2025-2026学年河北省石家庄市栾城区第四十八中学九年级上学期限时作业数学试题

这是一份2025-2026学年河北省石家庄市栾城区第四十八中学九年级上学期限时作业数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，，，，，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．如图，，，则下列比例式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，已知与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，若点C是的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．直线一定经过点OB．
C．D．
7．如图所示的4个三角形中，是相似三角形的是（ ）
A．①和④B．②和③C．③和④D．①和③
8．如图，在中，，按如下作图：
（1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；
（2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P；
（3）作射线交于点D．
根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ）
；；
A．B．C．D．
9．如图，在平行四边形中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在中，D、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知，如图所示的一张三角形纸片，边的长为，边上的高为，在三角形纸片中从下往上依次裁剪去宽为的矩形纸条．若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第5张B．第6张C．第7张D．第8张
二、填空题
13．已知，则的值为
14．如图，D，E分别在边上，已知，若，则 ．
15．如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ．
16．如图，在的正方形网格中，A、B、C为格点，连接交格线于点D，连接，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则 ．
三、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)
18．某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，进球数统计如下表：
(1)求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数；
(2)若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数．
19．在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心P的位置；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为；
(3)已知的面积为2.5，则的面积为_______．
20．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
21．如图1，点D、E分别为的边上的两点，，将绕点A逆时针旋转某个角度得，分别连接、（如图2）．
求证：．
22．龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
23．拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．

24．对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，且沿周界与环绕的方向相同，因此与互为顺相似；如图②，，且沿周界与环绕的方向相反，因此与互为逆相似．
(1)根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形：①与；②与；③与．其中，互为顺相似的是_____；互为逆相似的是_____．（填写所有符合要求的序号）
(2)如图③，在中，，，，点在上；
①已知，过点作直线截，交的另一边于点，若截得的三角形与互为顺相似，求的长；
②过点作直线截，使截得的一个三角形与互为逆相似，若这样的截线能画两条，则的取值范围为_____．
进球数
0
1
2
3
4
5
人数
1
8
6
3
1
1
《河北省石家庄市第四十八中学2025-2026学年九年级上学期限时作业数学试卷 》参考答案
1．A
【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可．
【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为，
所以它们的对应高之比为，
故选：A．
2．B
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键．
根据得到，再代入数据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
3．D
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【详解】解：A．，，故A选项不符合题意；
B．，，故B选项不符合题意；
C．，，，，，故C选项不符合题意；
D．，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据定理得出比例式是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意；
D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似的性质，位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行判断即可．
【详解】解：∵与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，点C是的中点，
∴直线一定经过点O，，位似比为：，
∴与的相似比为，
∴，，
∴，；
故判断错误的是选项D；
故选D．
7．D
【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可．
【详解】解：①中三角形三边分别为，，5，
②中三角形三边分别为，
③中三角形三边分别为，
④中三角形三边分别为，，
∵①和③中，
∴相似三角形的是①和③．
故选D．
8．D
【分析】①利用等边对等角以及三角形内角和定理进行求解即可；
②利用角平分线的定义得出相等的角，然后利用等角对等边即可求解；
③证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故①正确；
由题意得：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确．
综上所述，正确的有①②③．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，等角对等边，三角形内角和定理，角平分线的作法和定义，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
9．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．由平行四边形的性质可得、，根据平行线分线段成比例定理可得，再证，则可得，从而可得．
【详解】解：∵，
设，则，，
∵四边形是平行四边形，
，，，
，，
，，
，
，
，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质解应用题，根据题意，作出图形，由相似三角形的判定得到，进而确定；再判定，由相似比代值求解即可得到答案．熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
由题意可知，，，
，
，
，
，则；
，
，
，
，则，
，
，解得，
即蜡烛火焰倒立的像的高度是，
故选：D．
11．C
【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再根据相似三角形的性质即可得到答案.
【详解】∵，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，故选C.
【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质.
12．A
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是4，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点C到这个正方形的边距离为，
则，
解得，
所以另一段长为，
因为，所以是第5张．
故选：A．
13．2
【分析】此题考查了比例的性质．设，则，，，代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴设，
∴，，，
∴，
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由题意灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．由题意直接根据相似三角形的性质列出比例式，进行代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
15．2或
【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）．
本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴存在和两种情况．
设，则，
当时，，
即，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴此时；
当时，，
即，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴此时．
综上所述，的长为2或．
故答案为：2或．
16．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
过点D作交于点G，证出得，再证得，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点D作交于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
故答案为：．
17．(1)，；
(2)，；
(3)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
（3）解：∵，
整理得，
∴，
∴或，
∴，．
18．(1)众数为1、中位数为2、平均数为
(2)估计为“优秀”等级的女生约为50人
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可；
（2）算出样本的优秀率，再估计总体的优秀人数．
【详解】（1）解：女生进球数的平均数为（个），
女生进球数的中位数是第10个和第11个成绩的平均数，即（个），
女生进球个数为1个的人最多，故众数是1个；
（2）解：（人），
答：估计为“优秀”等级的女生约为50人．
【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数，用样本件估计总体，掌握中位数，平均数、众数的定义以及优秀率的求法是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心；
（2）延长、，并使、，连接即可；
（3）根据位似比得出面积比，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点为所作；
（2）解：如图所示，为所作；
（3）解：∵与的位似比为，
∴，
∵的面积为2.5，
∴，
故答案为：10．
20．见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
【详解】解：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
．
21．见解析
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，旋转的性质，相似三角形的判定和性质．由平行线分线段成比例求得，利用旋转的性质求得，推出，据此计算即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
又∵绕点逆时针旋转某个角度得，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔每个售价应定为50元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得（不合题意，舍去）
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
，所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
23．36m
【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，则
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
同理可证，
∴，即，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
∴该古建筑的高度为36m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键．
24．(1)①②；③
(2)①或；②
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解互为顺相似和互为逆相似的定义是解题的关键．
（1）根据互为顺相似和互为逆相似的定义判断即可；
（2）①分和时，两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算求解即可；
②时，与互为逆相似，当与重合时，最长，利用相似三角形的性质列式计算求解即可．
【详解】（1）解：①，则与互为顺相似；
②，则与互为顺相似；
③，则与互为逆相似．
故答案为：①②；③；
（2）解：①当时，与互为顺相似；
∴，
∴，即，
解得；
当时，与互为顺相似；
∴，
∴，即，
解得；
综上，的长为或；
②如图，时，与互为逆相似；
当与重合时，最长，
∵，
∴，
∴，
∴的取值范围为．
故答案为：．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
D
C
D
D
D
C
D
题号
11
12








答案
C
A