华中师大一附中2025-2026学年高二上学期数学期末模拟卷+答案

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选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1．已知等差数列{an}中，a2+a4＝6，则a1+a3+a5＝（ B ）
A．15B．9C．36D．56
【解析】
a2+a4＝6，则2a3＝6，那么a3＝3．则a1+a3+a5＝（a1+a5）+a3＝2a3+a3＝3a3．把a3＝3代入可得3a3＝3×3＝9．
2．若方程x26-m+y2m-4=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ D ）
A．4＜m＜6B．m＞5C．4＜m＜5D．5＜m＜6
【解析】
∵方程x26-m+y2m-4=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴m﹣4＞6﹣m＞0，∴5＜m＜3，∴实数k的取值范围是（5，6）．
3．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB→=a→，AC→=b→，AA1→=c→，BC的中点为O，则OB1→=（ C ）

A．-12a→+12b→+c→B．-12a→+12b→-c→C．12a→-12b→+c→D．12a→+12b→-c→
【解析】
由题意可得：OB1→=AB1→-AO→=AB→+AA1→-12(AB→+AC→) =12AB→-12AC→+AA1→=12a→-12b→+c→．
4．已知直线l：3x+4y﹣16＝0，点P为圆C：（x﹣2）2+y2＝1上一动点，则点P到直线l的最小距离为（ A ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】
根据题意，圆C：（x﹣2）2+y2＝1，其圆心C（2，0），半径r＝1，圆心C到直线l的距离d=|3×2-16|32+42=2＞r=1，则直线l与圆C相离，所以圆上动点P到l的最小距离为d﹣r＝2﹣1＝1．
5．已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an﹣1，则a100的值为（ C ）
A．299﹣1B．2100﹣1C．299+1D．2100+1
【解析】
数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an﹣1，两边同时减去1可得an+1﹣1＝2（an﹣1），又a1﹣1＝1，
故数列{an﹣1}是以首项为1，公比为2的等比数列，故an-1=2n-1，得an=2n-1+1，故a100=299+1。
6．已知圆A：（x+3）2+y2＝4，B（3，0），点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则Q点的轨迹方程为（ A ）
A．x2-y28=1 B．x2-y26=1C．y2-x28=1 D．y2-x26=1
【解析】
圆A：（x+3）2+y2＝4，B（3，0），点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，如图所示：圆A的圆心为A（﹣3，0），半径为r＝2，由中垂线的性质可得|QP|＝|QB|，所以||QB|﹣|QA||＝||QP|﹣|QA||＝r＝2＜|AB|，所以Q点的轨迹方程是双曲线，且c＝3，2a＝2，a＝1，b2＝c2﹣a2＝8，所以Q点的轨迹方程为x2-y28=1．
7．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，△PF1F2的内切圆圆心为I，若S△PF1F2S△IF1F2=λ(2＜λ≤3)则椭圆的离心率e的取值范围是（ D ）
A．[13，12)B．(0，13]C．[13，1) D．[12，1)
【解析】
如图所示，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，连接PI并延长，交x轴于点Q，则∠PF1I＝∠IF1Q，∠PF2I＝∠IF2Q，则PIIQ=PF1F1Q=PF2F2Q，所以PIIQ=PF1+PF2F1Q+F2Q=2a2c=1e，所以S△PF1F2S△IF1F2=PQIQ=PI+IQIQ=PIIQ+1=1e+1=λ，由2＜λ≤3得2＜1e+1≤3，所以e∈[12，1)．
8．设直线2x﹣y+m＝0（m≠0）与双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点M，N，若点D（4m，0）满足|DM|＝|DN|，则该双曲线的渐近线方程为（ B ）
A．y=±22xB．y＝±3xC．y=±6xD．y=±5x
【解析】
由y=2x+my=bax，解得M（mab-2a，bmb-2a），由y=2x+my=-bax，解得N（-am2a+b，bm2a+b）．∴MN的中点坐标为P（2a2mb2-4a2，mb2b2-4a2），点D（4m，0）满足|DM|＝|DN|，∴kPD•kMN＝﹣1，即mb2b2-4a22a2mb2-4a2-4m×bm2a+b-bmb-2a-am2a+b-mab-2a=-1，整理得：9a2＝b2，即b＝3a，故该双曲线的渐近线方程为：y＝±bax＝±3x．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1＝10，S9＝18，则（ BC ）
