2026年高考物理二轮复习-专题15 机械振动与机械波（考点归纳）（全国通用）试题（含答案）

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01 机械振动
一、简谐运动
1.定义：
（1）运动学定义：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线。
（2）动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
2. 表达式：
(1)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫做初相。
(2)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
3. 平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。位于平衡位置时，物体的加速度为0。经过平衡位置时，物体的速度最大。
4. 回复力:
（1）定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力叫回复力。
（2）表达式：回复力F＝－kx。负号表示回复力的方向与位移方向始终相反，回复力的大小与位移的大小成正比。
（3）方向：总是指向平衡位置。
（4）性质：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
【注意】：回复力等于做简谐运动的物体指向平衡位置的合外力，而不是物体受到的合外力。
补充：判断一个振动为简谐运动的方法：
（1）通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。
（2）对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受的回复力是否满足F＝－kx进行判断。
（3）根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a= -x是进行判断。
【跟踪训练】（2025·江苏常州·二模）弹簧振子做简谐运动的周期公式为，其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数。小鸟落在树枝上所引起树枝的振动可类比于弹簧振子的简谐运动。如图所示，两只质量不同的小鸟A和B先、后分别落在同一树枝的不同位置时，所引起树枝的振动周期恰好相同，则以下说法中正确的是（ ）
A．小鸟A所引起的振动的k值较小，小鸟A的质量小于小鸟B的质量
B．小鸟A所引起的振动的k值较小，小鸟A的质量大于小鸟B的质量
C．小鸟A所引起的振动的k值较大，小鸟A的质量小于小鸟B的质量
D．小鸟A所引起的振动的k值较大，小鸟A的质量大于小鸟B的质量
【答案】A
【知识点】简谐运动的定义及特征
【详解】两小鸟引起振动的周期相同，但枝头处的k相对较小，根据简谐运动的周期公式可知，枝头处小鸟的质量较小。
故选A。
二、描述简谐运动的物理量
1. 位移、速度和加速度：
（1）位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。
（2）速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
（3）加速度计算方法：式中m表示振子的质量，k表示比例系数，x表示振子距平衡位置的位移，“－”表示加速度的方向与位移的方向相反。加速度大小呈线性变化，方向只在平衡位置发生改变。
【注意】：大小变化关系：位移变大，加速度变大，速度变小；反之，位移变小，加速度变小，速度变大。
【注意】：位移确定，加速度唯一确定，而速度(方向)不能唯一确定；速度确定(最大除外)，位移和加速度的大小唯一确定，但方向不能唯一确定。
2. 振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，通常用字母A表示，是标量。振幅的单位是米(m)。振幅是标量，只有大小，没有方向，是用来表示振动强弱的物理量。同一振动系统，系统的能量仅由振幅决定，振动越强，振幅就越大，振动能量也越多。
【注意】：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量；而位移是由平衡位置指向末位置的有向线段，是矢量；路程是运动路径的总长度，是标量。一个周期内的路程为振幅的四倍，半个周期内的路程为振幅的两倍。当物体做简谐运动时，振幅是定值；位移的大小和方向时刻都在变化；路程则会持续不断地增加。
3. 周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用字母T表示。其物理意义是表示物体振动的快慢。
4. 频率：单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率，用字母f表示；其单位是赫兹，符号是Hz。频率的大小表示振动的快慢。周期与频率的关系是T＝1/f。
【注意】：振子完成一次完整的振动过程称为一次全振动，不论从哪一位置开始计时，弹簧振子完成一次全振动所用的时间总是相同的。振动周期、频率由振动系统决定，与振幅无关。全振动次数N与周期T和振动时间t的关系为N＝eq \f(t,T)。
5. 相位：用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态的物理量叫相位，当t＝0时的相位称做初相位，用字母φ表示。
