广东省深圳市南山区南山外国语学校（集团）2023-2024学年下学期九年级开学考数学试卷

这是一份广东省深圳市南山区南山外国语学校（集团）2023-2024学年下学期九年级开学考数学试卷，共24页。试卷主要包含了下列事件中，属于随机事件的是，下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，表示收入10.5元，下列说法正确的是
A．表示收入6.3元B．表示支出元
C．表示支出6.3元D．收支总和为16.8元
2．国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省，一度盛行于沈阳，故又称奉天大鼓、奉派大鼓、奉调大鼓、辽宁大鼓．如图是表演情景及乐器之一鼓的立体图形，该立体图形的主视图是
A．B．C．D．
3．2021年8月5日，安徽省政府新闻办举办新闻发布会上获悉，到2025年，我省林长制组织体系和目标责任体系更加完善，森林覆盖率超过，森林蓄积量达到2.9亿立方米．用科学记数法表示“2.9亿”，正确的是
A．B．C．D．
4．下列事件中，属于随机事件的是
A．抛出的篮球会落下
B．从装有红球、白球的袋中摸出黑球
C．14人中至少有2人是同月出生
D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
5．如图，中，，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接交于点，连接，则的长为 您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高
A．B．C．D．5
6．一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为
A．B．C．D．
7．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形中，，，，的度数为
A．B．C．D．
8．下列说法不正确的是
A．方程有两个不相等的实数根
B．若△由旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等C．用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线
D．在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等
9．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是
A．甲乙合作了4天B．甲先做了4天
C．甲先做了工程的D．甲乙合作了工程的
10．如图，为圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点，，连接，若，则的长度为
A．B．C．D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
12．因式分解： ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，轴于点，连接，则面积为 ．
14．新定义：，为一次函数，，为实数）的“关联数”．若“关联数”为，的一次函数是正比例函数，则点在第 象限．
15．如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若，则的长为 ．
三．解答题（共55分）
16．（5分）计算：．
17．（5分）先化简，再求值：，其中．
18．（9分）下表是小明这一学期数学成绩测试记录，根据表格提供的信息，回答下列问题：
（1）小明6次成绩的众数是 ，中位数是 ；
（2）若把四次练习成绩的平均分89分作为平时成绩，按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请求出小明本学期的综合成绩；
（3）若从四次练习成绩中随机抽取两次成绩作为平时成绩，则小明抽到两次成绩最好的练习的概率是多少？请用树状图或列表法示意．
19．（8分）如图，中，，点为上一点，且，过，，三点作，是的直径，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的直径．
20．（8分）某学校正在推进课堂信息化建设，希望通过采购一体机，提高学校硬件设备水平，更好的辅助教师教学．现有，两种型号64英寸的教学一体机．若购买2台型一体机，6台型一体机需要10万元；3台型一体机，5台型一体机需要9.8万元．
（1）请问每台，型一体机售价各是多少万元；
（2）现需要采购一体机共100台，并且按照学校现有的设备匹配发现购进型一体机不超过35台，请问怎么安排采购方案，能使得本次采购费用最少．
21．（11分）探究阅读题：
【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图
【探究任务1】确定心形叶片的形状
如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点的坐标．
【探究任务2】研究心形叶片的尺寸
如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于、两点，直线分别交抛物线和直线于点、点，点、是叶片上的一对对称点，交直线与点，求叶片此处的宽度．
【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线与水平线的夹角为，三天后，点长到与点同一水平位置的点时，叶尖落在射线上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．
22．（9分）综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动．
问题情境：在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．
（1）操作判断
当时，如图1，连接，试判断四边形的形状，并证明；
（2）深入探究
连接，取的中点，连接．善于思考的小东发现当点在边上运动时，的值始终不变，请你利用图2求的值．
（3）解决问题
若，，如图3，在（2）的探究中，当时，直接写出，两点之间的距离．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，表示收入10.5元，下列说法正确的是
A．表示收入6.3元B．表示支出元
C．表示支出6.3元D．收支总和为16.8元
【解答】解：根据表示收入10.5元，“收入”用正数表示，那么“支出”就用负数表示，
表示支出6.3元，
故选：．
2．国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省，一度盛行于沈阳，故又称奉天大鼓、奉派大鼓、奉调大鼓、辽宁大鼓．如图是表演情景及乐器之一鼓的立体图形，该立体图形的主视图是
A．B．C．D．
【解答】解：这个立体图形的主视图为：
．
故选：．
3．2021年8月5日，安徽省政府新闻办举办新闻发布会上获悉，到2025年，我省林长制组织体系和目标责任体系更加完善，森林覆盖率超过，森林蓄积量达到2.9亿立方米．用科学记数法表示“2.9亿”，正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：2.9亿，
故选：．
4．下列事件中，属于随机事件的是
A．抛出的篮球会落下
B．从装有红球、白球的袋中摸出黑球
C．14人中至少有2人是同月出生
D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
【解答】解：、抛出的篮球会落下，是必然事件，不符合题意；
、从装有红球、白球的袋中摸出黑球，是不可能事件，不符合题意；
、14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，不符合题意；
、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，符合题意．
故选：．
5．如图，中，，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接交于点，连接，则的长为
A．B．C．D．5
【解答】解：，，，
，
由作法得垂直平分，
，
为斜边上的中线，
．
故选：．
6．一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为
A．B．C．D．
【解答】解：过点作交于点，交于点，
，
，
，
．
故选：．
7．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形中，，，，的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：如图：
