渤海大学附属高级中学2026届高三上学期第一次月考数学试题（含答案）

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1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
2．已知函数 在 处取得极值，则函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，该函数的定义域为 ，所以， ，
由已知条件可得 ，解得 ，所以， ，则
，
列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的极小值为 .
3．等比数列 中，公比为 q，首项为 ，则“对任意正整数 n，都有 ”是“ 且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】 ，“对任意正整数 n，都有 ”，
即等比数列 是单调递增数列， 且 或者 且
由 成立可以推出 且 或者 且 所以命题充分性不成立
由 且 成立可以推出 必要性成立
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4．已知函数 ，则下面结论不正确的是（ ）
A． 在定义域内是增函数 B． 的最小正周期为
C．函数的定义域是 D． 是 图象的一个对称中心
【答案】A
【详解】对于 A， ，故 A 错误；
对于 B， 的最小正周期为 ，故 B 正确；
对于 C，由 ，可得： ，故 C 正确；
对于 D，令 ，解得 ，则函数 图象的对称中心为 ，
令 得 ，故 是 图象的一个对称中心，故 D 正确．
5．在声学中，声音的强度级（单位：dB）常用于描述声音的强弱.强度级 计算方式为： ，其中 是声
音强度（单位：）， 是常数，表示人耳可听到的最小强度.设声源 A 单独发声时，产生的声音强度为 ，强度级为
；声源 B 单独发声时，产生的声音强度为 ，强度级为 ；且 .当声源 同时发声时，产生的声音强
度 ；则此时的强度级 （ ）
A．0.47 B．1.7 C．3 D．4.7
【答案】D
【详解】由题意 ，且 ，所以
，所以 .
6．下列说法正确的个数为（ ）
①命题“ ， ”的否定是“ ， ”
②幂函数 对于 ，都有 ，则
③函数 （ 且 ）的图象所过定点的坐标为（ 2,0）
④已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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【答案】B
【详解】对于①命题“ ， ”的否定是“ ， ，错误；
对于②，由幂函数的定义知， ，解得 或 ，
又对于 ，都有 ，所以 为偶函数，当 时， ，为偶函数，符合题意；
当 时， ，为奇函数，不符合题意，故 ，正确；
对于③，令 ，得 ，此时 ，故定点坐标为 .错误；
对于④，因为 时，由指数函数和对数函数单调性可知 单调递增，所以 在 上单调递增，
则需满足 ，即 ，解得 ，
则 的取值范围是 ，正确，综上，正确的个数为 2 个.
7．已知 分别为△ABC 内角 的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若 ，则△ABC 为等腰三角形
B．在钝角△ABC 中，A,B 为锐角，则不等式 恒成立
C．若 ， 的平分线交 于点 ， ，则 的最小值为 9
D．若 ，且△ABC 有两解，则 的取值范围是
【答案】C
【详解】选项 A，因为 ，即 ，
所以有 整理可得 ，所以 或 ，
故 为等腰三角形或直角三角形，故 A 错误；
选项 B，若 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
由正弦函数 在 单调递增，则 ，故 B 不正确.
选项 C， 的平分线交 于点 ， ，由 ，由角平分线性质和三角形面积公式，
得 ，即 ，得 ，得
，当且仅当 ，即 时，取等号，故 C 正确.
选项 D，如图，若 有两解，则 ，所以 ，则 b 的取值范围是 ，故 D 错误．
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8．已知函数 ，若函数 恰有 4 个零点 ， ， ， ，且 ，
为实数，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数 的图象，根据与 的零点分 和 利用数形结合法讨论求解.
【详解】如图所示：
因为 ，当 时， ，与 的零点为 所以 ，即
，所以 ，当 时， ，与 的零点为 ，
所以 的对称轴方程为 ，。所以 关于 对称，
设 ，所以 ，
则 ，所以 ，
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数 的定义域为
B．已知函数 的定义域为 ，则 定义域为
C．若 且 ，则
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D．若 ，则
【答案】AD
【详解】对于 A，要使函数 有意义，须满足 ，即 ，解得 ，所
以函数 的定义域为 ，故 A 正确；
对于 B， 的定义域为 ，则 定义域为满足 ，解得 ，故为 ，B 错误，
对于 C，因为 ，
且 ， ，所以 ， ，所以 ，即 ，故 C 错误；
对于 D，设 ，则 ，所以 ，即 ，故 D 正确.
