河北省保定市2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷

这是一份河北省保定市2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了 集合， 命题“， 已知集合， 设正数， 设符号等内容，欢迎下载使用。
答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号、考场号、座位号填写在答题卡上．
回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊．如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号．回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上⽆效．
考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回．
本试卷主要考试内容：⼈教 A 版必修第⼀册第⼀章⾄第⼆章．
⼀、选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．
设是两个集合，则“ ” 是“ 与之⼀为” 的（）
充要条件B. 充分不必要条件
C 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
1. 集合
A
⽤列举法表示为（
）
B.
C.
D.
2. 命题“
”的否定为（）
A.
B.
C.
D.
3. 某投资⽅对某项⽬提出两个投资⽅案：⽅案⼀为⼀次性投资 1000 万元；⽅案⼆为第⼀年投资 200 万元，
以后每年投资 30 万元．下列不等式表示“经过
年后，⽅案⼀的总投资不多于⽅案⼆的总投资”的是（
）
A.
B.
C.
D.
下列式⼦的值⽐的值⼤的是（）
B.
C. D.
定义⼀种新的集合运算：． 若集合，
，则（）
B.
C. D.
若，则的取值集合为（）
B.
C. D.
某班级共 40 位同学暑期去 A 馆、B 馆、C 馆三个馆打卡 情况如下：每位同学⾄少去其中⼀个馆打卡，既去了 A 馆打卡⼜去了 B 馆打卡的⼈数为 8，既去了 B 馆打卡⼜去了 C 馆打卡的⼈数为 10，既去了 A 馆打卡⼜去了 C 馆打卡的⼈数为 9，三个馆都去打卡的⼈数为 7，则仅去了其中⼀个馆打卡的⼈数为（ ）
A. 13B. 34C. 20D. 27
⼆、选择题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
9. 已知集合
，则
的值可能为（）
A. 2
10. 设正数
A
满⾜
B. 0
，则（
）
C.
B.
C
D.
⽬要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
D. 4
已知为三个互不相等的正整数，命题，命题，命题．若
只需满⾜三个命题中仅有两个是真命题，则．若，则下列结论⼀定成⽴的是（）
B.
C.D.
三、填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分．
已知，设，则 的取值集合是．
已知正数满⾜，则的最⼩值是．
设集合 ， 则 的真⼦集个数为
，若集合中只有 2 个元素，则的取值集合是．
四、解答题：本题共 5 ⼩题，共 77 分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
，命题：实数满⾜．
（1）求；
若命题是假命题，求实数的取值集合；
若是的必要不充分条件，求正数的取值集合．
如图，是两条⻓度⾜够⻓的互相垂直的笔直⼩路，矩形的顶点分别在上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修⼀条⼩路，其中点 在 ⼩ 路 上 ， 点 在 ⼩ 路 上 ， 并 在 区 域 内 种 满 荷 花 ． 已 知
，记的⾯积为．
15. 已知集合
，
或
．
（1）当
时，求
；
（2）若
，证明：
．
16. 设符号
表示不
⼤于
的最⼤整数，例
如：
．已知命题
实数
满⾜
设，试⽤表示，并求的取值范围．
当的⻓度为多少时， 取得最⼩值？最⼩值是多少？
（1）设关于的⽅程有两个不相等的实数根．
①求 的取值集合；
②若，求 的值．
（2）求关于的不等式（ 为常数且）的解集．
已知均为正实数．
（1）证明：．
若，求的最⼩值．
若，求的最⼩值．
河北省⾼⼀年级第⼀次模拟选科考试数学
注意事项：
答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号、考场号、座位号填写在答题卡上．
回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊．如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号．回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上⽆效．
考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回．
本试卷主要考试内容：⼈教 A 版必修第⼀册第⼀章⾄第⼆章．
⼀、选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．
1. 集合⽤列举法表示为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简集合，再根据条件列出元素.
【详解】集合
．
故选：A
2. 命题“”的否定为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定为 “”.
故选：B.
某投资⽅对某项⽬提出两个投资⽅案：⽅案⼀为⼀次性投资 1000 万元；⽅案⼆为第⼀年投资 200 万元，以后每年投资 30 万元．下列不等式表示“经过年后，⽅案⼀的总投资不多于⽅案⼆的总投资”的是（）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设写出⽅案⼆ n 年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可.
