九年级下数学试卷定弦定角-最值问题—重点题型专练（含答案解析）

这是一份九年级下数学试卷定弦定角-最值问题—重点题型专练（含答案解析），共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值为________．
2. 在中，，，，点是内部的一点，点关于三边、、的对称点分别是、、，连接、，则的最小值是_________．
3. 如图，在中，．D为边上的一动点，连接，则的最小值为__________．
4. 如图，在中，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是__________．
5. 如图，在矩形中，，，E为对角线上的一动点，F为边线上的一动点，连结，，则的最小值为______．
6. 如图，直线与相切于点A，点C为上一动点，过点C作，垂足为B，已知的半径为，则的最大值为_____．
7. 如图，在中，．若D是边上的动点，则 的最小值是________．
8. 如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为_________．
9. 如图，在中，，，，，点、、分别是、、上的动点，且，则的最小值为 _____．
10. 如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为______．
11. 如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，若点M是线段上一动点，则的最小值为______．
二、解答题
12. 【问题提出】如图①，已知海岛到海岸公路的距离为，为公路上的酒店，从海岛到酒店，先乘船到登陆点，船速为，再乘汽车，车速为船速的倍，点选在何处时，所用时间最短？
【特例分析】若，则时间，当为定值时，问题转化为：在上确定一点，使得的值最小．如图②，过点做射线，使得．
（1）过点作，垂足为，试说明：；
（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点，并说明理由．
【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．
【模型运用】（4）如图③，海面上一标志到海岸的距离，，救生员在点处发现标志处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是，在海中游泳的速度都是，求救生员从点出发到达处的最短时间．
13. 在中，是上一点．

(1)如图，是中点，，求线段的长度；
(2)如图，，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，当时，试猜想与的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图，在（2）的条件下，点在上，点在上，，连接，若，直接写出的最小值．
14. 在中，对角线、相交于点O，于点M，在线段上截取一点N，使得，连接．
(1)如图1，若，，，求线段的长度；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，若，，平行四边形的周长为36，在平行四边形内部存在一点Q，线段存在一点P，连接，，，直接写出的最小值．
三、填空题
15. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为____．
四、解答题
16. 已知抛物线经过点，
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上找一点，使是以为直角边的三角形，求点的坐标；
(3)交轴于点，点是抛物线上一动点，过点作于点，过点作的平行线，交轴于点．
①点在下方的抛物线上时，的值记为，求的最大值及此时点的坐标；
②抛物线与四边形交点的纵坐标的最大值记为，最小值记为，当时，直接写出点的坐标．
17. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点从点沿线段运动到点，速度为1个单位长度/秒，点从点沿线段运动到点，速度为2个单位长度/秒，两个点同时出发，一个点停止，另一个点也停止，设运动的时间为秒．
(1)点的坐标为 ，点的坐标为 ．
(2)当为等腰三角形时，求值．
(3)点为线段上一点，有一动点沿线段从点运动到点，速度为1个单位长度/秒，再沿线段由点运动到点，速度为单位长度/秒，请直接写出动点运动的最短时间．
18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点．点是第一象限的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如左图，连接，当时，求点的坐标；
(3)如右图，过点作于点，求的最大值．
19. 如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值；
(3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标．
20. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；
(2)若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为__________；
(3)为抛物线对称轴上一动点，连接，若不小于，求t的取值范围．
21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点M．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点F是线段上一动点（点F不与端点A，D重合），过点F作，交抛物线于点E（点E在对称轴左侧），过点E作轴，垂足为H，交于点G，点N是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P为平移后的抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的P的坐标，并写出其中一个点的求解过程．
22. 综合与实践
基础尝试
如图，抛物线经过，两点，与轴另一交点为．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
深入探究
（2）若将抛物线变为，为了使得与一直都有四个交点，求出的取值范围；
拓展运用
如果点是线段上一动点，过点的直线轴，分别交直线、抛物线于点、．连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止．
（3）当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点，
(1)求该二次函数的表达式；