【跟踪训练】（2025·河北·模拟预测）2024年央视春晚西安分会场高空水袖舞表演梦幻浪漫，将万千观众带入了盛世长安。光影交错的舞台上，舞者长袖轻扬。如果某段时间里水袖波形可视为简谐波，如图所示为舞者表演过程中的水袖上的一质点做简谐运动的位移随时间变化规律的图线，则下列关于质点的运动描述正确的是（ ）
A．质点振动的周期为0.8s
B．该质点的振动方程为
C．0.6s时质点沿正方向运动，速度正在增大
D．0.8s时质点的加速度沿正方向且最大
【答案】D
【知识点】简谐运动的定义及特征、简谐运动的图像
【详解】A．由于0时刻质点正在向正方向运动且位移为振幅的一半，结合数学知识有
解得，故A错误；
B．该质点的振动方程形式为
其中，
时有
得
故该质点的振动方程为，故B错误；
CD．由图可知，时质点正沿负方向运动，速度正在减小，时质点位于负向最大位移处，其加速度沿正方向且最大，故C错误，D正确。
故选D。
三、简谐运动的图像
1. 物理意义：表示振子的位移随时间变化的规律，为正弦(或余弦)曲线。
2. 图象
(1)从平衡位置开始计时，把开始运动的方向规定为正方向，函数表达式为x＝Asinωt，如图：
(2)从正的最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acs ωt，如图：
【注意】：图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。
3.图象信息：
（1）由图象可以得出质点做简谐运动的振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0；
（2）可以确定某时刻振动质点离开平衡位置的位移；
（3）可以确定某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定；
（4）可以确定判定某时刻质点的振动方向：下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置；
（5）可以确定某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同；
（6）比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小。
【跟踪训练】（2025·江苏南京·模拟预测）如图甲所示，某同学将手机挂在轻弹簧下端制作了一个振动装置。在某次实验中手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．t=0时，弹簧弹力为0B．t=0.2s时，手机位于平衡位置下方且速度为0
C．从t=0至t=0.2s，手机的动能增大D．从t=0.2s至t=0.6s，手机的机械能守恒
【答案】B
【知识点】简谐运动的图像、弹簧振子模型
【详解】A．由题图乙知，时，手机加速度为0，由牛顿第二定律可知，此时弹簧弹力大小为，故A错误。
B．由题图乙知，时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，此时手机加速度最大，所以偏离平衡位置位移最大，速度为0，故B正确。
C．结合图甲、图乙知，时，加速度为0，速度最大，物体在平衡位置处。时，加速度最大，速度为0，物体在偏离平衡位置最大处。所以从至，手机速度减小，动能减小，故C错误。
D．结合前面分析，由图乙知时，手机位于最低点，动能为零；时，手机位于最高点，动能也为零，但重力势能增加，显然手机的机械能增加，不守恒，故D错误。
故选B。
四、简谐运动的性质
1. 周期性
（1）相隔的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度等大反向(或都为零)，加速度等大反向(或都为零)；
（2）相隔的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移、速度和加速度都相同。
2. 对称性
如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则有：
（1）时间的对称：tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA。
（2）速度的对称:
①物体连续两次经过同一点（如D点）的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点（如C与D两点）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
（3）位移和加速度的对称：
①物体经过同一点(如C点)时，位移和加速度均相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移与加速度均大小相等，方向相反。
（4）动能、势能、机械能的对称：
①物体连续两次经过同一点(如D点)时的动能、势能、机械能均相等。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时的动能、势能、机械能均相等。
【跟踪训练】（2025·河北·模拟预测）将一弹簧振子竖直固定在天花板上，用外力将小球向下拉到某位置后由静止释放，如图甲所示。此后小球的速度v随着时间t的变化规律如图乙所示，取竖直向上为速度的正方向。已知小球的质量为m，轻质弹簧的劲度系数为k，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g。下列说法中正确的是（ ）
