2025-2026学年山东省昌乐二中高二上学期9月模拟监测数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省昌乐二中高二上学期9月模拟监测数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，用符号语言可表达为( )
A. α∩β=m，n⊂α，m∩n=AB. α∩β=m，n∈α，m∩n=A
C. α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD. α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n
2.设α,β是两个不同的平面，l,m是两条直线，且m⊂α,l⊥α.则“l⊥β”是“m//β”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.以下四个命题中，正确命题是( )
A. 不共面的四点中，其中任意三点不共线
B. 若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面
C. 若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面
D. 依次首尾相接的四条线段必共面
4.已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，则过这三点的截面图的形状是( )
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
5.球面上有三点A,B,C，若AB=6,BC=8,AC=10，且球心到▵ABC所在平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为( )
A. 400π3B. 300πC. 1200πD. 1600π
6.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为( )
A. 12B. 22C. 33D. 3
7.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，AA1=5，E为B1C1的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为( )
A. 510B. 3434C. 1326D. 1313
8.定义：通过24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)来判断降雨程度；其中小雨(0mm−10mm)，中雨(10mm−25mm)，大雨(25mm−50mm)，暴雨(50mm−100mm)；小明用一个圆锥形容器(如图)接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级( )
A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知m,n,l为空间中三条不同的直线，α,β,γ为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是( )
A. 若α∩β=m,m⊥γ，则α⊥γ,β⊥γ
B. 若m⊂α,n⊄α，则m与n为异面直线
C. 若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n，且l∩m=P，则P∈n
D. 若m⊥α,m⊥β,α//γ，则β//γ
10.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，给出以下判断，其中正确的有( )
A. AD⊥平面ABB1A1B. A1B1//平面ACD1
C. AD1与B1C是异面直线D. B1D⊥平面ACD1
11.已知四棱锥P−ABCD如图，AB//CD且AB=2CD，M，N分别是AP，AB的中点，则下列说法正确的有( )
A. PC//平面DMN
B. 四棱锥P−ABCD的体积为V1，三棱锥D−AMN的体积为V2，则V1V2=92
C. 平面PCD与平面PAB的交线记为l1，则直线l1//平面ABCD
D. 平面PDA与平面PBC的交线记为l2，则直线l2//平面DMN
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共15分。
12.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的高为 ．
13.已知等边▵ABC边长为2，PC⊥平面ABC，且PC= 3，则点C到平面PAB的距离为 ．
14.如下图所示，矩形ABCD中，AB=2 2，AD=2，沿BD将▵BCD折起，使得点C在平面ABD上的射影落在AB上，则直线BC与平面ABD所成的角为 ．
四、解答题：本题共4小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题11分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，点D是AB的中点．
(1)求证：AC1//平面CDB1．
(2)若AA1⊥平面ABC，AC=BC，求证：CD⊥平面ABB1A1．
16.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB,PD的中点，且PA=AD．
(1)求证：AF//平面PEC；
(2)求证：AF⊥PC．
17.(本小题12分)
如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=BB1=2A1B1=2，AB⊥BC．
(1)求三棱台ABC−A1B1C1的体积；
(2)证明：平面ABB1A1⊥平面BCC1B1；
(3)求A1C与平面ABB1A1所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
如图，等腰梯形BCDP中，BC//PD，BA⊥PD于点A，PD=3BC且AB=BC=1.沿AB把▵PAB折起到▵P′AB的位置，使∠P′AD=90°．
(1)求证：CD⊥平面P′AC．
(2)求三棱柱A−P′BC的体积．
(3)线段P′A上是否存在点M，使得BM//平面P′CD.若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.D
5.A
6.C
7.C
8.B
9.ACD
10.ACD
11.ACD
12.3
13. 62
14.45°
15.解：(1)连接BC1，交B1C于点E，连接ED.
∵ABC−A1B1C1是三棱柱，∴四边形BCC1B1为平行四边形，∴E是BC1的中点．
∵点D是AB的中点，∴ED是▵ABC1的中位线，∴ED/\!/AC1，
又ED⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1//平面CDB1．
(2)∵AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，
∵AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB，
∵AA1∩AB=A，AA1,AB⊂平面ABB1A1，
∴CD⊥平面ABB1A1．

16.解：(1)设G是PC的中点，由于F是PD的中点，
所以GF//CD,GF=12CD，
由于E是AB的中点，四边形ABCD是矩形，
所以AE//CD,AE=12CD．
所以GF//AE,GF=AE，
所以四边形AFGE是平行四边形，
所以AF//EG，
因为AF⊄平面PEC，EG⊂平面PEC，
所以AF//平面PEC．
(2)由于PA⊥平面ABCD，
CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为CD⊥AD，PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AF⊂平面PAD，所以CD⊥AF，
因为PA=AD,F是PD的中点，所以AF⊥PD，
因为PD∩CD=D，PD,CD⊂平面PCD，
以AF⊥平面PCD，
又因为PC⊂平面PCD，所以AF⊥PC．

17.解：1)在三棱台ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，则AA1⊥AB，
在直角梯形ABB1A1中，由AB=BB1=2A1B1=2，得AA1= 3，
而AB⊥BC,BC=2，则S▵ABC=12AB⋅BC=2，S▵A1B1C1=14S▵ABC=12，
所以VABC−A1B1C1=13SΔABC+SΔA1B1C1+ SΔABC⋅SΔA1B1C1⋅AA1
=132+12+ 2×12× 3=7 36．
(2)由AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得AA1⊥BC，
又AB⊥BC，AA1∩AB=A，AA1,AB⊂平面ABB1A1，则BC⊥平面ABB1A1，
又BC⊂平面BCC1B1，所以平面ABB1A1⊥平面BCC1B1．
(3)连接A1B，
由(2)知，BC⊥平面ABB1A1，则A1C与平面ABB1A1所成角即为∠BA1C，
在Rt▵A1BC中，BC=2，A1B= AA12+AB2= 7，A1C= A1B2+BC2= 11，
则sin∠BA1C=2 11=2 1111，即A1C与平面ABB1A1所成角的正弦值为2 1111．

18.解：(1)证明：∵∠P′AD=90°，∴P′A⊥AD．
∵在等腰梯形中，AB⊥AP，
∴在四棱锥中，AB⊥AP′．
又AD∩AB=A，AD,AB⊂平面ABCD，
∴P′A⊥平面ABCD．
又∵CD⊂平面ABCD，∴P′A⊥CD．
∵在等腰梯形BCDE中，AB⊥BC，PD=3BC，且AB=BC=1，
∴PD=3，AP=PD−BC2=1，AD=3−1=2，
由勾股定理得AC= AB2+BC2= 2，故CD=AC= 2，
∴AC2+CD2=AD2，
∴由勾股定理逆定理得AC⊥CD．
∵P′A∩AC=A，P′A,AC⊂平面P′AC，
∴CD⊥平面P′AC．
(2)∵S▵ABC=12BC⋅AB=12，P′A⊥平面ABCD，
∴VA−P′BC=VP′−ABC=13⋅S▵ABC⋅P′A=13×12=16．
(3)线段P′A上存在一点M，使得BM//平面P′CD，M为P′A的中点，证明如下：
证明：取P′A的中点M，P′D的中点N，连结BM，MN，NC．
∵M，N分别为P′A，P′D的中点，
∴MN//AD且MN=12AD．
∵BC//PD且PD=3BC，
∴BC//AD且BC=12AD，
∴MN//BC且MN=BC，
∴四边形MNCB为平行四边形，
∴BM//CN．
又∵BM⊄平面P′CD，CN⊂平面P′CD，
∴BM//平面P′CD．