(2)如图2，连接，已知抛物线的对称轴交x轴于点M，问对称轴上是否存在点N，使得，若存在，试求出点N坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图3，连接，P为直线上一动点，求的最小值．
24. 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，．
(1)求该拋物线解析式；
(2)如图1，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交于D，点E为直线上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值；
(3)如图2，将拋物线绕点旋转得到新拋物线，M为新抛物线对称轴上一点，将沿射线方向平移，在平移过程中，若存在平移后的三角形恰有两个顶点同时落在新拋物线上，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程．
25. 如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点．
①求四边形的面积；
②求的边上的高的最大值；
③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
26. 如图1，直线与直线交于点，直线与y轴交于点E．
(1)求的周长；
(2)如图2，点K为直线CD上一动点，点T为x轴上一动点，连接BK，TK，若点K在第四象限，且，求的最小值及此时点T的坐标；
(3)如图3，将直线沿y轴向下平移使其经过点A得到直线，若点P、点Q在直线上运动（点P在点Q右侧），点R在直线上运动，若以点P、Q、R、E为顶点的四边形为矩形，直接写出点R的坐标及对应的线段的长度．
27. 如图，抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧），与轴交于点，直线的图象过两点，．
(1)求抛物线解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一点，点为直线上一动点，连接，当面积最大时，求点的坐标及的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
胡不归-最值问题—重点题型专练
整体难度：较难
考试范围：图形的性质、图形的变化、函数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
第25题：
第26题：
第27题：
题型
数量
填空题
12
解答题
15
难度
题数
较难
20
困难
7
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.4
等腰三角形的性质和判定；解直角三角形的相关计算；垂线段最短
2
0.4
用勾股定理解三角形；等腰三角形的性质和判定；解直角三角形的相关计算
3
0.4
解直角三角形的相关计算；最短路径问题
4
0.4
用勾股定理解三角形；解直角三角形的相关计算；垂线段最短；三线合一
5
0.4
解直角三角形的相关计算；根据矩形的性质求线段长；根据成轴对称图形的特征进行求解
6
0.4
用勾股定理解三角形；解直角三角形的相关计算；利用垂径定理求值；切线的性质定理
7
0.4
垂线段最短；已知正弦值求边长；已知正切值求边长
8
0.4
等边三角形的判定和性质；利用菱形的性质求线段长；垂线段最短；用勾股定理解三角形
9
0.4
两点之间线段最短；全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；含30度角的直角三角形
10
0.4
含30度角的直角三角形；矩形与折叠问题；用勾股定理解三角形；折叠问题
11
0.4
相似三角形的判定与性质综合；根据矩形的性质求线段长
15
0.4
解直角三角形的相关计算；线段周长问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式
二、解答题
12
0.4
垂线段最短；解直角三角形的相关计算
13
0.15
根据旋转的性质求解；解直角三角形的相关计算；全等三角形综合问题；与三角形中位线有关的求解问题
14
0.4
全等三角形综合问题；利用平行四边形的性质证明；根据旋转的性质求解；解直角三角形的相关计算
16
0.4
解直角三角形的相关计算；线段周长问题(二次函数综合)；y=ax²+bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式
17
0.4
一次函数与几何综合；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形；相似三角形的判定与性质综合
18
0.4
待定系数法求二次函数解析式；角度问题(二次函数综合)；解直角三角形的相关计算；线段周长问题(二次函数综合)
19
0.15
待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)；相似三角形的判定与性质综合；解直角三角形的相关计算
20
0.15
y=ax²+bx+c的图象与性质；解直角三角形的相关计算；待定系数法求二次函数解析式；圆周角定理
21
0.15
解直角三角形的相关计算；角度问题(二次函数综合)；二次函数图象的平移；线段周长问题(二次函数综合)
22
0.4
待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的相关计算；求一次函数解析式；y=ax²+bx+c的图象与性质
23
0.4
相似三角形的判定与性质综合；其他问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质和判定
24
0.15
线段周长问题(二次函数综合)；其他问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的相关计算
25
0.4
待定系数法求二次函数解析式；线段周长问题(二次函数综合)；一次函数与几何综合；解直角三角形的相关计算
26
0.15
一次函数图象平移问题；根据矩形的性质与判定求线段长；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；含30度角的直角三角形
27
0.15
待定系数法求二次函数解析式；角度问题(二次函数综合)；解直角三角形的相关计算；线段周长问题(二次函数综合)
序号
知识点
对应题号
1
图形的性质
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,17,20,23,26
2
图形的变化
1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,27
3
函数
15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27