2025-2026学年第一学期高二年级开学模拟测试题数学(解析版）-A4

这是一份2025-2026学年第一学期高二年级开学模拟测试题数学(解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，已知子，，则在方向上的投影为，已知向量，，若，则，已知、都是复数，下列正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘方运算和复数的除法运算求得，再由共轭复数的概念可得选项.
【详解】解：因为 ，所以，
故，
故选：D
【点睛】结论点睛：求解复数的运算问题时要牢记复数的相关运算技巧和结论：，，，，，，．
2．随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是（ ）
A．110B．115C．120D．125
【答案】C
【分析】设在老年人中发放的调查问卷份数为x，根据分层抽样的性质列方程求解.
【详解】设在老年人中发放的调查问卷份数为x，
则，
解得．
所以在老年人中发放的调查问卷份数是.
故选：C．
3．我国2024年4月至11月太阳能发电量同比增长速度依次为21.4%，29.1%，18.1%，16.4%，21.7%，12.7%，12.6%，10.3%，则这组数据的75%分位数为（ ）
A．21.55%B．21.65%C．21.4%D．21.7%
【答案】A
【分析】把给定的数据由小到大排列，再利用百分位数的定义求解即得.
【详解】将这组数据从小到大排列为10.3%，12.6%，12.7%，16.4%，18.1%，21.4%，21.7%，29.1%.
因为，所以这组数据的75%分位数为.
故选：A
4．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”.则下列结论不正确的是（ ）
A．E，F为对立事件B．G，H为互斥不对立事件
C．E，G不是互斥事件D．G，R是互斥事件
【答案】B
【分析】根据事件之间的关系，可得答案.
【详解】E，F是对立事件，选项A正确；G，H为互斥且对立事件，选项B不正确；
E，G不互斥，选项C正确；G，R为互斥事件，选项D正确.
故选：B.
5．已知子，，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据向量投影的定义直接计算即可.
【详解】因为，
则，
故选：B
6．在△ABC中，,则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】D
【分析】由题意首先利用正弦定理边化角，然后结合正切函数的性质即可确定△ABC的形状.
【详解】由结合正弦定理可得：，
即，
结合正切函数的性质可知：，
则△ABC是等边三角形.
故选D.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形形状的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．已知向量，，若，则（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】B
【分析】根据两个垂直向量的数量积为0，以及向量数量积的坐标运算公式，即可得解.
【详解】解法一：因为，所以，
，，，
故，解得；
解法二：因为，，
由得，解得.
故选：B.
8．如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出图形，取的中点，找到的外心，然后平面，根据二面角的平面角为找到球心，然后计算长度求出，最后根据球的体积公式计算即可.
【详解】如图，取的中点，连接，

设为正的外心，则点在上，且．
设为四面体的外接球球心，则平面．
，则为的外心，平面．
二面角的大小为，则直线与平面成角，．
是边长为3的正三角形，则，．
在中，．
在中，，则，
四面体的外接球半径，.
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则D．
【答案】BCD
【分析】设，再根据复数的乘法运算和复数的模及共轭复数的定义注意判断即可.
【详解】设，
对于A，若，则，
当时，不成立，故A错误；
对于B，，
故，
，
所以，故B正确；
对于C，，
若，则且，
所以，故C正确；
对于D，由B选项可得，
，
所以，故D正确.
故选：BCD.
10．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论正确的是（ ）
A．与的夹角为B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用正八边形的特征，结合向量的线性运算及向量数量积的定义逐一分析运算即可.
【详解】对A，因为八边形为正八边形，所以，
所以与的夹角为，故A正确；
对B，由于四边形不是平行四边形，所以，故B错误；
对C，，所以，，
所以，故C正确；
对D，因为，
所以，故D正确.
故选：ACD
11．如图，在直三棱柱中，，，点是线段上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．当为的中点时，平面B．四面体的体积为定值
C．的最小值为D．为定值9
【答案】ABD
【分析】对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由平面可得到平面距离为定值，据此可判断选项正误；对于C，将平面沿折叠，使平面与平面重合，然后由余弦定理结合题目信息可得最小值；对于D，注意到在方向上的投影向量为，据此可判断选项正误.
【详解】对于A，因几何体为直棱柱，，则，又M为的中点，则.
又由题可得平面，平面，则.
因平面，，
则平面，即平面，故A正确；
对于B，由题可得，又平面，平面，
则平面，即平面，从而到平面距离为定值，
又也为定值，则四面体的体积为
为定值；故B正确，
对于C，如图，将平面沿折叠，使平面与平面重合，
使变为，则当三点共线时，最小.
因，，结合几何体为直棱柱.
则，为等腰直角三角形，，
又，则，则由余弦定理：
，
则的最小值为，故C错误；
对于D，，由题可得，
则在方向上的投影向量为，
所以，故D正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则 .
