四川省成都市青羊区成都市石室中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份四川省成都市青羊区成都市石室中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．菱形和矩形都是特殊的平行四边形，那么下列是菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．各角都相等B．各边都相等C．有两条对称轴D．对角线相等
3．已知方程，则该方程的根的情况为（ ）
A．方程没有实数根B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根D．方程的根无法判定
4．如图，、分别是的边、上的点，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（ ）
A．B．C．D．
7．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或x＞1B．﹣2＜x＜1
C．x＜﹣2或x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1
8．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．若关于x的方程：有一个根为2，则另一个根为 ．
10．如图，在长为9m，宽为7m的矩形场地上修建两条宽度都为1m且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，则绿化面积共有 ．
11．某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为 ．

12．如图，在平面直角坐标系中，顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为．与位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为，则点C的坐标为 ．

13．如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．

三、解答题
14．解下列方程
(1)
(2)
15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的两个根为，，且，求的值．
16．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
17．为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

(1)本次被调查的学生有 名，补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少?
18．已知：一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．
（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积．
四、填空题
19．已知，则 ．
20．如图，在中，．现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为 ．
21．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为 ．
22．如图，已知直线与坐标轴交于，两点，矩形的对称中心为，双曲线正好经过，两点，则直线的解析式为 ．

23．如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接.若于点，，则的长为 ．

五、解答题
24．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件，B种商品3件，共需450元；若购进A种商品10件，B种商品8件，共需1000元.
（1）购进A、B两种商品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的A、B两种商品，在销售中发现，A种商品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种商品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件；B种商品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种商品每天总获利为10000元，A种商品每件降价多少元？
25．如图①，在中，于点，，，，点是上一动点（不与点，重合），在内作矩形，点在上，点，在上，设，连接．
(1)当矩形是正方形时，直接写出的长；
(2)设的面积为，矩形的面积为，令，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点的直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于，两点，求面积的最小值，并说明理由．
26．如图1，点O为矩形的对称中心，，，点E为边上一点（），连结并延长，交于点F，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点G．
(1)求证：．
(2)当时，求的长．
(3)如图2，连结，，分别交，于点H，K．记四边形的面积为，的面积为，当时，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
2．C
【分析】根据矩形的性质与菱形的性质，找出相同的性质即可．
【详解】解：∵矩形的性质为：对边平行且相等，四个角都是90°，对角线互相平分且相等，有两条对称轴；
菱形的性质为：四边相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角，有两条对称轴；
∴菱形和矩形都具有的性质是：对边平行且相等，对角线互相平分，有两条对称轴；
故选C．
【点睛】本题考查了矩形与菱形的性质．熟练掌握矩形与菱形的性质是解题的关键．
3．A
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可．
【详解】解：方程x2-2x+4=0，
∵a=1，b=-2，c=4，
∴Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×4=4-16=-12＜0，
则方程没有实数根．
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，一元二次方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，一元二次方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，一元二次方程没有实数根．
4．C
【分析】先证明，可得，从而可得答案．
【详解】解： ，
，
，
，，，
，
．
故选：C
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
5．A
【分析】根据，就可以设．则可以得到：，，．代入所求式子即可求得．
【详解】解：设．则可以得到：，，．
则2
故选．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握性质．
6．D
【分析】把代入求出即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴反比例函数一定还经过点，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记知识点是关键．
7．D
【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图可知，当y1＞y2，的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关系是根据函数图象的位置关系确定x的取值范围．
8．C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．
【详解】由题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
9．
【分析】根据根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为，则：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，牢记“两根之和为，两根之积为”是解题的关键．
10．48
【分析】利用平移可得绿地部分的长为（9-1）m，宽为（7-1）m，然后进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
（9-1）×（7-1）=8×6=48（m2），
∴绿化面积共有48m2，
故答案为：48．
【点睛】本题考查了生活中平移现象，根据题目的已知条件并结合图形分析绿地部分的长和宽是解题的关键．
11．2500
【分析】根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值．
【详解】解：设功率为，由题可知，即，将，代入解得，
即反比例函数为：，
将代入，
得，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键．
12．
【分析】根据位似的性质求出点C的坐标，熟练掌握位似的性质是解题的关键．
【详解】顶点A，B的坐标分别为．与位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为，
A点的对应点C的坐标为，即，
故答案为：．
13．
【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点A作于点Q，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∵由沿折叠所得，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据配方法进行求解即可；
（2）用公式法进行求解即可．
【详解】（1）解：移项，得，
配方，得，
，
，
；
（2）解：
，
，
故方程有两个不相等的实数根，
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，正确的计算是解决本题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围；
（2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值．
【详解】（1）解：，
∵有两个不相等的实数，
∴，
解得：；
（2）∵方程的两个根为，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）．
即：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
16．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）利用正方形的性质证明再结合BE＝DF，从而可得结论；
（2）先利用正方形的性质证明 再求解EF的长，再利用四边形AECF的面积，即可得到答案．
【详解】（1）证明： 正方形ABCD，


（2）如图，连结AC，
正方形ABCD，



∴四边形AECF的面积
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握“正方形的对角线相等且互相垂直平分”是解本题的关键．
17．(1)100名，见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360度即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：本次被调查的学生有名；
选择“足球”的人数为名，
补全条形统计图如下：

