么CDE  ()
A． 35B． 40C． 45D． 50
【解答】解：B  30 ， BAF  15 ，
CFA  B  BAF  30  15  45 ，
 DE / / AF ，
CDE  CFA  45 ， 故选： C ．
5．（3 分）已知点 P(a  b, 3) 、Q(2, b) 关于 y 轴对称，则 ab 的值是()
A． 1
B．2C． 3
D．3
【解答】解：点 P(a  b, 3) 、Q(2, b) 关于 y 轴对称，
 a  b  2 ， b  3 ， 解得 a  1 ， b  3 ，
 ab  1 (3)  3 ． 故选： C ．
6．（3 分）如图，已知ABC 中，点 D 、 E 分别是边 BC 、 AB 的中点．若ABC 的面积等于 8，则BDE
的面积等于()
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：点 D 是边 BC 的中点， ABC 的面积等于 8，
 SABD
 1 S
2
ABC
 4 ，
 E 是 AB 的中点，
 SBDE
 1 S
2
ABD
 1  4  2 ，
2
故选： A ．
7．（3 分）已知(a  b)2  25 ， (a  b)2  9 ，则 ab  ()
A．16B．8C．4D．1
【解答】解：(a  b)2  25 ， (a  b)2  9 ，
 a2  2ab  b2  25 ， a2  2ab  b2  9 ，
4ab  (a2  2ab  b2 )  (a2  2ab  b2 )  25  9  16 ，
 ab  4 ， 故选： C ．
8．（3 分）如图， ABC  AED ，点 D 在 BC 边上．若EAB  50 ，则ADE 的度数是()
A． 50B． 60C． 65D． 30
【解答】解：ABC  AED ，
BAC  EAD ， EDA  C ， AD  AC ，
DAC  EAB  50 ，
ADE  ADC  C  65 ， 故选： C ．
9．（3 分）已知ABC(AC  BC) ，用尺规作图的方法在 BC 上确定一点 P ，使 PA  PC  BC ，则符合要求的作图痕迹是
()
A．
B．
C．
D．
【解答】解： A 、如图所示：此时 BA  BP ，则无法得出 AP  BP ，故不能得出 PA  PC  BC ，故此选项错误；
B 、如图所示：此时 PA  PC ，则无法得出 AP  BP ，故不能得出 PA  PC  BC ，故此选项错误； C 、如图所示：此时CA  CP ，则无法得出 AP  BP ，故不能得出 PA  PC  BC ，故此选项错误； D 、如图所示：此时 BP  AP ，故能得出 PA  PC  BC ，故此选项正确；
故选： D ．
10．（3 分）如图， AB  BE ， DBC  1 ABE ， BD  AC ，下列结论正确的有( )
2
① BC 平分DCE ；
② ABE  ECD  180 ；
③ AC  2BE  CE ；
④ AC  2CD  CE ．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【解答】解：延长CD ，以 B 为圆心， BC 长为半径画弧，交CD 的延长线于点 F ，则 BF  BC ，过点 B 作
BG  CE ，交CE 的延长线于点G ，
 BF  BC ， BD  AC ，
 DF  DC ， DBC  DBF  1 FBC ，
2
DBC  1 ABE ，
2
FBC  ABE ，
FBA  CBE ， 在FAB 和CEB 中，
BF  BC

FBA  CBE ，

 AB  BE
FAB  CEB (SAS ) ，
BFA  BCE ，
 BF  BC ，
BFA  BCD ，
BCD  BCE ，
 BC 平分DCE ， 故①正确，符合题意；
 FBC  BFA  BCD  180 ，
ABE  BCE  BCD  180 ，
ABE  ECD  180 ， 故②正确，符合题意；
 BD  AC ， BG  CE ，
BDC  BGC  90 ， 在BDC 和BGC 中，
BDC  BGC

