江苏省连云港市灌南县2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题（学生版）

这是一份江苏省连云港市灌南县2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
3. 若关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值是（ ）
A. B. C. D. 2
4. 用配方法解时，配方结果正确是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，是的直径，点C、D在上，且点C、D在的异侧，连结．若，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ）
A 或B.
C. D. 或
7. 如图，为的直径，为上的一动点（不与、重合），于，的平分线交于，则当在上运动时，点的位置（ ）
A. 随点的运动而变化B. 不变
C. 在使劣弧上D. 无法确定
8. 如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为20，则的长等于（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 18
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程）
9. 方程 的二次项系数为 _____．
10. 方程解为___________．
11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________．
12. 请写出一个以 -2为一根的一元二次方程：___________________
13. 如图，在中，，，则___________．
14. 矩形中，，以点为圆心画，使点在内，点在外，则的半径的取值范围是___________．
15. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设矩形的长为步，根据题意可列方程______．
16. 若a是方程的一个根，则代数式的值为__________．
17. 如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为____________．
18. 如图，已知的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，，CD是的一条弦，，以PC，PD为相邻两边作▱PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最大值与最小值的积等于______．

三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
21. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程有一个根为－1，求方程的另一个根．
22. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=DC，AC与BD相等吗？为什么？
23. 阅读下面的例题：分解因式：．
解：令得到一个关于的一元二次方程．
，，，
．
解得；
.
这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
（1）已知代数式对应的方程解为和，则代数式分解后为 ，的值为 ；
（2）将代数式分解因式．
24. 中秋节期间，某水果店以每箱60元的价格出售石榴，每天可卖出150箱，后期因石榴的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知石榴售价每箱下降1元，则每天能多售出3箱（同一天中售价不变）．
（1）设售价每箱下降元，则每天能售出___________箱（用含的代数式表示）；
（2）当石榴每箱下降多少元时，每天能获得9072元销售额；
25. 如图，是的直径，是上的一点．
（1）尺规作图：利用图1，在上作点，使得为的中点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接、，若，，求的半径．（在图2中画出必要的草图）
26. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求多项式的最小值．
解：．因为所以
当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：

（1）【理解探究】
已知代数式，则A的最小值为__________；
（2）【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；
（3）【拓展升华】
如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，值为多少？
27. 阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理--“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB2+AC2=2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，
同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，
∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8，则AD= ；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA=2，点B和点C在⊙O上，且
∠BAC=90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 ；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到如下的题目：
如图4，已知⊙O的半径为5，以A（-3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．