2025-2026学年山东省济南市章丘区八年级上学期质量检测数学试题

这是一份2025-2026学年山东省济南市章丘区八年级上学期质量检测数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在下列各数，，，，，，，， ，，（相邻两个之间的个数逐次加），，其中无理数的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若点关于x轴对称的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．如图，在数轴上表示和的两点之间表示整数的点有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．6个
6．分析下列说法：①每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；②没有平方根；③的算术平方根是4；④平方根与立方根相同的数是0和1；⑤0.01的算术平方根是0.1；⑥是的平方根．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则BC边上的高为（ ）．
A．B．C．D．
8．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠使点B落在边上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E则的长是（ ）

A．B．C．D．5
10．已知，，，，…都是边长为的等边三角形，按如图所示摆放．点，…都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为 ．
12．若，则代数式 ．
13．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为 ．
14．如图，将一根长为的牙刷放置在底面直径为，高为的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小 ．
15．如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求：
(1)、、的值；
(2)的立方根．
18．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米?
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，．
(1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________；
(2)点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________．
20．十一黄金周期间，为了给顾客更好的购物体验，某超市便利店在店门口离地面一定高度的墙上D处，设置了一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音．如图，一个身高的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃到地面的距离与到该生头顶的距离相等．
(1)请计算迎宾门铃到地面的距离等于多少米？
(2)若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？
21．在平面直角坐标系中，已知点，点．
(1)若点M在x轴上，求m的值和点M坐标；
(2)若点M到x轴，y轴距离相等，求m的值；
(3)若轴，且，求n的值．
22．【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长；
【深入探究】
（2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长．
23．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？
【探究】
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________．
【应用】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离．
【拓展】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计）
24．阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”．
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以
所以 ，所以
所以 ，所以，所以．
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
(1)的有理化因式是 ____________；____________；
(2)比较大小： ___________（填， ，或中的一种）；
(3)计算： ；
(4)若，求 的值．
25．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图①，中，若，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________；
(2)【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，求线段的长；
(3)【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段三者之间的等量关系，并证明你的结论．
《山东省 济南市 章丘区2025-2026学年上学期质量检测八年级数学试题 》参考答案
1．B
【分析】本题主要考查无理数的概念,求一个数的算术平方根、立方根，掌握无理数的概念及常见形式是关键．无理数是无限不循环小数，常见无理数有：含有π的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如（相邻两个3之间1的个数逐次加1），由此即可求解．
【详解】解：∵，，；
∴，0.32，，0，，，是有理数，
，， ， （相邻两个1之间2的个数逐次加1），是无理数，无理数有4个．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，
此三角形是直角三角形，不符合题意；
B、，
此三角形不是直角三角形，符合题意；
C、，
此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、，
此三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可．
【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B选项，属于同类二次根式相减，即，故错误；
C选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误；
D选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确．
故选：D ．
4．A
【分析】先根据轴对称的性质求出点关于轴对称的点的坐标，再根据横、纵坐标的正负判断所在象限，明确关于轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变纵坐标变为原来的相反数．
【详解】解：∵已知点，关于x轴对称的点的坐标：横坐标保持不变，纵坐标的相反数是，
∴对称点的坐标为，
∵第一象限的点坐标特征是(正，正)；
第二象限的点坐标特征是(负，正)；
第三象限的点坐标特征是(负，负)；
第四象限的点坐标特征是(正，负)；
∴点的横坐标和纵坐标都是正数，符合第一象限的坐标特征；
故选：A．
【点睛】本题考查关于坐标轴对称的两点的坐标之间的关系，判断点所在象限，解题的关键是掌握关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
5．A
【分析】先估算和的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：因为，，
所以和的两点之间整数有-2，-1，0，1，2，3，4.有7个整数．
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式的估算，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的估算．
6．B
【分析】本题考查了实数的性质，利用平方根、算术平方根的意义，无理数与数轴的关系是解题的关键．根据平方根、算术平方根的意义，无理数与数轴的关系，可得答案．
【详解】解：①每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示，正确；
②当时，有平方根0，故原说法错误；
③的算术平方根是2，故原说法错误；
④平方根与立方根相同的数是0，故原说法错误；
⑤0.01的算术平方根是0.1，正确；
⑥是的平方根，正确．
综上所述：正确的有①⑤⑥．
故选：B．
7．C
【分析】根据题意可求得AB，AC，BC的长，作AD⊥BC于D，根据勾股定理就不难得到AD的长了．
【详解】根据题意得AB=AC=，
∴△ABC为一等腰三角形，
作AD⊥BC于D，
∴BD=，
AD=
即BC边上的高为
故选C
【点睛】解答本题要充分利用正方形的性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用．
8．A
【分析】根据棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），进而得出原点的位置，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：以帅的位置为原点建立平面直角坐标系，
则棋子“炮”的点的坐标为（1，3）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
9．C
【分析】根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可．
【详解】解：根据折叠，可知，，
，，
，
，
，
，
设，
，，
，，
，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10．A
【分析】这是一道结合等边三角形性质与平面直角坐标系的规律探索题．解题时先利用勾股定理算出等边三角形的高，再通过观察图形中点的坐标变化，归纳出点的坐标随序号变化的周期规律，最后结合规律计算出目标点的坐标，考查了等边三角形性质、坐标规律探索及平面直角坐标系的相关知识．
【详解】解：如图，过点分别作轴的垂线，
∵，是边长为的等边三角形，
∴，
∴点的坐标为，
由题意可得点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
∴点的坐标为，
由图可知：三个坐标为一组，第二、三个在轴上，
∵
∴点在轴上，
∴
故选：A．
11．
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握各象限内点的坐标特征．
根据第二象限内点的坐标特征进行求解即可．
【详解】解：∵点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标是，纵坐标是4，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
12．1
【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵，
，，
，，
∴
故答案为：1.