A．a5＝0 B．S11＝0 C．当n＝5时，Sn取最大值 D．Sn的最小值是0
【解析】
设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝10，S9＝18，所以S9=9a1+9×82d=90+36d＝18，解得d＝﹣2，对于A，a5＝a1+4d＝2，故A错误；对于B，S11=11a1+11×102d=11a1+55d=110﹣110＝0，故B正确；对于C，D，Sn=na1+n(n-1)2d=10n﹣n（n﹣1）＝﹣n2+11n=-(n-112)2+1214，所以当n＝5或6时，Sn取得最大值，Sn无最小值，故C正确，D错误．
10．已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（ AC ）
A．|AB|＝8 B．OA⊥OB
C．△AOB的面积为22 D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=x-1y2=4x，得y2﹣4y﹣4＝0，所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，
x1+x2＝y1+1+y2+1＝6，x1x2＝（y1+1）（y2+1）＝y1y2+（y1+y2）+1＝﹣4+4+1＝1，|AB|=1+12(y1+y2)2-4y1y2=242-4×(-4)=8，故A正确；OA→•OB→=（x1，y1）（x2，y2）＝x1x2+y1y2＝1+（﹣4）＝﹣3≠0，故B不正确；点O到直线AB的距离d=|-1|1+12=22，所以S△AOB=12•|AB|•d=12•8•22=22，故C正确；线段AB的中点坐标为（x1+x22，y1+y22），即（3，2），所以线段AB的中点到直线x＝0的距离为3，故D不正确．
11．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段B1C上的动点，则下列结论正确的是（ BC ）
A．直线A1P与BD所成的角是π6
B．当B1P＝2PC时，点D1到平面A1BP的距离为23
C．三棱锥P﹣A1C1D的体积不变
D．若B1P→=13B1C→，则二面角B﹣A1P﹣B1的平面角的正弦值为36
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，2，2），D1（0，2，2）．B1C→=(0，2，-2)，BD→=(-2，2，0)，设B1P→=tB1C→=(0，2t，-2t)(0≤t≤1)，依据共线向量设坐标，故P（2，2t，2﹣2t），A1P→=(2，2t，-2t)，若直线A1P与BD所成的角是π6，则|BD→⋅A1P→|BD→||A1P→||=|-4+4t|22×4+4t2+4t2=4-4t22×4+8t2=32，整理得4t2+4t+1＝0，因此（2t+1）2＝0，解得t=-12∉[0，1]，根据范围的限制直线A1P与BD所成的角不可能是π6，因此A错误；当B1P＝2PC时，结合A中分析可得t=23，故P(2，43，23)，故BP→=(0，43，23)，而BA1→=(-2，0，2)，设平面A1BP的法向量为m→=(x，y，z)，则m→⋅BP→=0，m→⋅BA1→=0，因此43y+23z=0，-2x+2z=0，取x＝2，得m→=(2，-1，2)为平面A1BP的一个法向量，又D1A1→=(0，-2，0)，故D1到平面A1BP的距离为|m→⋅D1A1→||m→|=23，因此B正确；因为B1C∥A1D，B1C⊄平面A1C1D，A1D⊂平面A1C1D，所以B1C∥平面A1C1D，所以VP-A1C1D=VB1-A1C1D=VD-A1B1C1为定值，因此C正确；当B1P→=13B1C→时，结合B的分析可得t=13，此时P(2，23，43)，故BP→=(0，23，43)，而BA1→=(-2，0，2)，设此时平面A1BP的法向量为n→=(a，b，c)，则n→⋅BP→=0，n→⋅BA1→=0，因此23b+43c=0，-2a+2c=0，取a＝1，得n→=(1，-2，1)为平面A1BP的一个法向量，又A1P→=(2，23，-23)，A1B1→=(2，0，0)，设平面A1B1P的法向量为s→=(u，v，w)，则s→⋅A1P→=0，s→⋅A1B1→=0，因此2u+23v-23w=0，2u=0，取v＝1，得s→=(0，1，1)为平面A1B1P的一个法向量，故css→，n→=-16×2=-36，故二面角B﹣A1P﹣B1的平面角的正弦值为336，因此D错误．
填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．等比数列{an}中，a1+a4+a7＝3，a3+a6+a9＝12．则{an}的前9项之和为 ．9或17
【解析】
在等比数列{an}中，由a1+a4+a7＝3，a3+a6+a9＝12，得q2=a3+a6+a9a1+a4+a7=123=4，∴q＝±2．