（2）解：扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率是；
18．（1），B（1，8）；（2）（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；（3）10．
【详解】试题分析：（1）把点A的坐标代入，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；
（2）△PAB是以AB为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，求得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．证明△AHM∽△EHA，再根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若∠ABP=90°，同理即可得到点P的坐标；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到．由A、B都在反比例函数的图象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割补法可求出S△COB，再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB．
试题解析：（1）把A（4，2）代入，得k=4×2=8，∴反比例函数的解析式为，解方程组，得：或，∴点B的坐标为（1，8）；
（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=﹣2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，∴，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为，则有，解得m=，∴直线AP的解析式为，解方程组，得：或，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，）．
综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴．∵，∴．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，∴=，即．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数的图象上，∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）=（﹣2×+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10=（﹣2×+10），解得：a=3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．
设直线BC的解析式为，则有，解得：，∴直线BC的解析式为．当x=0时，y=2，则点D（0，2），OD=2，∴S△COB=S△ODC+S△ODB=OD·CT+OD·BS=×2×3+×2×2=5．∵OA=OC，∴S△AOB=S△COB，∴S△ABC=2S△COB=10．
考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．
19．8
【分析】利用分式的化简法则，将原式化简，再将变形为，整体代入即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
将变形为，
故原式，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，利用整体代入求值是解题的关键．
20．
【分析】证明，求得，证明，求得，从而求得，然后由针尖落在黑色区域内的概率为求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴针尖落在黑色区域内的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，相似三角形的判定与性质，熟练掌握几何概率公式，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21．
【分析】设“加倍矩形”的长为，则宽为，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得到“加倍矩形”的长和宽，再利用勾股定理即可求出其对角线长．
【详解】解：设“加倍矩形”的长为，则宽为，
由题意得：，
整理得：，
解得，，
当时，宽为，符合题意；
当时，宽为，不符合题意；
所以“加倍矩形”的长为，则宽为．
，
所以“加倍矩形”的对角线长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，找准等量关系，列出一元二次方程和求出“加倍矩形”的长和宽是解题关键．
22．
【分析】根据题意，解出，两点的坐标，如图所示，过点作轴于，可证，可得的关系，设，则，再根据矩形的对称中心为，可求出的，即求出的坐标，由此即可求解．
【详解】解：∵直线与坐标轴交于，两点，
∴令时，；令时，；
∴，，则，
如图所示，过点作轴于，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，且，
∴，且，
∴，
∴，
设，则，
即，则，
∵矩形的对称中心为，且，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
即，
∵双曲线正好经过，两点，
∴，
解得，，（不符合题意，舍去），
∴点，
∴设过点，点所在直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数，反比例函数图像的性质，对称中心点的坐标的计算方法，几何图形的性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
23．
【分析】取中点，连接，取中点，连接，作于点．设，由折叠可知则，得到，从而推导出，由三角形中位线定理得到，从而推导出，得到四边形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．
【详解】解：取中点，连接，取中点，连接，作于点．
∵，为的中点，
∴，，．
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，则于点，

设，由折叠可知则，
∵，
∴，，
又由折叠得，，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
∴，
∵是的中位线，
∴，，
∴，
由折叠知，，
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
在 中，，
∴，
解得：，
∴，，即，，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
24．（1）A商品60元/件；B商品50元/件；（2）A商品降价10元.
【分析】（1）根据题干找到数量关系，列出方程组，解方程组即可；
（2）依题意列出方程，解方程即可.
【详解】解：（1）设购进A商品每件需x元，购进B商品每件需y元，依题意得：

解得：
（2）设A种商品每件降价a元，则A商品每天可销售（100+20a）件，依题意得：

解得：
当a=5时，100+20a=100+100=200
∵该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件
∴a=5不符合题意，舍去
∴a=10
答：（1）购进A、B两种商品每件各需60，50元；
（2）A种商品每件降价10元.
【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元二次方程与实际问题，正确理解题意，列出方程是解题的关键.
25．(1)．
(2)．
(3)，理由见解析
【分析】（1）设．证明，构建方程求解即可．
（2）解直角三角形可得，，利用三角形面积公式，矩形的面积公式求解即可．
（3）过点P作，设，先证明，可得，设，得出，再求面积最小值即可．
【详解】（1）解：设，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，，
，
，
．
（2）四边形是矩形，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
．
（3）过点P作，设，
则，，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
的面积
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的面积的最小值．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质及二次函数的最值等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型．
26．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了四边形的综合应用，轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出正确的辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到对边平行，再利用平行线的性质，可得，再利用轴对称的性质，可得，即可解答；
（2）过G作于H，设，则，利用中心对称的性质得到，从而得到的值，再根据勾股定理列方程，即可解答；
（3）连接，，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据①中结论，即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
四边形与关于所在的直线成轴对称，
，
；
（2）过G作于H，
如图
设，则，
，
，
四边形是矩形，
，
，
点O为矩形的对称中心，
，
，
在中，，
，
解得 (此时大于AD，舍去)或，
，
AE的长为：
（3）证明：O作于Q，连接，，，
如图∶

点O为矩形的对称中心，过点O，
O为中点，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，，
，
，
，
；
连接，，
如图：
四边形与关于所在直线成轴对称，
，
点O为矩形的对称中心，
，，
同理，
由（1）知，
，即
，
，
，
，
，，
，
，，
即
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，由①知：，
，
，
，
的值为