A．小球振动的周期为
B．时刻，弹簧的伸长量为
C．0时刻和时刻，弹簧的形变量相等
D．小球动能的变化周期为
【答案】D
【知识点】简谐运动的定义及特征、弹簧振子模型
【详解】A．由图乙可知
可得周期为
故A错误；
B．时刻，小球的加速度向下且最大，所以合力向下，此时若弹簧弹力向上，则弹簧处于拉伸状态，有
即弹簧的伸长量小于，若弹簧弹力向下，弹簧处于压缩状态，故B错误；
C．0时刻和时刻小球的加速度大小相等，方向相反，所以合力大小相等方向相反，但合力由重力和弹簧弹力叠加而成，所以弹簧弹力大小不等，即弹簧的形变量不相等，故C错误；
D．小球动能变化的周期为小球振动周期的一半，即小球动能变化的周期
故D正确。
故选D。
五、受迫振动和共振
1. 固有振动和固有频率
（1）固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动。
（2）固有频率：固有振动的频率。
2. 自由振动（无阻尼振动）：系统不受外力，也不受任何阻力，只在自身回复力作用下的振动。自由振动的频率，叫做系统的固有频率。
3. 阻尼振动
（1）阻尼：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼。
（2）阻尼振动：振幅逐渐减小的振动，如图所示。
（3）振动系统能量衰减的两种方式
①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。
②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去。
（4）对阻尼振动的理解：
①由于阻力做功，振动系统的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小；
②周期和频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期和频率不变。
4. 受迫振动
（1）定义：系统在驱动力作用下的振动。物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，与物体的固有周期(或频率)无关。
（2）特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
（3）驱动力：如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动．为了使系统持续振动下去，对振动系统施加的周期性的外力，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外力叫做驱动力。
（4）受迫振动频率：受迫振动的频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。
（5）能量转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换。
补充：受迫振动的规律
（1）物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关。
（2）物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。
（3）受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
补充：三种振动的比较
共振
（1）定义：驱动力的频率f 等于物体的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
（2）条件：驱动力的频率等于固有频率。
（3）特征：共振时振幅最大。
（4）理解：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
（5）从功能关系对其进行理解：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
补充：共振曲线的理解
（1）横轴：表示驱动力的频率。
（2）纵轴：表示受迫振动的振幅。
（3）当f驱=f固时，A=Am，Am的大小取决于驱动力的幅度。
（4）f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大，f驱与f固相差越远，受迫振动的振幅越小。
（5）发生共振时，一个周期内，外界提供的能量等于系统克服阻力做功而消耗的能量。
补充：自由振动、受迫振动和共振的关系比较
【跟踪训练】（2025·江苏徐州·二模）台风“贝碧嘉”登陆上海，中国自主研发的千吨阻尼器——“上海慧眼”（如图所示）摆动明显，保障了上海中心大厦的安全。“上海慧眼”采用了电涡流阻尼技术，永磁体形成的磁场与质量块一起摆动时，与其下方固定的导体板产生相对运动，从而在导体板中产生电涡流。关于该阻尼器，下列说法正确的是（ ）
A．阻尼器的电涡流阻尼技术原理是电流的磁效应
B．振动稳定时，阻尼器的振动频率小于大厦的振动频率
C．阻尼器将机械能最终转化为内能
D．若将阻尼器下方的导体板换成木地板，对使用效果没有影响
【答案】C
【知识点】受迫振动与共振、涡流的原理、应用与防止、电磁阻尼
【详解】B．阻尼器受迫振动，稳定时阻尼器的振动频率与大厦的振动频率相等，故B错误；
ACD．根据电磁感应原理可知，永磁体通过导体板上方时会在导体板中产生电涡流，阻碍永磁体相对导体板的运动，将机械能最终转化为内能，若将阻尼器下方的导体板换成绝缘的木地板，将不会产生电涡流，影响使用效果，故AD错误，C正确。