当q＝﹣2时，a2+a5+a8＝﹣6，S9＝a1+a2+…+a9＝3﹣6+12＝9；当q＝2时，a2+a5+a8＝6，S9＝a1+a2+…+a9＝3+2+12＝17．
13．过点P（2，1）作直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是 ．4
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），因为点P（2，1）是线段AB的中点，所以x1+x2＝4，y1+y2＝2，
因为A，B为抛物线y2＝8x上的点，所以y12=8x1，y22=8x2，两式相减得（y1﹣y2）（y1+y2）＝8（x1﹣x2），所以y1-y2x1-x2=4，可得kAB＝2，则直线AB的斜率为4．
14．设双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的离心率为 ．2
【解析】
根据题意，可知F（c，0），A1（﹣a，0），A2（a，0），将x＝c代入双曲线的方程，解得y＝±b2a，设B（c，b2a），C（c，-b2a），由题意可知A1B与A2C的斜率存在且不等于0，根据A1B⊥A2C，可得A1B与A2C的斜率之积为﹣1，即b2ac+a•-b2ac-a=-1，整理得b4＝a2（c2﹣a2）＝a2b2，可得a＝b，
所以双曲线的离心率e=ca=1+(ba)2=2．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上，且经过点A（﹣1，3），B（1，5）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（2，1）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝23，求直线l的方程．
【解析】
（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则3（-D2）+E2=0，1+9﹣D+3E+F＝0，1+25+D+5E+F＝0，联立解得D＝﹣2，E＝﹣6，F＝6，∴圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0，即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4．
（2）直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x﹣2＝0，则24-1=23，满足|MN|＝23．直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0，圆心C（1，3）到直线l的距离d=|k-3+1-2k|k2+1=|k+2|k2+1，由题意可得4-(|k+2|k2+1)2=(3)2，解得k=-34，直线l的方程为y﹣1=-34（x﹣2），即3x+4y﹣10＝0．综上可得直线l的方程为：x﹣2＝0，3x+4y﹣10＝0．
（2）由（1）知，1an=1+2(n-1)=2n-1，则an=12n-1，所以anan+1=1(2n-1)(2n+1)
16．（本小题15分）已知非零数列{an}满足：a1＝1，an﹣an+1＝2an•an+1（n∈N*）．
（1）求证：{1an}是等差数列；
（2）求数列{an•an+1}的前n项和Sn．
【解析】
证明：因为非零数列{an}满足：a1＝1，an﹣an+1＝2an•an+1（n∈N*），所以1an+1-1an=2，所以数列{1an}是以1为首项，2为公差的等差数列；=12(12n-1-12n+1)，所以Sn=12(11-13+13-15+⋯+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1．
17．（本小题15分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝6，AD＝CD＝2，∠BAD＝60°，点E在线段AB上，且AE＝2，F为BC的中点．
（1）求证：C1E∥平面ADD1A1；
（2）若直线D1E与平面ABCD所成角的大小为45°，求二面角B1﹣EF﹣C1的余弦值．
【解析】
（1）证明：由题意可得CC1∥DD1，又DD1⊂平面ADD1A1，CC1⊄平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，连接CE，∵AE∥CD且AE＝CD，∴四边形ADCE为平行四边形，则CE∥AD，又AD⊂平面ADD1A1，CE⊄平面ADD1A1，∴CE∥平面ADD1A1，又CC1∩CE＝C且CC1，CE⊂平面CC1E，∴平面ADD1A1∥平面CC1E，又C1E⊂平面CC1E，∴C1E∥平面ADD1A1；
