河北省保定市部分高中2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省保定市部分高中2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．集合用列举法表示为（ ）
A．B．
C．D．
2．命题“”的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（ ）
A．B．
C．D．
4．设是两个集合，则“”是“与之一为”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．下列式子的值比的值大的是（ ）
A．B．
C．D．
6．定义一种新的集合运算：．若集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．若，则的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
8．某班级共40位同学暑期去A馆、B馆、C馆三个馆打卡的情况如下：每位同学至少去其中一个馆打卡，既去了A馆打卡又去了B馆打卡的人数为8，既去了B馆打卡又去了C馆打卡的人数为10，既去了A馆打卡又去了C馆打卡的人数为9，三个馆都去打卡的人数为7，则仅去了其中一个馆打卡的人数为（ ）
A．13B．34C．20D．27
二、多选题
9．已知集合，则的值可能为（ ）
A．2B．0C．D．4
10．设正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知为三个互不相等的正整数，命题，命题，命题．若只需满足三个命题中仅有两个是真命题，则．若，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知，设，则的取值集合是 ．
13．已知正数满足，则的最小值是 ．
14．设集合，则的真子集个数为 ，若集合中只有2个元素，则的取值集合是 ．
四、解答题
15．已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，证明：．
16．设符号表示不大于的最大整数，例如：．已知命题实数满足，命题：实数满足．
(1)求；
(2)若命题是假命题，求实数的取值集合；
(3)若是的必要不充分条件，求正数的取值集合．
17．如图，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点分别在上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，记的面积为．
(1)设，试用表示，并求的取值范围．
(2)当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？
18．（1）设关于的方程有两个不相等的实数根．
①求的取值集合；
②若，求的值．
（2）求关于的不等式（为常数且）的解集．
19．已知均为正实数．
(1)证明：．
(2)若，求的最小值．
(3)若，求的最小值．
1．A
先化简集合，再根据条件列出元素.
【详解】集合．
故选：A
2．B
根据全称命题与存在性命题的关系，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定为“”.
故选：B.
3．B
根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可.
【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元，
则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为.
故选：B
4．C
根据充分、必要条件的定义，分析即可得答案.
【详解】若A与B之一为，则，必要性成立，
若，则或或非空集合A与非空集合B没有相同元素，
充分性不成立，
故“”是“A与B之一为”的必要不充分条件．
故选：C
5．D
利用作差法比较大小后可得正确的选项.
【详解】因为，
所以，
同理可得均小于．
故选：D.
6．D
解出集合后结合新定义即可得.
【详解】由题意得，
又，则．
故选：D.
7．C
分情况讨论的取值，结合恒成立不等式和二次函数的性质求解的取值范围.
【详解】当时，不等式不恒成立，不符合题意；
当时，不等式恒成立，符合题意；
当时，由得．
故m的取值集合为．
故选；
8．D
由集合中元素个数的相关公式即可求解.
【详解】根据题意可得仅去了其中一个馆打卡的人数为．
故选：D.
9．AC
分或或三种情况讨论的值即可求解.
【详解】若，则，此时，符合题意；
若，则，此时，这不符合集合中元素的互异性，所以不符合题意；
若，则，此时，符合题意．
故选：AC
10．BCD
根据基本不等式的概念以及重要不等式、二次函数的性质，逐一证明各选项正误，得出结果.
【详解】由，得，易知，
则，所以A错误，B正确；
由，得，
所以，当且仅当时等号成立，所以C正确；
由，得，当且仅当时等号成立，所以D正确．
故选：BCD.
11．ACD
分情况讨论集合A中元素的特征，结合，分析得出的大小关系，最后逐一分析选项.
【详解】依题意可得当或或时，．
因为，所以满足或或．
因为，所以满足或或，
则c满足或或或，
所以，，，．
故选：ACD.
12．
由题可得，再结合不等式的性质即可求解；
【详解】由，得，又，
所以，即，
所以的取值集合.
故答案为：.
13．14
利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.
【详解】由正数满足，
得，
当且仅当，即时，取得最小值14．
故答案为：.
14． 63
第一空，确定集合A，即可求得答案；第二空，分类讨论集合或或，结合题意确定相应不等关系，即可求得答案.
【详解】由题意得，
则的真子集个数为．
，
当，即时，，
由集合中只有2个元素，结合，可知这2个元素为4，5，
则，解得；
当，即时，，不符合题意；
当，即时，，此时
由集合中只有2个元素，结合，可知这2个元素为1，2，或0，1，
则或，解得0或．
综上，的取值集合是．
故答案为：63；
15．(1)，或．
(2)证明见解析
（1）根据集合的交集以及并集运算，即可求得答案；
（2）求出集合B的补集，分类讨论A是否为空集，由，列出不等关系，即可证明.
【详解】（1）当时，，而或，
所以，或．
（2）证明：由题意得．
当时，，解得，满足；
当时，由，得或，得不等式组均无解．
故．
16．(1)
(2)或
(3)
（1）根据定义求解即可；
（2）根据定义求出即可；
（3）将问题转化为集合之间的包含关系求解.
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为命题是假命题，所以命题是真命题，则，
解得或，
则的取值集合是或；
（3）由（2）知的取值集合是或
因为是的必要不充分条件，且，
所以非空集合是的真子集，
则，解得，
所以正数的取值集合是．
17．(1)；
(2)当时，S取得最小值，为2000.
（1）利用三角形相似，根据相似比得，再由及其范围列不等式求范围；
（2）根据已知有，应用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即可得.
【详解】（1）依题意，得，所以，即，得，
所以，，
所以，解得；
（2）由，
所以，
由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
故时，S取得最小值，为2000.
18．（1）①或；②；（2）答案见解析
（1）①分与，结合根的判别式计算即可得；②利用根与系数的关系计算即可得；
（2）分、、、与，结合一元二次不等式解法讨论即可得.
【详解】（1）①当时，原方程可化为，则该方程只有一个实数根，不符合题意，
所以，由，解得，
所以t的取值集合为或；
②易得，因为，所以，
解得，由①得；
（2）当时，原不等式可化为，解集为；
当时，原不等式可化为；
若，则，所以原不等式的解集为；
若，则，原不等式的解集为；
若，则，原不等式的解集为或；
若，则，原不等式的解集为或；
综上，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
19．(1)证明见解析；
(2)；
(3)2．
（1）利用基本不等式有，可证结论；
（2）（方法一）由，可得，则，由（1）的结论可求最小值；
（方法二）由，可得，消元得，令，结合基本不等式求最小值．
（3）利用柯西不等式求最小值.
【详解】（1）证明：．
因为a，b，c，d均为正实数，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以得证．
（2）解：（方法一）由，可得．
，
因为a，b均为正实数，所以由（1）的结论可得，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
（方法二）由，可得，则，即，所以，
，
令，则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
（3）．
因为a，b，c均为正实数，所以，
，，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
C
D
D
C
D
AC
BCD
题号
11









答案
ACD