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：．
8．下列说法不正确的是
A．方程有两个不相等的实数根
B．若△由旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等
C．用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线
D．在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等
【解答】解：、方程，△，
方程有两个不相等的实数根，故本选项正确，不符合题意；
、若△由旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等，正确，本选项不符合题意；
、用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线，正确，本选项不符合题意；
、在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等，错误这两个角也可能是互补，本选项符合题意．
故选：．
9．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是
A．甲乙合作了4天B．甲先做了4天
C．甲先做了工程的D．甲乙合作了工程的
【解答】解：某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，
甲工作了4天，乙工作了天，
即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，
可知在③应填入的内容为：甲乙合作了4天，
故选：．
10．如图，为圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点，，连接，若，则的长度为
A．B．C．D．
【解答】解：连接，，
，为圆的直径，
，，
是圆的切线，
，
，
，
，
，
在中，，
故选：．
二．填空题（共5小题）
11．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：代数式有意义，
，
解得．
故答案为：．
12．因式分解： ．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，轴于点，连接，则面积为 1 ．
【解答】解：函数的图象经过点，轴于点，
，
故答案为1．
14．新定义：，为一次函数，，为实数）的“关联数”．若“关联数”为，的一次函数是正比例函数，则点在第 二 象限．
【解答】解： “关联数”为，的一次函数是正比例函数，
是正比例函数，
，
解得：，
则，，
故点在第二象限．
故答案为：二．
15．如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若，则的长为 ．
【解答】解：如图，取的中点，连接，．连接交于．
四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．计算：
【解答】解：原式
．
17．先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式
；
，
，，
，，
原式．
18．下表是小明这一学期数学成绩测试记录，根据表格提供的信息，回答下列问题：
（1）小明6次成绩的众数是 ，中位数是 ；
（2）若把四次练习成绩的平均分89分作为平时成绩，按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请求出小明本学期的综合成绩；
（3）若从四次练习成绩中随机抽取两次成绩作为平时成绩，则小明抽到两次成绩最好的练习的概率是多少？请用树状图或列表法示意．
【解答】解：（1）由题意知，小明6次成绩的众数是90，中位数是，
故答案为：90，90；
（2）综合成绩为：（分，
即小明本学期的综合成绩为93.5分．
（3）画树状图如下：（练习一~四的成绩记为A，B，C，D）
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小明抽到两次成绩最好的练习，两组的有2种结果，
概率为．
19．如图，中，，点为上一点，且，过，，三点作，是的直径，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的直径．
【解答】（1）证明：，，
，，
，
又，
，
是的直径，
，
，
，即，
，
是的切线；
（2）解：过点作于点，如图，
，
，
在中，，
设，，
，
，解得，
，
，
，，
，
，即，解得，
即的直径为．
20．某学校正在推进课堂信息化建设，希望通过采购一体机，提高学校硬件设备水平，更好的辅助教师教学．现有，两种型号64英寸的教学一体机．若购买2台型一体机，6台型一体机需要10万元；3台型一体机，5台型一体机需要9.8万元．
（1）请问每台，型一体机售价各是多少万元；
（2）现需要采购一体机共100台，并且按照学校现有的设备匹配发现购进型一体机不超过35台，请问怎么安排采购方案，能使得本次采购费用最少．
【解答】解：（1）设每台型一体机售价是万元，每台型一体机售价是万元，
根据题意得：，
解得，
答：每台型一体机售价是1.1万元，每台型一体机售价是1.3万元；
（2）设学校购进型一体机台，则购进型一体机台，采购费用为元，
根据题意得：，
，，
当时，有最小值，最小值为123，
此时型一体机（台，
购买35台型一体机，65台型一体机时采购费用最少．
21．探究阅读题：
【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图
【探究任务1】确定心形叶片的形状
如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点的坐标．
【探究任务2】研究心形叶片的尺寸
如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于、两点，直线分别交抛物线和直线于点、点，点、是叶片上的一对对称点，交直线与点，求叶片此处的宽度．
【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线与水平线的夹角为，三天后，点长到与点同一水平位置的点时，叶尖落在射线上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．
【解答】解：【探究任务1】：把代入，
得，
解得，
抛物线解析式为，
顶点的坐标为；
【探究任务2】：直线的解析式为，
，，
，
，
在中，
当 时，，
在中，
当 时，，
，，
．
，
，
、是叶片上的一对对称点，
，．
是等腰直角三角形，
，
．
【探究任务3】：直线与轴成角，
设直线的解析式为，
把点代入得，
解得．
直线的解析式为，
联立，
解得或，
，
同理可求出直线的解析式为，
，
把代入，
，
解得，
抛物线解析式为，
联立，
解得，，
幼苗是越长越张开，
不合题意，舍去，
，
作交 延长线于点，
，
设直线的解析式为，
把点和代入得，
解得，
直线的解析式为，
作轴交抛物线和直线分别于点，，作交曲线于，
，
，
，
，
，
△．
，
，，
叶片此时的长度为，最大宽度为．
22．综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动．
问题情境：在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．
（1）操作判断
当时，如图1，连接，试判断四边形的形状，并证明；
（2）深入探究
连接，取的中点，连接．善于思考的小东发现当点在边上运动时，的值始终不变，请你利用图2求的值．
（3）解决问题
若，，如图3，在（2）的探究中，当时，直接写出，两点之间的距离．
【解答】解：（1）四边形是菱形，理由如下：
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
（2）如图所示，延长至点，使，连接，
是的中点，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
即；
（3）延长至点，使，连接，过点作于点，
是的中点，
是三角形是中位线
，，
，
，
，
即，
又，
，
，
，，
，，
是等边三角形，
，
点在上，
，
，
，
，
，
或，
或，
或．测试
平时成绩
期中测试
期末测试
练习一
练习二
练习三
练习四
成绩
88
92
90
86
90
96
测试
平时成绩
期中测试
期末测试
练习一
练习二
练习三
练习四
成绩
88
92
90
86
90
96