（2）解：连接DE，由题意可得△ADE为等边三角形，故DE＝2，由DD1⊥平面ABCD可得∠D1ED为直线D1E与平面ABCD所成的角，故∠D1ED＝45°，则DD1＝DE＝2，以D为坐标原点，DC，DD1所在直线分别为y，z轴，过D且垂直于平面CDD1C1的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则E(3，1，0)，F(32，72，0)，B1(3，5，2)，C1（0，2，2），所以EF→=(-32，52，0)，B1E→=(0，-4，-2)，C1E→=(3，-1，-2)，设平面B1EF的法向量为n1→=(x1，y1，z1)，则n1→⊥EF→n1→⊥B1E→，即n1→⋅EF→=0n1→⋅B1E→=0，所以-32x1+52y1=0-4y1-2z1=0，令y1=3，得n1→=(5，3，-23)，设平面C1EF的法向量为n2→=(x2，y2，z2)，则n2→⊥EF→C1E→⊥n2→，即n2→⋅EF→=0n2→⋅C1E→=0，所以-32x2+52y2=03x2-y2-2z2=0，令y2=3，得n2→=(5，3，23)，则cs＜n1→，n2→＞=n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→|=1640=25，由图可知二面角B1﹣EF﹣C1为锐二面角，故二面角B1﹣EF﹣C1的余弦值为25．
18．（本小题17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2+an＝Sn+1+2an+1，a1＝﹣7，a2＝﹣4．
（1）求a3和a4的值，再猜想数列{an}的通项公式，并证明；
（2）求数列{|an|}的前n项和Tn；
（3）若数列{bn}满足bn=2n-1an，求数列{bn}的前n项和Rn．
【解析】
（1）Sn+2+an＝Sn+1+2an+1，令n＝1，得a3＝﹣1，令n＝2，得a4＝2，猜想数列{an}的通项公式为an＝3n﹣10，证明如下：由Sn+2+an＝Sn+1+2an+1，移项得Sn+2﹣Sn+1+an＝2an+1，即an+2+an＝2an+1，故数列{an}为等差数列，又a1＝﹣7，a2＝﹣4，故公差d＝a2﹣a1＝3，因此，数列{an}的通项公式为an＝3n﹣10．
（2）由（1）得Sn=(-7+3n-10)n2=32n2-172n，当n≤3时，an＜0，故Tn=-Sn=-32n2+172n．
当n≥4时，an＞0，故Tn＝﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+⋯+an=Sn-2S3=32n2-172n+24，
综上所述，Tn=-32n2+172n，n≤332n2-172n+24，n≥4．
（3）由题意得bn=2n-1an=(3n-10)⋅2n-1，故Rn=-7⋅1-4⋅2-1⋅22+2⋅23+⋯+(3n-10)⋅2n-1①，两边乘以2得：2Rn=-7⋅2-4⋅22-1⋅23+2⋅24+⋯+(3n-13)⋅2n-1+(3n-10)⋅2n②，①﹣②得﹣Rn＝﹣7﹣（3n﹣10）•2n+3•（2+22+23+…+2n﹣1）＝﹣7﹣（3n﹣10）•2n+3•（2n﹣2）＝﹣13﹣（3n﹣13）•2n，所以Rn=(3n-13)⋅2n+13．
19．（本小题17分）已知F是抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点，E是抛物线Γ的准线与x轴的交点，|EF|＝2．
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）设O为坐标原点，AB为圆O1：(x+4)2+y2=16的一条不垂直于y轴的直径，分别延长AO，BO交抛物线Γ于C、D两点．
①直线O1C，O1D，CD的斜率分别为k1，k2，k3，证明：1k32+1k1k2为定值；
②求四边形ABCD面积的最小值．
【解析】
（1）根据题意可得p＝|EF|＝2，因此Γ：y2＝4x；
（2）如图所示，①证明：设直线AC：y＝kx（k≠0），那么直线BD：y=-1kx，联立直线AC和抛物线方程y=kxy2=4x，化简得ky2﹣4y＝0，解得y＝0或y=4k，因此C(4k2，4k)，将k用-1k替换，可得O1（﹣4，0），D（4k2，﹣4k），那么k3=4k+4k4k2-4k2=k1-k2，k1k2=4k4k2+4⋅-4k4k2+4=-k2(k2+1)2因此1k32+1k1k2=1-2k2+k4k2-1+2k2+k4k2=-4k2k2=-4，因此1k32+1k1k2为定值；
②联立y=kx(x+4)2+y2=16，化简得（k2+1）x2+8x＝0，解得x=-8k2+1或x＝0，因此A(-8k2+1，-8kk2+1)，因此|AC|=1+k2⋅|-8k2+1-4k2|=4(3k2+1)k2k2+1，将k用-1k替换，可得|BD|=4(3k2+1)1k21k2+1=4(k2+3)|k|k2+1，因此四边形ABCD的面积S=12|AC||BD|=8(3k2+1)(k2+3)|k|(k2+1)=24k4+24+80k2|k|k2+|k|=24(k2+1k2)+80|k|+1|k|，设t=|k|+1|k|，t≥2，那么k2+1k2=(|k|+1|k|)2-2=t2-2，因此S=24(t2-2)+80t=24t2+32t=24t+32t(t≥2)，设函数f(t)=24t+32t(t≥2)，那么函数f(t)=24-32t2＞0(t≥2)，因此f（t）在[2，+∞）上单调递增，因此当t＝2，即|k|＝1时，S取得最小值为64，因此四边形ABCD面积的最小值为64．