故选C。
02 机械波
一、机械波的基本概念和理解
1. 定义：机械振动在介质中的传播形成机械波。介质是指波借以传播的物质，绳、弹簧、水、空气等都是介质。
机械波的形成条件：
(1)有发生机械振动的波源．
(2)有传播介质，如空气、水等．
3. 传播特点：
①机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移。
②波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
③介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。
④波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离。
4. 机械波的分类：
【跟踪训练】（2025·安徽合肥·模拟预测）湖面上停着甲、乙两条小船，它们相距18m。一列水面波（视为简谐横波）正在湖面上沿甲、乙连线由甲向乙的方向传播，每条小船每分钟完成20次全振动。已知t=0时刻，甲船位于波峰，乙船位于波谷，两船之间还有一个波峰。下列说法正确的是（ ）
A．水波的传播速度为6m/s
B．0.5s时刻，甲船的位置比乙船高
C．0~0.5s过程中，甲船上下振动的路程大于乙船
D．0~0.5s过程中，甲船沿水波传播方向移动了2m
【答案】B
【知识点】横波和纵波、机械振动和机械波的关系、波长、频率和波速的关系
【详解】A．由题意，甲、乙相距18m，甲在波峰，乙在波谷，中间一个波峰，则有
解得波长
每条小船每分钟完成20次全振动，则周期
则波速 ，故A错误；
B．时，甲在波峰，乙在波谷，两船振动反相，由于
则甲的位移为
乙的位移为
可知，此时甲的位置高于乙，故B正确；
C．甲、乙振动相位相反但振幅相同，在相同时间内路程相等，结合上述可知，0~0.5s内，甲从波峰到0.5A，乙从波谷到-0.5A，路程均为，故C错误；
D．横波中质点仅在平衡位置附近振动，不随波迁移，故D错误。
故选B。
二、机械波的描述
1. 波长λ：在波动中振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。用“λ”表示。
【注意】：波长由介质和波源共同决定。
2. 周期T（频率f）：在波动中，介质中各质点的振动周期T（频率f）都是相同的，都等于波源的振动周期T（频率f）。
【注意】：波的周期由波源决定，与传播介质无关。同一列波在不同介质中传播时能够保持不变的是周期(或频率)。每经历一个周期，各振动质点完成一次全振动，波形图将恢复原状。
3. 波速v：波速是指振动在介质中传播的速度，从波形上看，波的传播速度即波形的平移速度。
4. 波速v、波长λ和频率f、周期T的关系：v＝eq \f(λ,T)＝λf。
【注意】：波速由介质的性质决定，与温度有关，与波源的振动无关。
补充：波的特点
（1）机械波传播的是振动形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近振动，并不随波迁移。
（2）介质中每个质点都做受迫振动，介质中各质点的振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同。
（3）离波源近的质点带动离波源远的质点依次振动，波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
（4）当波源经过一个周期T完成一次全振动时波恰好向前传播一个波长的距离，所以v＝eq \f(λ,T)＝λf。
（5）质点振动nT(n＝1，2，3，…)时，波形不变。
（6）在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反。
【跟踪训练】（2025·甘肃白银·模拟预测）某同学为了探究机械波的特性，往平静的水池中央放入一个漂浮物，然后在水池边以的频率均匀敲击水面荡起层层水波（视为机械波），测得漂浮物到敲击点的距离为，水波传播到漂浮物所在位置的时间为，则（ ）
A．水波的波长为
B．敲击频率越高，水波的传播速度越大
C．水波能将漂浮物推向水池的另一边
D．漂浮物做受迫振动的频率小于
【答案】A
【知识点】受迫振动与共振、机械振动和机械波的关系、波长、频率和波速的关系
【详解】A．波速
波长为 ，故A正确；
B．波速由介质决定，与频率无关，故B错误；
C．机械波传播时介质质点仅在平衡位置振动，不会随波迁移，故C错误；
D．受迫振动频率等于驱动力频率，即漂浮物的频率 ，故D错误。
故选A。
三、波的图像
1.图象：在平面直角坐标系中，横坐标x表示在波的传播方向上介质中各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，连接各位移矢量的末端，得出的曲线即为波的图象，简谐波的图象是正弦(或余弦)曲线。
2.物理意义：表示波的传播方向上，介质中的各个质点在同一时刻相对平衡位置的位移。当波源作简谐运动时，它在介质中形成简谐波，其波动图像为正弦或余弦曲线。
3. 波动图象的特点
(1)质点振动nT(波传播nλ)时，波形不变。
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ时(n＝1,2,3…)，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2,3…)时，它们的振动步调总相反．