【答案】
【分析】先利用待定系数法、纯虚数的概念求出，然后根据模的计算公式求解即可.
【详解】由题意设，
则是纯虚数当且仅当，
解得，所以.
故答案为：.
13．已知一组数据1，3，5，的平均数为4，则这组数据的标准差为 .
【答案】
【分析】根据平均数列方程求出的值，再结合标准差的定义即可求解.
【详解】由题知，解得.
所以这组数据的标准差为.
故答案为：.
14．我国许多地方都有风格迥异的古塔.现在在某塔底共线三点处分别测得塔顶P点的仰角为，，，且，设该塔高为，示意图如图，则该塔高 m.
【答案】60
【分析】设，利用直角三角形的特殊角可表示长度，再根据余弦定理解计算即可.
【详解】设，由在处分别测得塔顶P点的仰角为，，，
则根据题意有，
在中由余弦定理知，，
因为三点共线，所以，
则.
故答案为：60
【点睛】思路点睛：利用各点仰角可设高表示，再利用两角互补、余弦定理解方程即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某社区进行了一场AI知识竞赛，满分100分.答题完成后，工作人员从中随机抽取100人的答卷作为样本A，并根据成绩绘制了频率分布直方图.
(1)估计样本的上四分位数和方差
(2)为了进一步提高满意度，工作人员又从剩余答卷中抽取了400人的答卷作为样本B，计算得到这些答卷得分的平均数为69，方差比样本A的方差多1，之后将这两组样本混合，估计混合后样本的方差.
【答案】(1)上四分位数为，方差
(2)
【分析】（1）根据频率和为1运算求的值，再结合上四分位数的概念和方差的概念运算求解.
（2）利用总样本方差计算公式求解即可.
【详解】（1）由题意可得：每组的频率依次为，
则，则，解得，
因为，则成绩的上四分位数为分.
平均值为：，
方差为：
（2）样本A的，
样本B的，
所以500人的平均分为，
混合后样本的方差为.
16．甲、乙两位同学参加某知识闯关训练，最后一关只有两道题目，已知甲同学答对每道题的概率都为p，乙同学答对每道题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知同一题甲、乙至少一人答对的概率为，两人都答对的概率为．
(1)求p和q的值；
(2)试求最后一关甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据设{甲同学答对该题}，{乙同学答对该题}，再根据所给概率列式求解即可；
（2）设m，n分别表示最后一关甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得所求概率为 ，再分别计算求和即可.
【详解】（1）设{甲同学答对该题}，{乙同学答对该题}，则．
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，
所以，，
即，解得．
（2）设m，n分别表示最后一关甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得，所求概率为 ．
17．中，角，，的对边分别为，，，且满足 .
(1)求角的大小;
(2)若，的面积为，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据正弦定理将边化成角，再进行化简，得到的值，从而得到的值；
（2）根据的面积，得到，根据余弦定理得到关系，从而得到的值.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理，
得，
所以，
即，
因为为的内角，所以，
所以，
因为因为为的内角，所以.
（2），即，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以得到.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角恒等变形，属于简单题.
18．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）首先证明，再利用线面平行的判定即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（3）合理作出辅助线，求出点到平面的距离为，再求出两极限位置的最值即可.
【详解】（1）分别为的中点，．
平面平面平面．
（2）如图，连接．易得.
，
.
平面平面，
平面.
（3）将直三棱柱补成直四棱柱，
，设的中点分别为，，连接，
设与的交点为．
，
四边形是平行四边形，．
，即，，，四点共面．
，
四边形是平行四边形，．
由（2）可知平面平面，
由，得，即点到平面的距离为，
当点在的三边上运动时，
，
易得，
当与重合时，取得最大值，则取得最小值，最小值为，
此时取得最小值，最小值为．如图，过作，垂足为。
易得，
则，
.
当与重合时，取得最大值，则取得最大值，最大值为．
故的取值范围为．
19．在锐角中，角的对边分别为，满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围；
(3)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点.若的面积为3，是否在内部存在费马点，使得为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，定值为0，理由见解析.
【分析】（1）先利用同角三角函数的关系将已知等式统一成正弦，然后利用正弦定理将其统一成边的形式，再利用余弦定理可求得答案；
（2）方法一：利用锐角三角形求得的范围，然后由面积函数求面积的取值范围；方法二：由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围；方法三：数形结合，过点作，垂足为，作与交于点，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围；
（3）设，在和中分别利用正弦定理表示出，然后代入化简即可.
【详解】（1），
，
即，
即，
.
（2）[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
又，则，
则，
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是.
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知.
因为为锐角三角形，且，
所以，即
又由余弦定理得，所以，即，
所以，故面积的取值范围是.
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图，在中，过点作，垂足为，作与交于点.
由题设及（1）知，因为为锐角三角形，且，
所以点位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是.
（3）的面积为3，所以，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.