山东省济南市章丘区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份山东省济南市章丘区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共12页。试卷主要包含了下列图形中，是中心对称图形的是，已知a＞b，如图，点A，B的坐标分别为等内容，欢迎下载使用。

本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器．
选择题部分 共40分
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知a＞b．下列不等式变形正确的是（ ）
A．a＋1＜b＋1 B．－3a＜－3b C．2a＜2b D．2a－3＜2b－3
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．ax－ay－1＝a（x－y）－1
4．不等式2x≤4的解集在数轴上表示正确的为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若BC＝5，BD＝3，则点D到AB的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，点A，B的坐标分别为（－2，1），（0，－2）．若将线段AB平移至，且点，的坐标分别为（1，4），（a，1），则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC＝8 cm，AB＝10 cm，则△EBC的周长为（ ）
A．16 cm B．18 cm C．26 cm D．28 cm
8．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A′B′C′，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝26°，∠BCA′＝44°，则α等于（ ）
A．37° B．38° C．39° D．40°
9．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ，再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM＋MN的最小值为（ ）
A．9.6 B．10 C．12 D．12.8
10．对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p＋q－pq，如，2@3＝2＋3－2×3，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组有2个整数解，则m的取值范围为是（ ）
A．3≤m＜5 B．3＜m≤5 C．3≤m≤5 D．3＜m＜5
2023—2024学年第二学期期中考试
八年级数学试题
非选择题部分 共110分
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：．
12．在平面直角坐标系中，把点P（－2，3）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后点的坐标为________．
13．如图，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象与一次函数y＝－x＋6的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式－x＋6＞kx的解集是________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为20，则平移距离为________．
15．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm．若按相同的方式将30°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿交点C在尺上准确读数为________cm
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF＝∠CAG＝90°，AB＝AF，AC＝AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF，则下列结论：①BG＝CF；②BG⊥CF；③∠EAF＝∠ABC；④EF＝EG，其中正确的有________________（写出所有正确结论的序号）
三．解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分6分）
解不等式组，并写出它的所有正整数解．
18．（本小题满分6分）
把下列各式因式分解：
（1）； （2）．
19．（本小题满分6分）
如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，求证：△CDE是等腰三角形．
20．（本小题满分8分）
如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，该船以30海里/时的速度向正北航行，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处？
21．（本小题满分8分）
如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证；△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
22．（本小题满分8分）
正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）△ABC的形状为________三角形；
（2）把△ABC向右平移5个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的；
（3）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°的，并写出点的坐标．
23．（本小题满分10分）
“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．
（1）求A，B两种跳绳的单价；
（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？
24．（本小题满分10分）
先阅读以下材料，然后解答问题：
mx＋nx＋my＋ny＝（mx＋nx）＋（my＋ny）＝x（m＋n）＋y（m＋n）＝（m＋n）（x＋y）
mx＋nx＋my＋ny＝（mx＋my）＋（nx＋ny）＝m（x＋y）＋n（x＋y）＝（m＋n）（x＋y）
以上分解因式的方法称为分组分解法．
（1）请用分组分解法分解因式：① ②
（2）拓展延伸
①若，求x，y的值；
②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？
25．（本小题满分12分）
如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）【猜想】如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是________，位置关系是________；
（2）【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝6，，当A，E，D三点在同一直线上时，直接写出BE的长．
26．（本小题满分12分）
如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点．
（1）求B、C两点的坐标．
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点，则当点A运动到什么位置（求出点A的坐标）时，△AOB的面积是3．
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023—2024学年第二学期期中考试
八年级数学参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
ABCDA DBDAA
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（a＋3）（a－3） 12．（－4，0） 13．x＜2 14．4 15． 16．①②③④
三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程验算步骤）
17.（本小题满分6分）
解：解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集为1≤x＜4，
∴不等式组的所有正整数解有1，2，3
18.（本小题满分6分）
（1）
（2）
＝[2x＋（x＋1）][2x－（x＋1）]
＝（3x＋1）（x－1）．
19．（本小题满分6分）
证明：∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴ED＝EC，
∴△CDE是等腰三角形．
20．（本小题满分8分）
解：∵∠CBD为△ABC的外角，∠CBD＝60°，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠CBD－∠CAB＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
AB＝30×（9.5－8）＝45，
∴AB＝BC＝45，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，∴，
∴从B到D用的时间为，
则当船继续航行，10时15分到达灯塔C在正东方向．
21．（本小题满分8分）
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝CA，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
（2）解：由（1）已证：△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BFD＝∠ABE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°．
22．（本小题满分8分）
（1）等腰直角．
（2）如图，即为所求．
（3）如图即为所求．点的坐标为（－3，1）
23．（小题共10分）
解：（1）设A种跳绳的单价为a元，B种跳绳的单价为b元．
由题意可得，
解得
答：A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元
（2）解：设购买A型跳绳m根．
∵班级计划购买A，B两型跳绳共48根
∴购买B型跳绳（48－m）根．
根据题意得：48－m≥2m
解得：m≤16．
设购买跳绳所需费用为w元，
则w＝25 m＋30（48－m）
即w＝－5m＋1440
∵－5＜0，
∴w随m的增大而减小．
∴当m＝16时，w取得最小值，最小值＝－5×16＋1440＝1360．
答：购买跳绳所需最少费用是1360元．
24．（本小题满分10分）
（1）②解：
＝（x＋y）·（x－y）＋4（x＋y）
＝（x＋y）·（x－y＋4）；
②解：
＝（x＋y－2）（x－y－2）；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，，
∴x＝y＝4，
②
∵，，
∴，时，代数式有最小的值，最小的值是－10．此时2x－3y＝0，x＋4＝0，∴，x＝－4，
即当x＝－4，时，代数式有最小的值，最小的值是－10．
25．（本小题满分12分）
（1）故答案为：BE＝AD，BE⊥AD；
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由：
由旋转知，∠BCE＝∠ACD，∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE＝AD，∠CBE＝∠CAD，
∵∠ACB＝90°，∴∠CBE＋∠BHC＝90°，
∴∠CAD＋∠BHC＝90°，
∵∠BHC＝∠AHG，
∴∠CAD＋∠AHG＝90°，
∴∠AGH＝90°，
∴BE⊥AD；
（3）解：①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，
∵△DCE是等腰直角三角形，且，∴，
∵CM⊥AD，∴，
在Rt△ACM中，AC＝6，∴，
∴，
在Rt△ACB中，AC＝6，，
在Rt△ABE中，；
②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，
∵△DCE是等腰直角三角形，且，
∴，
∵CN⊥AD，∴，
在Rt△ACN中，AC＝6，∴，
∴，
在Rt△ACB中，AC＝6，，
在Rt△ABE中，；
综上，BE的长为或．
26．（本小题满分12分）
解（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，
令x＝0，得到y＝1，即C（0，1）；
令y＝0，得到x＝－2，即B（－2，0）；
（2）解：∵点A（x，y）是第一象限内的直线上，且，
由（1）知B（－2，0），∴OB＝2，
∴y＝3，当y＝3时，x＝4，∴A（4，3）；
（3）P的坐标为（8，0）或或（5，0）或（－5，0）．