2025-2026学年上海市闵行区莘城学校九年级数学上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年上海市闵行区莘城学校九年级数学上学期10月月考数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是（ ）
A．都含有一个30°的内角B．都含有一个45°的内角
C．都含有一个60°的内角D．都含有一个80°的内角
2．已知两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形对应高的比为（ ）
A．B．C．D．
3．已知中，点、分别在边、上．下列条件中，不能推断与相似的是（ ）
A．B．C．D．
4．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm、60 cm、80 cm，乙三角形框架的一边长为20 cm，则符合条件的乙三角形框架共有（ ）.
A．1种B．2种C．3种D．4种
5．已知，求作，则下列作图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在中，，，那么下列比例式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．已知线段厘米，厘米，则线段a和c的比例中项b是 厘米．
8．已知点是线段的黄金分割点，厘米，则较长线段长是 厘米．
9．设2y－3x＝0（y≠0），则＝ ．
10．若某一地图与实际距离之比为，若地图上两地的距离为，则的实际距离为 ．
11．如图，已知∥∥，，，那么 ．
12．如果直角三角形的重心到直角顶点的距离是4，那么该直角三角形的斜边长是 ．
13．如图，中，，若，，求等于
14．如图，在平行四边形中，点在边上，连接交于点，．则 ．
15．如图，，点在上，与交于点，，，则 ．
16．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB= ．
17．已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 ．
18．如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．求： ．
三、解答题
19．已知：，求的值．
20．如图，在中，点、分别在、上，平分，．如果，，，求和的长．
21．如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，．
(1)求证：；
(2)如果，，．求的面积．
22．如图，在中，于D，作于E，F是中点，连交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
23．如图，已知，在锐角中，于点E，点D在边AC上，连接BD交CE于点F，且．
求证：；
连接AF，求证：．
24．如图，已知直线交轴、轴分别为点、．
(1)点在直线上，，求点的坐标．
(2)点，在的延长线上，且，求的值．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE＝x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果AD＝BF，求证：AEF∽DEA；
（3）当点E在边CD上移动时，AEG能否成为等腰三角形？如果能，请求出线段DE的长；如果不能，请说明理由．

《上海市莘城学校2025--2026学年九年级数学上学期10月月考数学试卷》参考答案
1．C
【分析】根据等腰三角形的性质和内角和定理，等腰三角形的顶角可能是钝角或锐角、直角，但底角只能是锐角，由两角相等的两个三角形相似，得出答案．
【详解】解：等腰三角形的一个内角为30°，这个角可能是顶角，也可能是底角，
∴都含有一个30°的内角的两个等腰三角形不一定相似，
∴A不能判定；
同理：B、D也不能判定；
等腰三角形的一个角为60°，为等边三角形，所有的等边三角形都相似
∴都含有一个60°的内角的两个等腰三角形一定相似；
∴C能判定；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，熟知等腰三角形的顶角的范围是解决问题的关键．
2．A
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，
根据相似三角形的对应高线的比等于相似比得出答案.
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形对应高的比是.
故选：A.
3．C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题关键，根据相似三角形判定方法依次判断即可．
【详解】解：如下图，由题意得，，
A、当时，；故本选项不符合题意；
B、当时，；故本选项不符合题意；
C、当时，不能推断与相似；故本选项符合题意；
D、当时，；故本选项不符合题意；
故选：C．
4．C
【详解】试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．
故选：C．
点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
5．A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解．
【详解】解：即，
．根据作图可知：，符合题意，故该选项符合题意；
．根据作图可知：，不符合题意，故该选项不符合题意；
．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意；
．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意；
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例得到，，判断选项AB，再根据四边形为平行四边形，得到，则，判断CD选项．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，故A选项正确，B选项错误；
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，故C，D选项错误；
故选：A．
7．4
【分析】本题考查比例的性质，根据题意，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴，
解得，
又∵线段的长度是正数，
∴．
故答案为4．
8．/
【分析】根据黄金分割点的概念可得，代入即可求解。
【详解】∵点是线段的黄金分割点，且是较长线段，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．正确理解黄金分割点是解题的关键．
9．
【分析】先由2y-3x=0（y≠0），可得3x=2y，根据比例的基本性质得出，因而可以设y=3k，则x=2k．代入求出的值．
【详解】解：∵2y-3x=0（y≠0），
∴3x=2y，
∴，
设y=3k，则x=2k，
∴=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．如果已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
10．6
【分析】此题考查了比例尺的性质．掌握比例尺的定义是解题的关键，注意单位要统一．在比例尺为的地图上，两地的距离为，根据比例尺的定义，可求得的实际距离．
【详解】解：∵比例尺为，地图上两地的距离为，
∴的实际距离为，
故答案为：6．
11．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解.
【详解】∵∥∥，
∴BD:DF=
又
∴BD==6
故答案为6
【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是找到对应线段的关系.
12．12
【分析】根据三角形的重心的性质求出CD，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：如图：
由题意得，CG=4，
∵点G是△ABC的重心，
∴CD=CG=6，CD是△ABC的中线，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，
∴AB=2CD=12（cm），
故答案为：12cm．
【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
13．25
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，
根据，可得，进而得，即可求出，再根据求出,然后根据得出答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴.
∵，
∴,
∴.
∵，
∴.
∵，
∴,
∴.
故答案为：25.