BCD  BCE ，

BC  BC
BDC  BGC (AAS ) ，
 CD  CG ， BD  BG ， 在RtABD 和RtEBG 中，
 AB  BE

BD  BG，
RtABD  RtEBG(HL) ，
 AD  GE ，
 AC  AD  DC ，
 AC  AD  CG  AD  GE  CE  2GE  CE ，
 GE  BE ，
 AC  2BE  CE ，
故③错误，不符合题意；
 AC  CF  AF ，
 AC  2CD  CE ， 故④正确，符合题意；
综上，正确符合题意的为①②④， 故选： C ．
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．）
11．（3 分）若一个多边形的每个外角均为 40 ，则这个多边形的边数为 9．
【解答】解： 360  40  9 ， 故答案为：9．
12．（3 分）等腰三角形的一个角是80 ，则它的底角是 50 或80 ．
【解答】解：由题意知，分两种情况：
（1）当这个80 的角为顶角时，则底角 (180  80)  2  50 ；
（2）当这个80 的角为底角时，则另一底角也为80 ． 故答案为： 50 或80 ．
13．（3 分）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E ，交 AC 于点 D ，连接 BD ，若 AB  AC  8 ，
BCD 的周长为 13，则 BC  5．
【解答】解： DE 是 AB 的垂直平分线，
 DA  DB ，
 BCD 的周长为 13，
 BD  CD  BC  13 ，
 AD  CD  BC  13 ，
 AC  BC  13 ，
 AB  AC  8 ，
 BC  13  8  5 ， 故答案为：5．
14．（3 分）如图，从边长为(a  4)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a  1)cm 的正方形(a  0) ，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为 (6a  15)cm2 ．
【解答】解：矩形的面积为：
(a  4)2  (a 1)2
 (a2  8a  16)  (a2  2a  1)
 a2  8a  16  a2  2a  1
 6a  15 ．
故答案为： (6a  15)cm2 ，
15．（3 分）如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边 AB 上，AC 与
DE 交于点 M ，如果BDF  103 ，则AMD 的度数为 88 ．
【解答】解： A ， D ， B 三点共线，
ADM  EDF  BDF  180 ，
ADM  180  EDF  BDF  180  30  103  47 ． 在ADM 中， A  45 ， ADM  47 ，
AMD  180  A  ADM  180  45  47  88 ． 故答案为： 88 ．
16．（3 分）如图，点 D 是FAB 内的定点且 AD  2 ，若点C 、E 分别是射线 AF 、AB 上异于点 A 的动点，且CDE 周长的最小值是 2 时， FAB 的度数是 30 ．
【解答】解：如图，作 D 点分别关于 AF 、 AB 的对称点G 、 H ，连接GH 分别交 AF 、 AB 于C 、 E ， 连接 DC ， DE ，
此时CDE 周长最小为 DC  DE  CE  GH  2 ，
根据轴对称的性质，得 AG  AD  AH  2 ， DAF  GAF ， DAB  HAB ，
 AG  AH  GH  2 ，
AGH 是等边三角形，
GAH  60 ，
FAB  1 GAH  30 ，
2
故答案为： 30 ．
三、解答题（本大题满分 102 分，共 9 小题）
17．（9 分）计算：
①化简： (2x)3 (xy2 )  4x ；
②若 xm  2 ， xn  3 ，求 x2mn 的值．
【解答】解：①原式 (8x3 )  (xy2 )  4x
 8x4 y2  4x
 2x3 y2 ；
② xm  2 ， xn  3 ，
 x2mn  x2m  xn  (xm )2  xn  22  3  12 ．
18．（9 分）已知：如图， AB  AC ， BD  CE ．求证： AD  AE ．
【解答】证明： AB  AC ， BD  CE ，
ABC  ACB ．
ADB  AEC (SAS ) ．
 AD  AE ．
19．（10 分）（1）解方程： x(x  3)  22  (x  9)(x  1) ；
（2）先化简，再求值： (2x  y)2  (x  2 y)(x  2 y)  3x(x  y) ，其中 x   1 ， y  2 ．
2
【解答】解：（1） x(x  3)  22  (x  9)(x  1) ，
x2  3x  22  x2  10x  9
13x  13 ，
x  1 ；
（2）原式 4x2  4xy  y2  x2  4 y2  3x2  3xy
 7xy  5y2 ，
当 x   1 ， y  2 时，原式 13 ．
2
20．（10 分）如图，在ABC 中，AB  AC ，BAC  120 ，AD 是 BC 上的中线，E 是 AC 的中点，连接 DE ．
求证： ADE 为等边三角形；
若 AD  3 ，求 AB 的长．
【解答】（1）证明： AB  AC ， BAC  120 ，
B  C  30 ，
 AD 是 BC 边上的中线，
 AD  BC ，
ADB  90 ，
ADC  90 ，
 E 是 AC 的中点，
 DE  AE  1 AC ，
2
CAD  BAD  1 BAC  60 ，
2
ADE 是等边三角形；
（2）解： AB  AC ， BAC  120 ，
B  C  30 ，
 AD 是 BC 边上的中线，
 AD  BC ，
ADB  90 ，
 AB  2 AD  2  3  6 ，
 AB 的长是 6．
21．（12 分）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为 1．格点三角形 ABC （顶点是网格线交点的三角形）的顶点 A ， C 的坐标分别是(4, 6) ， (1, 4) ．
请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
请画出ABC 关于 x 轴对称的△ A1 B1C1 ，直接写出点 A1 ， B1 ， C1 的坐标；
请在 y 轴上求作一点 P ，使△ PB1C 的周长最小，写出 P 的坐标(0, 2) ．
【解答】解：（1）如图 1 所示；
如图 2，即为所求；
点 A1 ， B1 ， C1 的坐标为点 A1 (4, 6) ， B1 (2, 2) ， C1 (1, 4) ；
作点 B1 关于 y 轴的对称点 B2 ，连接C 、 B2 交 y 轴于点 P ，则点 P 即为所求．
设直线CB2 的解析式为 y  kx  b(k  0) ，
C(1, 4) ， B2 (2, 2) ，
k  b  4k  2
 2k  b  2 ，解得b  2 ，