(3)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。
4 .波动图象的信息
（1）确定位移：可以直接看出在该时刻沿传播方向上各质点的位移。
（2）确定振幅：介质各点的振幅A是波动图像上纵坐标最大值的绝对值。
（3）确定波长：从图像中可以直接读取波长λ。
（4）从图像中可以间接地比较各质点在该时刻的振动速度、动能、势能、回复力、加速度等量的大小。
（5）如已知波的传播速度，可利用图像所得的相关信息进一步求得各质点振动的周期和频率。
（6）若已知波的传播方向，可确定各质点在该时刻的振动方向，并判断位移、加速度、速度、动能的变化。
（7）从图像中可以确定各质点振动的加速度方向（加速度总是指向平衡位置）。
【跟踪训练】（2025·河北·模拟预测）如图所示，坐标原点O产生的简谐横波沿着x轴正方向传播，时刻开始振动，起振方向沿y轴负方向，时刻首次形成如图所示的波形，下列说法正确的是（ ）
A．时，简谐波刚好传到10m处
B．质点a做简谐振动的周期可能为2s
C．时质点b刚好完成1次全振动
D．该简谐波的传播速度为1m/s
【答案】C
【知识点】波长、频率和波速的关系、波的图像
【详解】A．由题图可知，简谐波刚传到10m处时，如图所示
可知，再经过才到时刻，故时，简谐波刚好传到14m处，故A错误；
BD．由A项可知，波速
波长
波的周期
即质点a做简谐振动的周期为，故BD错误；
C．刚传到质点b处，时刻为
质点b刚好完成第1次全振动的时刻为，故C正确。
故选C。
四、波的反射、折射和衍射
1. 反射：波在传播过程中遇到介质界面会返回来继续传播的现象叫作波的反射。
2. 折射：波在传播过程中，从一种介质进入另一种介质时，波传播的方向发生偏折的现象叫作波的折射，
3. 衍射：波在传播过程中可以绕过障碍物继续传播的现象叫做波的衍射。
【注意】：发生明显衍射的条件：只有缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不多，或者小于波长时，才会发生明显的衍射现象。
【注意】：一切波都能发生衍射现象，衍射只有“明显”与“不明显”之分，障碍物或小孔的尺寸跟波长差不多，或比波长小是产生明显衍射的条件。波的直线传播只是在衍射不明显时的近似。波长较长的波容易产生明显的衍射现象。
补充：波在反射、折射和衍射时的物理量变化关系：
（1）频率f由波源决定，故无论是反射波还是折射波都与入射波的频率，即波源的振动频率相同。
（2）波速v由介质决定，因反射波与入射波在同一介质中传播，故波速不变；而折射波与入射波在不同介质中传播，所以波速变化。
（3）据v＝λf知，波长λ与v及f有关，即与介质及波源有关，反射波与入射波在同一介质中传播、频率相同，故波长相同。折射波与入射波在不同介质中传播，f相同，v不同，故λ不同。
【跟踪训练】（2025·江苏盐城·模拟预测）在海边游玩时我们会发现一个有趣的现象，平直的海浪从深水区传向海岸时，不管海岸线怎样的蜿蜒曲折，最终波速总是趋向于与海岸线垂直，海浪垂直拍打在沙滩上。这是因为水波速度在浅水区变小从而导致水波的传播方向发生改变，这种现象为波的（ ）
A．折射B．反射C．干涉D．衍射
【答案】A
【知识点】波的反射和折射
【详解】根据折射的定义知，海浪从深水区传向海岸时，水波速度在浅水区变小，从而导致水波的传播方向发生改变的现象为波的折射。
故选A。
五、多普勒效应
1. 定义：由于波源与观察者互相靠近或者互相远离时，接收到的波的频率与波源频率不相等的现象．
2. 特点：当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小。
3.多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数．当波以速度v通过观察者时，时间t内通过的完全波的个数为N＝eq \f(vt,λ)，因而单位时间内通过观察者的完全波的个数，即接收频率．
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小．
4. 多普勒效应在生活中的应用
（1）测量车辆速度：交警向行进中的车辆发射频率已知的超声波，同时测量反射波的频率，根据反射波频率变化的多少就能知道车辆的速度。
（2）测星球速度：测量星球上某些元素发出的光波的频率，然后与地球上这些元素静止时发光的频率对照，可得星球靠近或远离我们的速度。
（3）测血流速度：向人体内发射已知频率的超声波，超声波被血管中的血流反射后又被仪器接收，测出反射波的频率变化就可得血流速度。
补充：发生多普勒效应的三种情况：
【跟踪训练】（2025·江苏徐州·一模）如图所示为一辆救护车在道路上匀速行驶时，用软件拟合其产生的声波的图样，图中的圆表示波峰。下列说法正确的是（ ）
A．该图表示的是干涉现象
B．左侧波的频率小于右侧波的频率
C．前侧波的频率大于后侧波的频率
D．单位时间内前侧接收的完全波个数与后侧的相同
【答案】C
【知识点】多普勒效应
【详解】A．题图表示的是多普勒效应，A错误；
BCD．根据波的图样可知，前侧形成的波纹比较密，后侧形成的波纹比较稀疏，由多普勒效应可知，前侧波的频率大于后侧波的频率，左侧波的频率等于右侧波的频率，救护车向前运动，单位时间内前侧接收的完全波个数比后侧的多，C正确，BD错误。
故选C。
振动图像和波动图像
振动图像和波动图像
补充：“一分、一看、二找”巧解波的图象与振动图象综合类问题
(1)分清振动图象与波的图象．只要看清横坐标即可，横坐标为x则为波的图象，横坐标为t则为振动图象。