13．10或
【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用以及分类讨论思想，解题的关键是分情况讨论已知的两边是直角边还是其中一边为斜边，再利用勾股定理计算第三边的长度．
分两种情况计算：当6和8为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为；当8为斜边、6为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得第三边长为．
【详解】解：本题可分两种情况讨论：
情况一：若6和8均为直角边，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为；
情况二：若8为斜边，6为直角边，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为．
故第三边的长为10或．
故答案为：10或．
14．5
【分析】本题考查勾股定理，当牙刷一端在底面圆上时，露在筒外的长度最小，根据实际情况构建数学模型是解题的关键．
【详解】解：如图，为底面直径，为高，当牙刷如图放置时露在筒外的长度最小，
，，
，
，
即牙刷露在筒外的长度最小，
故答案为：5．
15．3或
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键．
分三种情形，当或或时，画出图形来解答．
【详解】解：当时，
∵将沿折叠到，
．
．
∴点A、、三点共线．
∵，D是的中点，
∴，
，
∴．
∴．
设，则．
∵在中，，
∴．
解得．
．
当时，，
∵，
．
．
当时，
∵，
∴当时，四边形是矩形．
∴．
但，
∴矛盾．
∴不可能为．
综上，或．
故答案为：3或．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再计算减法，进而计算加法即可；
（2）先计算乘法公式，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
17．(1)，，
(2)
【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、求算术平方根的整数部分等知识点，能求出、、的值是解题的关键．
（1）根据算术平方根和平方根的定义求出、的值，再估算出的大小，求出的值即可；
（2）将（1）中求出的、、的值代入，求出结果后再求出立方根即可．
【详解】（1）解：的算术平方根是，的平方根是，
，，
解得：，，
，
，
的整数部分是，即，
，，；
（2）解：，，，
，，
的立方根是．
18．3米
【分析】先在中，根据勾股定理求出米，由题意得，则米．再在中，根据勾股定理求出米，进而可得的长为3米，即墙的高度．
本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：在中，米，米，
∴米，
由题意得，
∴米，
在中，米，米，
∴米，
又∵米，
∴米，
∴墙的高度为3米．
19．(1)图见解析，
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键．
（1）根据轴对称的性质得到对应点，再顺次连接即可画图；
（2）问题转化为求的最小值，作C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求；
（3）先由割补法求得，再根据求得，进而可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求，则点C关于y轴的对称点的坐标为；
（2）解：如图，点P即为所求；
（3）解：，
∴，
∴，
∴点F的坐标为或．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作于点，则，，设迎宾门铃距离地面，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）为该生向前走后的位置，则，，由（1）可知，，然后在中，由勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，，，
过点作于点，如图1，
则，，
设迎宾门铃距离地面，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得：．
答：迎宾门铃到地面的距离等于；
（2）解：为该生向前走后的位置，如图2，
则，
，
由（1）可知，，
在中，由勾股定理得，
答：此时迎宾门铃距离该生头顶．
21．(1)；
(2)或
(3)的值为4或2
【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标等于0即可得；
（2）先点的横、纵坐标的绝对值相等即可得；
（3）先根据可得的值，再根据轴可得点的横坐标相等，由此即可得．
【详解】（1）解：点在轴上，
，
解得：，
，
∴点M的坐标为．
（2）解：点到轴，轴距离相等，
，
即或，
解得：或．
（3）解：轴，且，点，点，
，，
解得或，
当时，，
当时，，
综上，的值为4或2．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律、点到坐标轴的距离，熟练掌握点坐标的特征是解题关键．
22．（1）12；（2）3
【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理．
（1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长；
（2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长．
【详解】解：（1）在中，，，
∵，
∴，
由折叠性质得：，
在中，由勾股定理得：；
（2）∵四边形是长方形，，，
∴，，，
由折叠性质得：，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
23．（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3）
【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，
故答案为：；
（2）将圆柱体展开，由题意得
，
蚂蚁爬行的最短距离为；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点，
，,
，
，
，
蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是．
故答案为：．
24．(1)，
(2)
(3)2024
(4)7
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式，代数式求值．
（1）根据有理化因式的定义即可解决问题；
（2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题；
（3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可；
（4）根据题干所给示例进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的有理化因式是，
∴．
故答案为：，；
（2）解：∵，，
显然，即
又∵和都是正数，
∴，
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．(1)；
(2)8
(3)，见解析
【分析】（1）由已知和作图得到，得到，根据三角形三边关系得到；
（2）延长到M，使，连接， 根据，推出，根据，推出，得到，，根据，得到，得到；
（3）延长到点G，使，连接，，根据线段垂直平分线性质得到，根据，推出，得到，，根据，得到，中，由勾股定理得：，即得．
【详解】（1）由已知和作图得到，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；．
（2）延长到M，使，连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
（3）等量关系为：．
理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴中，由勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，三角形全等的判断和性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，三角形三边关系，是解决问题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
A
A
B
C
A
C
A