直线CB2 的解析式为： y  2x  2 ，
当 x  0 时， y  2 ，
 P(0, 2) ．
故答案为： (0, 2) ．
22．（12 分）如图，在ABC 中， AD 平分BAC 交 BC 于点 D ， DE  AB ， DF  AC ，垂足为 E 、 F ．
若 SABD  10 ， AB  5 ，求 DF 的长度；
连接 EF ，求证： AD  EF ．
【解答】（1）解 AD 平分BAC 交 BC 于点 D ， DE  AB ， DF  AC ，
 DE  DF ，
 SABD
 1  AB  ED  10 ， AB  5 ，
2
 DE  4 ，
 DF  4 ．
（2）证明：连接 EF 交 AD 于 M ，
 AD 平分BAC 交 BC 于点 D ， DE  AB ， DF  AC ，
EAD  FAD ， DE  FD （角平分线的性质），
 DE  AB ， DF  AC ，
AED  AFD ，
EDA  FDA ，
在EMD 和FMD 中，
DM  DM

EDM  FDM ，

ED  FD
EMD  FMD (SAS ) ，
EMD  FMD ，
EMD  FMD  180 ，
EMD  FMD  90 ，
 AD  EF ．
23．（12 分）如图，在四边形 ABCD 中， AD  AB 且 AD  AB  CD ，连接 AC ．
尺规作图：作ADC 的平分线 DE 交 AC 于点 E ；（保留作图痕迹，不写作法． )
在（1）的基础上，若 AC  BC ，求证： DE  2BC ．
【解答】（1）解：如图，射线 AE 即为所求．
（2）证明： DA  DC ， DE 平分ADC ，
 AE  ECM ， DE  AC
 AD  AB ， AC  CB ，
AED  DAB  ACB  90 ，
DAE  BAC  90 ， BAC  B  90 ，
DAE  B ，
在DEA 和ACB 中，
DEA  ACB