(2)看清横、纵坐标的单位．尤其要注意单位前的数量级。
(3)找准波的图象对应的时刻。
(4)找准振动图象对应的质点。
【跟踪训练】（2024·宁夏·模拟预测）如图甲所示为一列沿轴传播的简谐横波在时刻的波形图，是平衡位置为处的质点，图乙为质点的振动图像，下列说法正确的有___________。
A．该波沿轴正方向传播
B．该波的波长为
C．该波的波速为
D．时间内，质点运动的路程为
E．坐标原点处质点做简谐运动的表达式为
【答案】ACE
【知识点】波长、频率和波速的关系、波的图像、振动图像与波形图的结合
【详解】A．由图乙知，时刻质点沿轴正方向振动，结合图甲可知波沿轴正方向传播，故A正确；
B．由甲图可知波长，故 B错误；
C．由乙图可知周期
则波速，故C正确；
D．由波形图可知质点振幅，在时间内共振动了5个周期，运动的路程是，故D错误；
E．该波的周期，则
坐标原点处质点做简谐运动的表达式为，故E正确。
故选ACE。
01 弹簧振子模型
1. 弹簧振子：我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。弹簧振子是一种理想模型
2. 平衡位置：振子原来静止时的位置。位于平衡位置时，小球所受合力为0。经过平衡位置时，小球速度最快。
【注意】：弹簧振子的平衡位置不一定在弹簧的原长位置，比如弹簧振子竖直放置的时候，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置。
弹簧振子运动情景分析：
上图的运动情景导致各物理量的变化情况如下表所示。
由表格可得：
①在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反；
②最大位移处是速度方向变化的转折点；
③关于平衡位置O对称的两点,速度的大小、动能、势能、相对平衡位置的位移大小相等,由对称点向平衡位置O运动时用时相等。
补充：实际物体看作弹簧振子的四个条件：
（1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。
（2）构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。
（3）忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。
（4）小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。
【跟踪训练】（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示，轻弹簧左端固定，右端与一放在水平面上且可视为质点的滑块相连，弹簧始终与水平面平行，水平面上各处粗糙程度相同，弹簧处于原长时滑块位于点。现将滑块拉至A点并由静止释放，点为中点，弹簧始终在弹性限度内。已知滑块刚释放时加速度大小为，第一次经过点时加速度大小为，则滑块第二次经过点时加速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】弹簧振子模型
【详解】设滑块的质量为，弹簧的劲度系数为，滑块受到的滑动摩擦力为，间的距离为，则刚释放时有
第一次经过点时有
设滑块第二次经过点时加速度大小为，则
联立以上三式解得
故选C。
02 波的干涉
1. 波的叠加原理：几列波相遇时各自的波长、频率等运动特征，不受其他波的影响。在它们重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。所以叠加区域的质点的位移可能增大，也可能减小。如图所示，两列同相波的叠加，振动加强，振幅增大；两列反相波的叠加，振动减弱，振幅减小。
2. 波的干涉：频率相同的两列波叠加时，某些区域的振动加强、某些区域的振动减弱，这种现象叫波的干涉。形成的图样常常叫做干涉图样。发生干涉的条件：（1）频率相同；（2）相位差恒定。
【注意】：波的叠加是无条件的，任何频率的两列波在空间相遇都会叠加。但稳定干涉图样的产生是有条件的，必须是两列波的频率相同、相位差恒定。
补充：干涉图样的特征：
①加强区和减弱区的位置固定不变；
②加强区始终加强，减弱区始终减弱(加强区与减弱区不随时间变化)；
③加强区与减弱区互相间隔。
【注意】干涉时，振动加强区域或振动减弱区域的空间位置是不变的，加强区域中心质点的振幅等于两列波的振幅之和，减弱区域中心质点的振幅等于两列波的振幅之差。两列波在空间相遇发生干涉，两列波的波峰相遇点为加强点，波峰和波谷的相遇点是减弱的点，加强的点只是振幅大了，并非任一时刻的位移都大；减弱的点只是振幅小了，也并非任一时刻的位移都最小。
【跟踪训练】（2025·广西南宁·模拟预测）如图所示，a、b两列简谐横波在同一均匀介质中传播，a波沿x轴正方向传播，b波沿x轴负方向传播，t=0时刻两列波恰好在坐标原点相遇。已知b波的传播速度为8m/s，下列判断正确的是（ ）
A．原点O开始振动方向沿y轴负方向
B．t=0时刻，x=−1.25m的质点加速度正在增大
C．两列波叠加后，x=−1.5m的质点位移最大值为1cm
D．两列波叠加后，介质中振动加强和减弱区域的位置可能发生变化
【答案】BC
【知识点】波的图像、波的叠加原理
【详解】
A．t=0时刻两列波恰好在坐标原点相遇，根据波形平移法可知，原点O开始振动方向沿y轴正方向，故A错误；
B．由题图可知，x=−1.25m的质点只受a波影响，处于平衡位置向波谷振动的过程中，此时该质点的位移大小正在增大，加速度正在增大，故B正确；
