湖北省华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高二上学期期中数学模拟卷试卷（Word版附答案）

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选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，(AA1→+AD→)−CD→运算的结果为（ C ）
A．AC→ B．BD→C．AC1→ D．AD1→
【解析】
(AA1→+AD→)−CD→=AD1→+AB→=AC1→．
2.已知向量a→=(0，0，2)，b→=(−1，1，1)，向量a→+b→在向量a→上的投影向量为（ A ）
A．（0，0，3） B．（0，0，6）C．（﹣3，3，9）D．（3，﹣3，﹣9）
【解析】
向量a→=(0，0，2)，b→=(−1，1，1)，由题意可知a→+b→=(−1，1，3)，(a→+b→)⋅a→=6，|a→|=2，所以向量a→+b→在向量a→上的投影向量为(a→+b→)⋅a→|a→|⋅a→|a→|=62×2⋅(0，0，2)=(0，0，3)．
3.设直线l的方程为x-ycsθ+2=0，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ B ）
A.[0，π] B. [，] C.[，] D. [，）U（，]
【解析】
当csθ=0，此时直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为，当csθ∈（0，1]时，直线的斜率k=≥1，此时直线的倾斜角α的范围为[，），当csθ∈[-1，0）时，直线的斜率k=≤-1，此时直线的倾斜角α的范围为（，]．综上所述：直线的倾斜角α的范围为[，]．
4.如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值为（ C ）

A．12B．22C．14D．24
【解析】
根据题意，可得A1C→=A1C1→+A1A→，AB1→=A1B1→−A1A→，而A1C1⊥A1A，A1B1⊥A1A且∠B1A1C1＝60°，可得A1B1→•A1A→=A1C1→•A1A→=0，A1B1→•A1C1→=|A1B1→|•|A1C1→|cs60°＝2．所以A1C→⋅AB1→=（A1C1→+A1A→）•（A1B1→−A1A→）=A1C1→•A1B1→−A1C1→•A1A→+A1A→•A1B1→−A1A→2=2﹣0+0﹣4＝﹣2，结合|A1C→|=|AB1→|=22，可得cs＜A1C→，AB1→＞=A1C→⋅AB1→|A1C→|⋅|AB1→|=−14．所以异面直线A1C与AB1所成角的余弦值等于|cs＜A1C→，AB1→＞|=14．
5.已知椭圆y29+x24=1与直线l交于A，B两点，若点P（﹣1，1）为线段AB的中点，则直
线l的方程是（ A ）
A．9x-4y+13＝0 B．9x+4y-13＝0C．4x﹣9y+13＝0 D．4x﹣9y+3＝0
【解析】
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则由点P（﹣1，1）为线段AB的中点，得x1+x2＝﹣2，y1+y2＝2①，又4y12+9x12=36 ②，4y22+9x22=36 ③，由②﹣③，可得4（y1+y2）（y1﹣y2）+9（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，将①代入上式，化简得kl=y1−y2x1−x2=94，所以直线l的方程为：y−1=94(x+1)，即9x﹣4y+13＝0．
6.已知圆C1：（x-a）2+（y+3）2=9与圆C2：（x+b）2+（y+1）2=1外切，则ab的最大值为（ D ） A．2 B．2 C． D．3
【解析】
由于圆C1：（x-a）2+（y+3）2=9与圆C2：（x+b）2+（y+1）2=1外切，故=3+1，整理得a2+b2=16-4=12； 故12=a2+b2+2ab≥4ab,整理得ab≤3，当且仅当a=b时，等号成立。所以ab的最大值为3
已知点P在直线x+y=4上，过点P作圆O：x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B则点M（4，2）到直线AB距离的最大值（ A）
A． B．2 C．3 D．4
【解析】
设P（a,b），则a+b=4， 设以OP为直径的圆上的点Q（x,y），则 • =0， 则（x,y）•（x-a）（y-b）=0，整理可得x（x-a）+y（y-b）=0， 即x2+y2-ax-by=0，联立，两式相减为：ax+by-4=0，又a+b=4，可得ax+（4-a）y-4=0，即a（x-y）+4y-4=0，令，解得x=y=1，所以直线AB恒过定点N（1，1），当MN⊥AB时，则MN的长度为点M到直线AB距离的最大值，|MN|==，所以点M（4，2）到直线AB距离的最大值为．
已知F1，F2分别为椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆E上存在两点A，B使得梯形AF1F2B的高为c（c为该椭圆的半焦距），且AF1→=4BF2→，则椭圆E的离心率为（ C ）
A．223B．45C．235D．56
【解析】
如图所示，因为AF1→=4BF2→，所以AF1∥BF2，则AF1，BF2为梯形AF1F2B的两条底边，
作F2P⊥AF1于点P，则F2P⊥AF1，因为梯形AF1F2B的高为c，所以|PF2|＝c，在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c，则即∠PF1F2＝30°，设|AF1|＝x，则|AF2|＝2a﹣x，在|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2−2|AF1||F1F2|cs30°，即(2a−x)2=x2+4c2−23cx，解得|AF1|=x=b2a−32c，同理|BF2|=x=b2a+32c，又|AF1→|=4|BF2→|，所以a+32ca−32c=4，即6a=53c，所以e=ca=653=235．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下面四个结论正确的是（ BC ）
A．任意向量a→，b→，c→满足(a→⋅b→)⋅c→=a→⋅(b→⋅c→)
B．若对空间中任意一点O，有OP→=16OA→+13OB→+12OC→，则P，A，B，C四点共面
C．已知{a→，b→，c→}是空间的一组基底，若m→=a→+c→，则{a→，b→，m→}也是空间的一组基底
D．已知n→为平面α的一个法向量，l为一条直线，m→为直线l的方向向量，则“m→⊥n→”是“l∥α”的充要条件
【解析】
对于A：由于a→⋅b→为实数，b→⋅c→也为实数，故c→和a→不一定共线，故A错误；对于B：对空间中任意一点O，有OP→=16OA→+13OB→+12OC→，由于16+12+13=1，则P，A，B，C四点共面，故B正确；对于C：已知{a→，b→，c→}是空间的一组基底，若m→=a→+c→，则{a→，b→，a→+c→}可以作为基底；则{a→，b→，m→}也是空间的一组基底，故C正确；对于D：知n→为平面α的一个法向量，l为一条直线，m→为直线l的方向向量，则当“m→⊥n→”时，“l∥α或l⊂α”，反之成立，故D错误．
10.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，则下列命题中正确的有（ ABC ）
A．直线l恒过定点（3，1）
B．圆C被y轴截得的弦长为4
C．直线l与圆C恒相交
D．当直线l被圆C截得的弦长最小时，直线l的方程为2x-y+5=0
【解析】
由已知可得，圆心C（1，2），半径r=5．直线方程可化为l：m（2x+y-7）+x+y-4=0，解可得，所以直线l恒过定点（3，1），故A选项正确；将x=0代入圆的方程有1+（y-2）2=25，解得y1=2+，y2=2-，弦长为=4，故B选项正确；因为点（3，1）到圆心C（1，2）的距离为=