【详解】由题意，经过 n 年后，⽅案⼆的总投资为万元，
则“经过 n 年后，⽅案⼀的总投资不多于⽅案⼆的总投资”的不等式表示为.
故选：B
设是两个集合，则“ ” 是“ 与之⼀为” 的（）
充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义，分析即可得答案.
【详解】若 A 与 B 之⼀为，则，必要性成⽴，
若，则或或⾮空集合 A 与⾮空集合 B 没有相同元素，充分性不成⽴，
故“” 是“ A 与 B 之⼀为” 的必要不充分条件．
故选：C
5. 下列式⼦的值⽐
的值⼤的是（
）
A.
C.
B.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利⽤作差法⽐较⼤⼩后可得正确的选项.
【详解】因为，
所以，
同理可得均⼩于．
故选：D.
定义⼀种新的集合运算：． 若集合，
，则（）
B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出集合后结合新定义即可得.
【详解】由题意得，
⼜，则．故选：D.
若，则取值集合为（）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分情况讨论的取值，结合恒成⽴不等式和⼆次函数的性质求解的取值范围.
【详解】当时，不等式不恒成⽴，不符合题意；当时，不等式恒成⽴，符合题意；
当时，由得．
故 m 的取值集合为．故选；
某班级共 40 位同学暑期去 A 馆、B 馆、C 馆三个馆打卡的情况如下：每位同学⾄少去其中⼀个馆打卡，
既去了 A 馆打卡⼜去了 B 馆打卡的⼈数为 8，既去了 B 馆打卡⼜去了 C 馆打卡的⼈数为 10，既去了 A 馆打卡⼜去了 C 馆打卡的⼈数为 9，三个馆都去打卡的⼈数为 7，则仅去了其中⼀个馆打卡的⼈数为（）
A. 13B. 34C. 20D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】由集合中元素个数的相关公式即可求解.
【详解】根据题意可得仅去了其中⼀个馆打卡的⼈数为．故选：D.
⼆、选择题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
⽬要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
【答案】BCD
9. 已知集合
，则的值可能为（）
A. 2
【答案】AC
B. 0
C.
D. 4
【解析】
【分析】分
或
或
三种情况讨论的值即可求解.
【详解】若
，则
，此时
，符合题意；
若
，则
，此时
，这不符合集合中元素的互异性，所以
不符合题意；
若
，则
，此时
，符合题意．
故选：AC
10. 设正数
A.
满⾜
，则（
）
B.
C.
D.
【解析】
【分析】根据基本不等式的概念以及重要不等式、⼆次函数的性质，逐⼀证明各选项正误，得出结果.
【详解】由，得，易知，
则，所以A 错误，B 正确；
由，得，
所以，当且仅当时等号成⽴，所以C 正确；
由，得，当且仅当时等号成⽴，所以 D
正确．
故选：BCD.
已知为三个互不相等的正整数，命题，命题，命题．若
只需满⾜三个命题中仅有两个是真命题，则．若，则下列结论⼀定成⽴的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】分情况讨论集合A 中元素的特征，结合，分析得出的
⼤⼩关系，最后逐⼀分析选项.
【详解】依题意可得当或或时，．
三、填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分．
因
，所以
满⾜
或
或
．
因为
，所以
满⾜
或
或
，
则c 满⾜
或
或
或
，
所以
故选：ACD.
，
，
，
．
已知，设，则 的取值集合是．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得，再结合不等式的性质即可求解；详解】由，得，⼜，
所以，即，
所以 的取值集合.
故答案为：.
已知正数满⾜，则的最⼩值是．
【答案】14
【解析】
【分析】利⽤基本不等式“ 1” 的妙⽤，可得答案.
【详解】由正数满⾜，
得，
当且仅当，即时，取得最⼩值 14．故答案为：.
设集合 ， 则 的真⼦集个数为
，若集合中只有 2 个元素，则的取值集合是．
【答案】①. 63②.
【解析】
【分析】第⼀空，确定集合 A，即可求得答案；第⼆空，分类讨论集合或或
，结合题意确定相应不等关系，即可求得答案.