C．由题图可知，t=0时刻a波位于x=−3m处的振动和b波位于x=0处的振动同时传到x=−1.5m处，且两波在该点引起的振动方向相反，所以该点为振动减弱点，则该点的振幅为
所以两列波叠加后，x=−1.5m的质点位移最大值为1cm，故C正确；
D．两列波的波长相等，波速相等，则两列波的频率相等，所以两列波叠加后，可以产生稳定的干涉现象，则介质中振动加强和减弱区域的位置保持不变，不会发生变化，故D错误。
故选BC。
01 单摆及其应用——等效思想
1. 单摆周期：
（1）公式：T＝2πeq \r(\f(l,g))
（2）理解：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关。
【注意】：单摆的振动周期跟球的质量无关，只与摆长L和当地的重力加速度g有关。
（3）对重力加速度的理解：
①摆球只受重力和细线拉力，且悬点静止或做匀速直线运动，g为当地重力加速度，在地球上不同位置g的取值不同，不同星球表面g值也不相同。
②单摆处于超重或失重状态时等效重力加速度g0＝g±a.在近地轨道上运动的卫星加速度a＝g，为完全失重，等效重力加速度g0＝0。
2. 运动特点：
（1）摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力。
（2）摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力。
3. 单摆的受力特征：
（1）向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，。
(2)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反。(如图所示)
（3）两个特殊位置：
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝eq \f(mvmax2,l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(vmax2,l)。
补充：单摆的类型拓展
【跟踪训练】（2025·甘肃白银·模拟预测）如图甲所示，水平放置在光滑地面上的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为平衡位置，规定向右为正方向，其自由振动图像如图乙所示。将小球Q用轻质细绳悬挂在O点正上方的O1点，小球Q静止时恰好未与地面接触，将小球P从A点由静止释放，运动到O点时与完全相同的、静止的小球Q发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后小球P从A点至再次回到A点的时间间隔为6s。小球P、Q始终在同一竖直面内运动，小球Q的摆角始终小于5°，空气阻力不计，当地重力加速度g=9.87m/s2，π2≈9.87，则轻绳与小球Q组成的单摆的（ ）
A．周期为2sB．周期为8sC．摆长为1mD．摆长为4m
【答案】D
【知识点】单摆的周期
【详解】根据图乙可知，小球P的振动周期T1=8s，碰后小球P从A点至再次回到A点的时间为6s，因为小球P、Q完全相同且发生弹性碰撞，故小球P、Q碰后速度发生交换，小球Q在相邻两次碰撞之间的时间间隔为2s，恰好为单摆的半个周期，即单摆的周期为T=4s，根据单摆的周期公式
解得单摆的摆长L=4m
故选D。
02 传播方向和振动方向的判断——图像理解
波的传播方向与质点振动方向的判断方法：
【跟踪训练】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图甲为一列简谐波在时刻的波形图，P是平衡位置为处的质点，Q是平衡位置为处的质点，图乙为质点Q的振动图像，则（ ）
A．该简谐波沿x轴正方向传播
B．在时，质点P的速度方向沿y轴正方向
C．质点Q做简谐运动的表达式为
D．从到，该波沿x轴正方向传播了4m
【答案】B
【知识点】振动图像与波形图的结合
【详解】A．由乙图可知，时Q处于平衡位置向下振动，根据上下坡法知，波沿x轴负方向传播，故A错误；
B．由乙图可知周期，在时根据上下坡法，可知P的振动方向沿y轴正方向，当时，即在开始经过，质点P在平衡位置从下向上振动，即速度方向沿y轴正方向，故B正确；
C．设质点Q简谐运动的表达式为
由甲图可知振幅为10cm，该波的圆频率
则质点Q简谐运动的表达式为，故C错误；
D．根据甲图可知波长为，周期，则波速
从到，该波沿x轴负方向传播的距离，故D错误。
故选B。
01 机械波的多解问题——发散思维
1.造成波动问题多解的主要因素有
(1)机械波的传播具有周期性：
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确；
②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确．
(2)机械波的传播方向具有双向性：波的传播方向不确定；
(3)机械波的振动方向具有双向性：质点振动方向不确定．
2.解决波的多解问题的思路和步骤
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0,1,2…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2…)．
步骤：
(1)根据初、末两时刻的波形图确定传播距离与波长的关系通式．
(2)根据题设条件判断是唯一解还是多解．
(3)根据波速公式v＝eq \f(Δx,Δt)或v＝eq \f(λ,T)＝λf求波速．