14．
【分析】此题主要考查了平行四边形和相似三角形的判定与性质，根据平行四边形得到，，则，得到，由，得到，，即可求出的值．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
15．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．由证明，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
同理由，得到，
∴，
∵，，
∴，
解得，
故答案为：．
16．4
【详解】∵AB⊥BD，ED⊥BD∴∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°
∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°∴∠A=∠ECD∴△ABC∽△CDE∴ ∴AB=4
17．2或/或2
【分析】由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E的位置未定，需分类讨论．
【详解】解：分两种情况：
（1）当点E在线段AD上时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BC，BC=6，DE=AE=3，
∴∠EAM=∠BCM，∠AEM=∠CBM，
∴△AEM∽△CBM，
∴=2；
（2）当点E在线段AD的延长线上时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BC，BC=6，DE=3，
∴AE=6+3=9，∠EAM=∠BCM，∠AEM=∠CBM，
∴△AME∽△CMB，
∴．
．
故答案为或2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．
18．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据题意可得：平分，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，最后根据黄金三角形的定义可得，从而进行计算即可解答．本题考查了黄金分割，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，作图基本作图，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
由题意得：平分，
，
，
，
，
，
，
，
是顶角为的等腰三角形，
是黄金三角形，
，
，
设
∴
19．
【分析】本题主要考查了比例线段，
先设，即可表示出，再代入求出k，则此题可解.
【详解】解：设，
则.
∵，
∴，
解得，
所以.
20．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，等角对等边，
先说明，可得，再代入数值求出，然后根据“等角对等边”得，接下来根据平行线分线段成比例得，则此题可解.
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
即,
解得.
∵平分，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
即，
解得.
21．(1)见解析
(2)36
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似并掌握相似三角形的性质是解题的关键．
（1）先由平行线分线段成比例定理得，再结合已知得，即可得出结论；
（2）先根据已知结合（1）得，求出，再证明，根据相似三角形的性质得，进而可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
（1）只要证明，可得，推出即可解决问题；
（2）利用直角三角形斜边中线定理求出，题根据，可得，由此可得，题利用第一问的结论，即可解决问题；
【详解】（1）证明：∵于，作于，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）证明△EFB∽△DFC，根据相似三角形对应角相等可得∠EFB=∠FDC，从而证得BD⊥AC；
（2）由∽，可得，从而证明∽，根据相似三角形的性质可得，再根据，从而得∽，根据相似三角形的性质即可得.
试题解析：（1），
，
，
∽，
，
，
，
，
；
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
．
24．(1)或
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，
对于（1），先求出点A，B的坐标，再设点，作轴，然后根据相似三角形的性质求出，进而得出答案；
对于（2），先求出，再说明，根据相似三角形的对应边成比例得出答案.
【详解】（1）解：当时，；当时，，
∴点，
∴.
当P在线段上时，过点P作轴，于点D，设点，
则.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴点；
当P在射线上时，作轴，于点，设点，
则.
同理可得，
∴，
即，
解得，
∴点.
所以点或；
（2）解：根据勾股定理，得，,
∵，
∴，
∴，
即.
25．（1）y＝x，（0＜x＜4）；（2）见详解；（3）或或．
【分析】（1）由矩形的性质推出∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，即得∠D＝∠ABF，再由AF⊥AE得出∠EAF＝∠BAD＝90°，然后由∠EAF＝∠BAF＋∠BAE，∠BAD＝∠DAE＋∠BAE，得出∠DAE＝∠BAF，由∠D＝∠ABF，∠DAE＝∠BAF，得△DAE∽△BAF，再由三角形相似的性质得到y关于x的函数解析式，从而得出x的取值范围；
（2）由AB∥CD，得出．即得FG＝EG，再由∠EAF＝90°，得AG＝FG，∠FAG＝∠AFG，∠AFE＝∠DAE，再由∠EAF＝∠D，∠AFE＝∠DAE，得△AEF∽△DEA；
（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能成为等腰三角形，此时可以推断出三种情况，一一推断即可．
【详解】解：（1）在矩形ABCD中，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝3．
∴∠D＝∠ABF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°．
又∵∠EAF＝∠BAF＋∠BAE，∠BAD＝∠DAE＋∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAF．
∴△DAE∽△BAF．
∴，
∵DE＝x，BF＝y，
∴，即：y＝x．
∴y关于x的函数解析式是y＝x，（0＜x＜4）；
（2）∵AD＝BF，AD＝BC，
∴BF＝BC．
在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴，
∴FG＝EG．
∵∠EAF＝90°，
∴AG＝FG．
∴∠FAG＝∠AFG．
∴∠AFE＝∠DAE．
又∵∠EAF＝∠D，
∴△AEF∽△DEA；
（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能成为等腰三角形．
①当AG＝EG时，则∠GAE=∠GEA，
∵∠EAF=90°，
∴∠GAE+∠GAF=90°，∠GEA+∠AFG=90°，
∴∠GAF=∠AFG，
∴EG＝FG＝AG，
∵AB∥CD，
∴FB＝BC＝3
当y＝3代入y＝x，得x＝，即：DE＝；
②当AE＝GE时，过点G作GH⊥DC，

∴∠EAG=∠EGA，∠DAG=∠HGA=90°，
∴∠DAE=∠HGE，
∵∠D=∠GHE=90°，AE＝GE
∴△ADE≌△GHE，
即EH＝DE＝x，GB＝HC＝4−2x，GH＝3
∵△FBG∽△FCE，
∴，即，
解得x＝，经检验，x＝是方程的解，即DE＝；
③当AG＝AE时，
∵AE2＝AD2＋DE2＝9＋x2
∴AG＝，
∴GB＝4−，
∵△FBG∽△FCE，
∴ ，即：
解得：x＝，经检验，x＝是方程的解，即DE＝．
综上所述：DE的值为：或或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，以及相似三角形的判定和性质和一次函数的综合运用．掌握相似三角形的判定和性质，和分类讨论思想方法是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
C
A
C
C
A
A