10．关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是（ ）
A．若等比数列 的前 项和 ，则实数
B．若数列 为等比数列，且 ，则
C．若等差数列 的前 项和为 ，则 成等差数列
D．若等差数列 的前 项和为 ，公差 ，则 的最大值为 30
【答案】BCD
【详解】由 ，可得 时， ，
作差得 ，当 时， ，解得 ，所以 A 错误；
由等比数列性质可知 ，因为 ，所以 ，
，所以 B 正确；
由等差数列 的前 项和可知， 成等差数列，所以 C 正确；
等差数列 中 ，公差 ，则 ，
当 或 时，前 项和取得最大值，最大值 ，所以 D 正确.
11．已知函数 ，则（ ）
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A． 在 内单调递增
B．当方程 有三个不等的实根时，
C．当不等式 恰有三个不等的正整数解时，
D．当过点 可作曲线 的三条切线时，
【答案】BC【详解】由题意，
在 中， ， ， ，当 时，解得 或 ，
当 即 ， 时，函数单调递减，当 即 时，函数单调递增，
∴ 在 内单调递增，在 内单调递减，故 A 错误；当 时， ，当 时， ，
∴ ，当方程 有三个不等的实根时，∴ ，即 ，故 B 正确；
当不等式 恰有三个不等的正整数解时， 的图象在 上方的正整数解有 3 个，
∵ ， ， ， ，
在 ， 内单调递减，在 内单调递增，
∴当 即 时， 的图象在 上方的正整数解为 ，C 正确；
设切点为 ，则切线斜率 ，切线方程为 ，
∵切线过点 ，∴ ，
当 时，切线方程为 ，满足过点 且与 相切条件；
当 时，得 ，即 ，∵过点 可作曲线 的三条切线，
∴方程 有两个不同的非零实根，∴ 且 ，即 且 ，
解得 或 或 ，D 选项错误.
三、填空题
12．已知半径为 的扇形面积为 6，则扇形的圆心角为 .
【答案】4【详解】设扇形的圆心角为 ，且半径为 的扇形面积为 6，
由扇形的面积公式得 ，解得 ，则扇形的圆心角为 .
13．设数列 的前 n 项和为 ，若 ，则
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【答案】
，①当 时， ，②
两式相减得： ，即 ，设 ，则 ，所以 ，
故 ，又 ， ， ，故当 时， 为等比数列，公比为 2，C
错误；B 选项，当 时， ，故 ，所以 ，
14．若关于 的不等式 在区间 上恒成立，则实数 的取值范围为
【答案】 【分析】同构之后令 ，求导分析最值，然后再换元令 ，构造函数 ，
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 ，易得 ，
设 ，则 ，分离参数可得 令 ，
，易得函数在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以实数 的取值范围为 .
四、解答题
15．记△ABC 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 的周长为 ，求△ABC 的面积.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）（方法一）由 及正弦定理，
得 . ……2 分
又 ，得 ，
即 . ……5 分 （不明确 sinc 不等 0 扣 1 分）
因为 ，所以 . ……7 分（不写 A 角范围扣 1 分）
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（方法二）由 及正弦定理，
得 .
又 ，得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，故 ，
所以 ，故 ，即 .
（2）由（1）得 .