DAE  B，

 AD  BA
DEA  ACB(AAS ) ，
 DE  AC ， AE  BC ，
 DE  2BC ．
24．（14 分）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
如图①中，若ABC 和ADE 互为“兄弟三角形”， AB  AC ，AD  AE ．写出BAD ，BAC 和BAE
之间的数量关系，并证明．
如图②， ABC 和ADE 互为“兄弟三角形”， AB  AC ， AD  AE ，点 D 、点 E 均在ABC 外，连接 BD 、CE 交于点 M ，连接 AM ，求证： AM 平分BME ．
如图③，若 AB  AC ， BAC  ADC  60 ，试探究B 和C 的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）解： BAD  BAC  BAE ，
理由如下：ABC 和ADE 互为“兄弟三角形”，
BAC  DAE ，
BAC  DAC  DAE  DAC ，即CAE  BAD ，
BAD  BAC  CAE  BAC  BAE ；
（2）证明：如图②，过点 A 作 AG  DM 于G ， AH  EM 于 H ，
ABC 和ADE 互为“兄弟三角形”，
BAC  DAE ，
BAC  DAC  DAE  DAC ，即CAE  BAD ， 在BAD 和CAE 中，
AB  AC

BAD  CAE ，

 AD  AE
BAD  CAE (SAS ) ，
 AG  DM ， AH  EM ，
 AG  AH ，
 AG  DM ， AH  EM ，
 AM 平分BME ．
（3） B  C  180 ，
理由如下：如图③，延长 DC 至点 P ，使 DP  AD ，
ADP  60 ，
ADP 为等边三角形，
 AD  AP ， DAP  60 ，
BAC  60 ，
BAD  CAP ， 在BAD 和CAP 中，
 AB  AC

BAD  CAP ，

 AD  AP
BAD  CAP(SAS ) ，
B  ACP ，
ACD  ACP  180 ，
B  ACD  180 ．
25．（14 分）如图，在三角形 ABC 中， ABC  90 ， AB  BC ，点 A ， B 分别在坐标轴上．
如图①，若点C 的横坐标为3 ，点 B 的坐标为(0, 3) ；
如图②，若 x 轴恰好平分BAC ，BC 交 x 轴于点 M ，过点C 作CD 垂直 x 轴于 D 点，试猜想线段CD与 AM 的数量关系，并说明理由；
如图③，OB  BF ，OBF  90 ，连接CF 交 y 轴于 P 点，点 B 在 y 轴的正半轴上运动时，BPC 与
AOB 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
【解答】解：（1）如图①，过点C 作CH  y 轴于 H ，
BHC  90  ABC ，
BCH  CBH  ABH  CBH  90 ，
BCH  ABH ，
点C 的横坐标为3 ，
 CH  3 ，
在ABO 和BCH 中，
BCH  ABO

BHC  AOB ，

BC  AB
ABO  BCH (AAS ) ，
 CH  BO  3 ，
点 B(0, 3) ；
故答案为： (0, 3) ；
AM  2CD ，
如图②，延长 AB ， CD 交于点 N ，
 AD 平分BAC ，
BAD  CAD ， 在ADN 和ADC 中，
BAD  CAD

 AD  AD，

ADN  ADC  90
ADN  ADC (ASA) ，
 CD  DN ，
 CN  2CD ，
 N  BAD  90 ， N  BCN  90 ，
BAD  BCN ，
在ABM 和CBN 中，
BAM  BCN

BA  BC，

ABM  CBN
ABM  CBN (ASA) ，
 AM  CN ，
 AM  2CD ；
BPC 与AOB 的面积比不会变化， 理由：如图③，作 EG  y 轴于G ，
 BAO  OBA  90 ， OBA  CBG  90 ，
BAO  CBG ， 在BAO 和CBG 中，
AOB  BGC  90

BAO  CBG，

 AB  BC
BAO  CBG (AAS ) ，
 BG  AO ， CG  OB ，
 OB  BF ，
 BF  GC ，
在CGP 和FBP 中，
CPG  FPB

CGP  FBP  90 ，

CG  BF
CGP  FBP (AAS ) ，
 PB  PG ，
 PB  1 BG  1 AO ，
22
 SAOB
 1  OB  OA ， S
2
PBC
 1  PB  GC  1  1 AO  BO ，
222
 SPBC
: SAOB
 1 ．
2