【详解】由题意得，
则的真⼦集个数为．
，
当，即时，，
由集合中只有 2 个元素，结合，可知这 2 个元素为 4，5，则，解得；
当，即时，，不符合题意；
当，即时，，此时
由集合中只有 2 个元素，结合，可知这 2 个元素为 1，2，或 0，1，则或，解得 0或．
综上，的取值集合是．
故答案为：63；
四、解答题：本题共 5 ⼩题，共 77 分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，证明：．
【答案】（1），或．
（2）证明⻅解析
【解析】
【分析】（1）根据集合的交集以及并集运算，即可求得答案；
，命题：实数满⾜．
（1）求；
若命题是假命题，求实数的取值集合；
若是的必要不充分条件，求正数的取值集合．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义求解即可；
根据定义求出即可；
将问题转化为集合之间的包含关系求解.
【⼩问 1 详解】
（2）求出集合 B 的补集，分类讨论 A 是否为空集，由
【⼩问 1 详解】
当时，，⽽或
，
，列出不等关系，即可证明.
所以，或
【⼩问 2 详解】
．
证明：由题意得．
当时，，解得，满⾜
；
当时，由，得或
，得不等式组均⽆解．
故
．
16.
设符号
表示不⼤于
的最⼤整数，例如：
．已知命题
实数
满⾜

因为，所以；
【⼩问 2 详解】
因为命题是假命题，所以命题是真命题，则，解得或，
则的取值集合是或；
【⼩问 3 详解】
由（2）知的取值集合是或因为是的必要不充分条件，且，
所以⾮空集合是的真⼦集，则，解得，
所以正数的取值集合是．
如图，是两条⻓度⾜够⻓的互相垂直的笔直⼩路，矩形的顶点分别在上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修⼀条⼩路，其中点 在 ⼩ 路 上 ， 点 在 ⼩ 路 上 ， 并 在 区 域 内 种 满 荷 花 ． 已 知
，记的⾯积为．
设，试⽤表示，并求的取值范围．
当的⻓度为多少时， 取得最⼩值？最⼩值是多少？
【答案】（1）
；
（2）当
【解析】
时，S 取得最⼩值，为 2000
.
【分析】（1）利⽤三⻆形相似，根据相似⽐得，再由及其范围列不等式求
范围；
⼩问 2 详解】
由，
所以，
由基本不等式可得，
当且仅当，即 时，等号成⽴，故时，S 取得最⼩值，为 2000.
（1）设关于的⽅程有两个不相等的实数根．
①求 的取值集合；
【解析】
【分析】（1）①分与，结合根的判别式计算即可得；②利⽤根与系数的关系计算即可得；
（2）分、、、与，结合⼀元⼆次不等式解法讨论即可得.
（2）根据已知有
，应⽤基本不等式求最⼩值，并确
定取值条件，即可得.
【⼩问 1 详解】
依题意，得
，所以
，即
，得
，
所以
，
，
所以
，解得
；
②若
，求 的值．
（2）求关于
不等式
（ 为常数且
）的解集．
【答案】（1）①
或
；②
；（2）答案⻅解析
【详解】（1）①当时，原⽅程可化为，则该⽅程只有⼀个实数根，不符合题意，所以，由，解得，
所以 t 的取值集合为或；
②易得，因为，所以，
解得，由①得；
（2）当时，原不等式可化为，解集为；当时，原不等式可化为；
若，则，所以原不等式的解集为；若，则，原不等式的解集为；
若，则，原不等式的解集为或；
若，则，原不等式的解集为或；
综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
已知均为正实数．
（1）证明：．
，求
若
的最⼩值．
若，求的最⼩值．
【答案】（1）证明⻅解析；
（2）
；
（3）2．
【解析】
【分析】（1）利⽤基本不等式有
，可证
结论；
（2）（⽅法⼀）由，可得，则
，由（1）的结论可
求最⼩值；
（⽅法⼆）由，可得，消元得
，令，结合
基本不等式求最⼩值．
（3）利⽤柯⻄不等式求最⼩值.
【⼩问 1 详解】
证明：．
因为 a，b，c，d 均为正实数，所以
，
当且仅当，即时，等号成⽴，
所以
，
所以得证．

【⼩问 2 详解】
解：（⽅法⼀）由，可得．
，
因为 a，b 均为正实数，所以由（1）的结论可得，当且仅当，即时，等号成⽴，
，
令，则，所以
，
当且仅当
，即
故
的最⼩值为．
时，等号成⽴，
【⼩问 3 详解】
故
的最⼩值为
．
（⽅法⼆）由
，可得
，则
，即
，所以
，
．
因为 a，b，c 均为正实数，所以，
，，
所以，
当且仅当即时，等号成⽴，
所以，
故的最⼩值为 2．