补充：波的多解问题中几点注意
(1)首先考虑双向性，若题目未告知波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播的可能性进行讨论．
(2)对设定的传播方向，确定Δt和T的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内的情况，然后在此基础上加nT。
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。
(4)空间的周期性与时间的周期性是一致的，实质上是波形平移规律的应用，所以应用时我们可以针对不同题目选择其中一种方法求解。
【跟踪训练】（2025·海南海口·模拟预测）一列简谐横波在t=0s时的波形图如图所示，a、b、c分别为介质中的三个质点，其平衡位置分别为xa=0.5m、xb=2.0m、xc=3.5m。此时质点b正沿y轴负方向运动，且在t=1.5s时出现在波谷。则下列说法正确的是（ ）
A．该波沿x轴正方向传播
B．该波的传播速度大小可能为3m/s
C．t=1.5s时刻质点a的速度一定最大
D．质点c的振动方程可能为y=0.4cs（t） m
【答案】BC
【知识点】波长、频率和波速的关系、波的图像、求波速的多解问题
【详解】A．由于此时质点b正沿y轴负方向运动，根据“同侧法”可知，该波沿x轴负方向传播，A错误；
B．由于质点b正沿y轴负方向运动，且在t=1.5s时第一次运动到波谷，则
解得
由图像可知，波长
则波速
解得
时，波速为3m/s，B正确；
C．时刻，即经过时间，结合图像可知质点一定在平衡位置，此时速度一定最大，C正确；
D．根据可知无论取何值，都不可能等于，即质点c的振动方程不可能为y=0.4cs（t）m，D错误。
故选BC。
02 加强点和减弱点的判断——深入拓展
1.波的干涉中振动加强点和减弱点的判断方法：
（1）公式法：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
（2）图像法：在某时刻波干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点，一定是减弱点。各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
【注意】：若某点是平衡位置和平衡位置相遇，则让两列波再传播eq \f(1,4)T，看该点是波峰与波峰(波谷和波谷)相遇，还是波峰和波谷相遇，从而判断该点是加强点还是减弱点。
【跟踪训练】（2025·广东广州·三模）如图所示为声波干涉演示仪的原理图，两个U形管A和B套在一起，A管两侧各有一小孔。声波从左侧小孔传入管内，被分成两列波。当声波分别通过A、B传播到右侧小孔时，下列说法正确的是（ ）
A．声波从左侧小孔传入管内，被分成两列频率不同的波
B．声波从左侧小孔传入管内，被分成两列波速不同的波
C．若两列波传播的路程相差半个波长，则此处声波的振幅减小
D．若传播的路程相差一个波长，则此处声波的振幅减小
【答案】C
【知识点】波的干涉图样、判断干涉加强和减弱区
【详解】AB．声波从左侧小孔传入管内，被分成两列频率相同的波且相位差固定，故AB错误；
CD．若波程相差为半波长的偶数倍，则干涉相长；若波程相差为半波长的奇数倍，则干涉相消。所以两列波传播的路程相差半个波长（奇数倍），则此处声波的振幅减小；若传播的路程相差一个波长（半波长的偶数倍），则此处声波的振幅增大，故C正确，D错误。
故选C。简谐运动
阻尼振动
受迫振动
概述
振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线
振幅逐渐减小的振动
振动系统在驱动力作用下的振动
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
产生条件
不受阻力作用
受阻力作用
受阻力和驱动力作用
频率
固有频率
频率不变
驱动力频率
振幅
不变
减小
大小变化不确定
振动图像
形状不确定
振动能量
振动物体的机械能不变
能量逐渐减小
由产生驱动力的物体提供
实例
弹簧振子振动，单摆做小角度摆动
敲锣打鼓发出的声音越来越弱
扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动
振动项目
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T=T驱或f=f驱
T=T驱或f=f驱
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆（θ≤5°）
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
名称项目
横波
纵波
概念
在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互垂直
在波动中，质点的振动方向和波的传播方向在一条直线上
介质
只能在固体介质中传播
在固体、液体和气体介质中均能传播
特征
在波动中交替、间隔出现波峰和波谷
在波动中交替、间隔出现密部和疏部
波形特点
波峰：凸起的最高处
波谷：凹下的最低处
密部：质点分布最密的位置
疏部：质点分布最疏的位置
实物波形
相对位置
图示
结论
波源S和观察者A相对静止不动，
f波源＝f观察者，音调不变
波源S不动，观察者A运动，由A→B或A→C，
若靠近波源，由A→B，则f波源f观察者，音调变低
观察者A不动，波源S运动，由S→S2，
f波源