2025-2026学年山东省潍坊市昌乐二中高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年山东省潍坊市昌乐二中高二（上）开学数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=1+i(i为虚数单位)，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
2.在四边形ABCD中，若AC=AB+AD，则“AC⊥BD”是“四边形ABCD是菱形”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
3.已知向量a=(x+1,x−7)，b=(x−1,x+7)，若a⊥b，则( )
A. x2=5B. |x|=5C. x2=10D. |x|=10
4.已知函数f(x)=tan(2x−π6)，则( )
A. f(x)在定义域内是增函数B. f(x)是奇函数
C. f(x)的最小正周期为πD. f(x)图象的一个对称中心是(π12,0)
5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，C′B′⊥x′轴，C′D′//y′轴，C′B′= 3，A′B′=4，则△A′B′C′的原图形的面积为( )
A. 4 3 B. 4 6 C. 5 3 D. 5 6
6.设函数f(x)=sin(2x+φ)+cs(2x+φ)(|φ|0，则△ABC为钝角三角形
C. 若△ABC的外心为O，AB=3，AC=5，则AO⋅BC=−8
D. 若a−b=c⋅csB−c⋅csA，则△ABC的形状是直角三角形
11.如图，已知圆台形水杯盛有牛奶(不计厚度)，杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果(球形)，椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则( )
A. 该水杯侧面积为12π
B. 该水杯里牛奶的体积为196π
C. 放入的椰果半径为12
D. 该水杯外接球的表面积为42516π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点P，A，B，C在半径为2的同一球面上，且AB=AC= 3，∠BAC=120°，则三棱锥P−ABC体积的最大值为______．
13.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，E，F分别是棱CD，A1D1的中点，则正方体ABCD−A1B1C1D1被平面AEF所截得的截面周长是______．
14.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度CD，选取与碑基C在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=120米，在点B处测得碑顶D的仰角为30°，则该同学通过测量计算出纪念碑高CD为______米.(保留根号)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=1−i，z2=1−2i，i是虚数单位．
(1)若z2是实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，求实数a和b的值；
(2)当α为何值时，关于x的二次方程x2−(tanα−z1+1)x−(z2+ 3+3i)=0有一个实根．
16.(本小题15分)
高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱.ABCD−A1B1C1D1的高O1O是正四棱锥P−A1B1C1D1的高PO1的4倍．
(Ⅰ)若AB=6，PO1=2．
(i)求该模型的体积；
(ii)求顶部正四棱锥的侧面积；
(Ⅱ)若顶部正四棱锥的侧棱长为6，当PO1为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大？并求出S的最大值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)= 32sinx+cs2x2−12，将函数f(x)图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象．
(1)求g(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，若g(B)=12,b=2 3，求△ABC面积的最大值．
18.(本小题17分)
锐角ΔABC的三个内角角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(sin2B+sin2C−sin2A)tanA= 3sinBsinC．
(1)求角A的大小及角B的取值范围；
(2)若a=2，求ΔABC的周长的取值范围；
(3)若ΔABC的外接圆的圆心为O，且OB⋅OC=−12，求AO⋅(AB+AC)的取值范围．
19.(本小题17分)
任意一个复数z的代数形式都可写成三角形式，即z=a+bi=r(csθ+isinθ)，其中i为虚数单位，r=|z|= a2+b2，csθ=ar，sinθ=br，θ∈[0,2π).棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667～1754)创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：z1=r1(csθ1+isinθ1)，z2=r2(csθ2+isinθ2)，则z1z2=r1r2[cs(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],z1z2=r1r2[cs(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)]，且z2≠0，若令z1=z2=⋯=zn=z，则能导出复数乘方公式：zn=rn(csnθ+isinnθ)．
请用以上知识解决以下问题：
(1)试将z=− 3+3i写成三角形式；
(2)已知|z1|=3，|z2|=5，|z1−z2|=7，求z1z2的值；
(3)设z=a+bi，a，b∈R，当|z|=1时，求|z2+z+1|的最大值和最小值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：∵z=1+i，
∴|z|= 12+12= 2．
故选：B．
直接利用复数的模长公式求解．
本题主要考查了复数的模长公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：在四边形ABCD中，若AC=AB+AD，则四边形ABCD为平行四边形，
若AC⊥BD，则平行四边形ABCD为菱形；
四边形ABCD是菱形时，必有AC⊥BD，即有AC⊥BD，
故“AC⊥BD“是“四边形ABCD是菱形“的充要条件．
故选：D．
根据AC=AB+AD,AC⊥BD判断出四边形ABCD的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可．
本题考查了平面向量的性质和充分必要条件的判断，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵向量a=(x+1,x−7)，b=(x−1,x+7)，a⊥b，
∴a⋅b=(x+1)(x−1)+(x−7)(x+7)=x2−1+x2−49=2x2−50=0，
解得x=±5，
∴x2=25，故A、B均错误；
|x|=5，故B正确，D错误．
故选：B．
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于A，由于f(x)的定义域为{x|2x−π6≠π2+kπ,k∈Z}，
所以f(x)在的图象不连续，可知f(x)在定义域内不是增函数，故A错误，
对于B，由于f(x)在x=0处有定义，
且f(0)=tan(−π6)=− 33≠0，可知f(x)不是奇函数，故B错误，
对于C，f(x)的最小正周期T=πω=π2，可知C错误，
对于D，由f(π12)=tan(2×π12−π6)=0，
可知(π12,0)是f(x)图象的一个对称中心，故D正确．
故选：D．
根据函数图象的连续性判断出A项的正误；根据奇函数的性质判断出B项的正误；由正切型函数的周期公式判断出C项的正误；根据正切函数图象的对称性判断出D项的正误，进而可得本题答案．
本题主要考查正切函数的图象与性质、三角函数的对称性与周期性等知识，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为C′B′⊥x′轴，C′D′//y′轴，C′B′= 3，A′B′=4，
所以直观图的面积为12×4× 3=2 3，
原图形面积为直观图面积的2 2倍，
所以原图面积为2 3×2 2=4 6．
故选：B．
先求直观图的面积，再根据斜二测画法的性质求解原三角形面积．
本题考查据斜二测法的应用，属基础题．
6.【答案】C
【解析】解：f(x)=sin(2x+φ)+cs(2x+φ)= 2sin(2x+φ+π4)，
∵函数f(x)为偶函数，
∴f(−x)−f(x)= 2sin(−2x+φ+π4)− 2sin(2x+φ+π4)=0，
即sin(−2x+φ+π4)=sin(2x+φ+π4)，
∴−2x+φ+π4=2x+φ+π4+2kπ，或−2x+φ+π4+2x+φ+π4=π+kπ，
即x=−kπ2,k∈Z(舍)或φ=π4+kπ2,k∈Z．
∵|φ|0，∴csB