2025-2026学年广东省深圳市南山区南山外国语学校（集团）高新中学九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省深圳市南山区南山外国语学校（集团）高新中学九年级上学期10月月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．a=2，b=3，c=4，d=1B．a=2, b=, c=，d=
C．a=4，b=6，c=5，d=10D．a=，b=3，c=2，d=
3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．
C．且D．
4．学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线、交于点O，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法中不正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．正方形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
7．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，则的长不可能等于（ ）
A．B．5C．D．6
二、填空题
9．已知，则的值为 ．
10．若方程的两根之积为，则为 .
11．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为 ．
12．如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是 ．
13．如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是 ．
三、解答题
14．解方程：
(1)
(2)
15．小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式
…
小红：原式
…
(1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______．
A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
(2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值．
16．我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
(1)抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图；
(2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？
(3)甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率．
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

18．
19．材料阅读：
材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数．
材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中）为实数．且，有如下运算法则：
；
；
；
(1)填空：化简________，________；
(2)关于的一元二次方程有一个根是，其中是实数，求的值．
20．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
背景
今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送．
素材1
某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元．
素材2
随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任务1
求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率．
任务2
根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价．
任务3
根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由．
《广东省深圳市南山区南山外国语学校（集团）高新中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷》参考答案
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解决本题的关键是知道一元二次方程的概念．
根据一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）进行判断即可．
【详解】解：A．最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故此选项符合题意；
D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】根据成比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A．4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项错误；
B．2×=×2，四条线段成比例，故本选项正确；
C．4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项错误；
D．×3≠2×，四条线段不成比例，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：A．
4．C
【分析】先求出在B盘中，相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色，再画树状图，然后由概率公式求解即可．
【详解】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，
∴B盘红色扇形区域所占的圆心角是，
∴相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
∴小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理，找到与相关的线段比例关系进行求解．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理并能准确找到对应线段的比例关系是解题的关键．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的性质，牢固掌握菱形、矩形、正方形的性质与判定是解题关键．
利用菱形、矩形、正方形的性质与判定逐项分析即可．
【详解】A、四边相等的四边形是菱形，选项正确，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意；
C、正方形的对角线相等，选项正确，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，选项错误，符合题意；
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可．
【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意；
两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意；
选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意；
故选C．
8．A
【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，证明四边形为矩形，进而得到，根据垂线段最短，得到时最短，勾股定理求出的长，等积法求出的最小值，进行判断即可．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点P为斜边上一动点，
∴当时最短，
由勾股定理，得：，
当时，则：，即：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的长不可能为；
故选A．
9．
【分析】本题考查比例性质，利用设参法，设，，进而代值化简可求解．
【详解】解：∵，
∴设，，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：由题意得，
解得．
故答案为：．
11．5
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，准确找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键；
设长为，则的长为，再根据长方形的面积计算公式建立方程求解即可．
【详解】解：设长为，则的长为，
根据题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
∴长为．
故答案为：5．
12．
【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据菱形的性质，得到，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据菱形的面积公式对角线乘积的一半，进行求解即可．
【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积；
故答案为：．
13．
【分析】根据正方形的性质，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用“”证明和全等，则，从而得到；再求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小，据此解答．
【详解】解：如图，
在正方形中，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
，
，
．
取的中点，连接、，如图：
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，得，
当、、三点共线时，的长度最小，最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、三角形的三边关系，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．
14．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
∴或，
∴，；
（2）解：，
，，，
∴，
∴，
∴，．
15．(1)，
(2)，当时，原式
【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式分式的基本性质，把所求式子化简．
（1）观察小颖和小红的解法即可得到答案；
（2）选择小颖的解法，先算出括号里的值，再运用分式的乘法运算计算，根据分式的性质得到，代入计算即可；选择小红解法，先用乘法分配律，约分后再相加，化简后将有意义的的值代入计算即可．
【详解】（1）解：观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律；
故答案为：，；
（2）解：选择小颖的解法：
，
∵，
∴，
∴，则原式；
选择小红的解法，
，
，
；
∵当为，时，原式无意义，
∴当时，原式．
16．(1)50人；；补全条形统计图见解析
(2)80人
(3)；列表法见解析
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体以及用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是从统计图中提取有效信息（如部分数量及对应百分比）计算总人数和各项目人数，再通过样本比例估计总体数量，同时准确列举所有可能结果计算概率．
（1）①由B类人数人）及占比求抽取学生总数即可；②先计算D类人数占比，再用360度乘以占比即可求得圆心角；③用总数减去已知类别人数求得C类人数，补全条形图即可；
（2）先求得样本中C类人数占比，再用总体人数乘以该占比即可；
（3）列表列举甲、乙从A、B、C三类中选择的所有可能结果数，再找出两人选同一项目的结果数，然后用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：∵B类有人，且占抽取学生总数的，
∴抽取的学生人数为（人）．
∵D类有人，
∴D类人数占总人数的比例为，
则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为．
∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人，
∴C类人数为（人），补条形统计图如下．
故答案为：50人；．
（2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为，
∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）．
答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人．
（3）解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下：
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、．
∴他们两人填报同一项目的概率为．
答：他们两人填报同一项目的概率是．
17．(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.
【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；
(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．
【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
(2)∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案为：OE=5，BG=2．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．
18．任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；任务2：下调后每个手办的售价为50元；任务3：不能
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，，然后根据题意可得方程，进而问题可求解；
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，根据题意得到，进而问题可求解．
任务3：假设平均每天能获利2100元，设此时下调后每个手办的售价为元，列出方程求解即可．
【详解】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又 ∵要尽量减少库存，
，
答：下调后每个手办的售价为50元．
任务3：设下调后每个手办的售价为元，
则，
整理得：，
，
故平均每天不能获利2100元．
19．(1)2，
(2)．
【分析】本题主要考查了新定义虚数，求一元二次方程的虚数根．
（1）将代入，利用乘法公式求解即可得到答案；
（2）将方程的根代入，结合，是实数，求出m，n即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2，；
（2）解：∵一元二次方程有一个根是，
∴，即，
∴，
∵，是实数，
∴，
解得：，，
∴．
20．（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或16或12或．
【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到．
（2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可．
（3）运用分类思想解答即可．
【详解】（1）∵，，．
∴，
∴，，
∴即，
∵
∴，
∴．
（2）连接，延长交于点Q，根据（1）得，
∴，
∵是中线
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
（3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，
过点A作于点Q，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
故．
综上，直角三角形的面积为4或16或12或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
C
B
A
C
A
D
C
A


甲\乙
A
B
C
A



B



C