由 的周长为 ，得 . ……8 分
由 ， ……9 分
所以 ，即 ，
故 ， ……11 分
所以 . ……13 分
16．设 是递增的等差数列， 是等比数列，已知 ， ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 n 项和 ；
(3)设 ，记数列 的前 n 项和为 ，证明： ．
【答案】(1) ， (2)
【详解】（1）解：设数列 的公差为 ， 的公比为 ，
因为 ， ， ， ，所以 ， ……2 分
所以 ，
则 ，解得 或 （舍去）， ……4 分
所以 ，所以 ， ……5 分
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； ……6 分
（2）解：由（1）可得 ， ……8 分
所以
. ……10 分
（3）证明：由（1）可得 ， ……11 分
所以 ……13 分
. ……15 分
17．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积 亩 1 2 3 4 5
管理时间 月 8 10 13 25 24
并调查了某村 300 位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人
愿意参与管理 不愿意参与管理 合计
男性村民 150 50
女性村民 50
合计
(1)求出样本相关系数 的大小，（精确到 0.01）并判断管理时间 与土地使用面积 是否线性相关（当 时，
即可认为线性相关）；
(2)依据 的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；
(3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取 3 人，记取到不愿意参与管理的男性村
民的人数为 ，求 的数学期望.
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参考公式： ，其中 .
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考数据： .
【答案】(1)0.93，管理时间 与土地使用面程 线性相关.(2)认为村民的性别与参与管理的意愿有关.
(3)
【详解】（1）由题知， ，
， ……1 分
， ……2 分
，
， ……3 分
则 ……5 分
故管理时间 与土地使用面程 线性相关. ……6 分
（2）依题意，完蟙表格如下：
单位：人
愿意参与管理 不愿意参与管理 合计
男性村民 150 50 200
女性村民 50 50 100
合计 200 100 300
……8 分
零假设为 ：村民的性别与参与管理的意愿无关.
计算可得 . ……10 分
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依据 的独立性检验，推断 不成立，即认为村民的性别与参与管理的意愿有关. ……11 分
（3）法一：依题意， 的可能取值为 ，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概
率为 ，故 ，
故 的分布列为
0 1 2 3
……14 分
则数学期望 . ……15 分
法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为 ， ……12 分
则 ， ……14 分
故 . ……15 分
18．已知函数 的相邻两个对称中心间的距离为 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，若 且 ，求 的值.
(3) 设 ， ，当 时，求 的值域；
【答案】(1) ， (2) (3) 的值域为 ；
【详解】（1）
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. ……2 分
因为函数 的相邻两个对称中心间的距离为 ，所以函数 的周期 .
由 ，解得 ，
……4 分
令 ，
解不等式得： ， ；
所以 的单调递减区间为 ， ……6 分
（2）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象.
再把每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 的图象， ……8 分
因为 ，所以 .
， ，
又 ， ， ……9 分
则 . ……10 分
.
……12 分
(3 因 ， ，
所以 ……14 分
设 ， ， ，
， ， ……16 分
因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，则 ， ……17 分
所以 的值域为 ；
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19．若定义域为 D 的函数 满足 ：非空集合 ， ，若 ，则称 是一个 I 上的“非负函
数”；若 ，则称 是一个 I 上的“非正函数”．
(1)判断 是否为定义域上的“非正函数”，并说明理由．
(2)已知函数 为 上的“非负函数”，求 a 的取值范围．
(3)设 ，且 ，证明： ．
【答案】(1) 是一个 I 上的“非正函数”，理由见解析；(2) ；
【分析】（3）由（2）知， ，即 ，把 代入 ，有 ，
放缩得到 ，累加证明出结论.
【详解】（1） 是一个 R 上的“非正函数”, ……1 分
理由如下：
定义域为 R， ，令 得 ， ……2 分
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 取得极大值，也是最大值， ……4 分
又 ，所以 在 R 上恒成立，
故 是一个 R 上的“非正函数”； ……5 分
（2）要使 在 上为“非负函数”，
则 在 上恒成立， ……6 分
其中 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
其中 ，故当 时， ，
所以 在 上单调递减，且 ，
故当 时， ，当 时， ， ……8 分
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故 在 上单调递增，在 上单调递减，
其中 ，故 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
故 ，
令 ，解得 ； ……11 分
（3）由（2）知， ，即 ， ……12 分
把 代入 ，有 ，
因为 ，所以 ， ……14 分
当 时， ，当 时， ，……，
， ， ……15 分
以上不等式相加
得 ，证毕. ……17 分
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