辽宁省渤海大学附属高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

2022-2023学年度第一学期月考高二数学参考答案

一、单选题

1．过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A．   B．   C．   D．

2．如图，在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，AC与BD的交点为点M，，，，则（      ）

A．   B．   C．  D．

3．若直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为（    ）

A．   B．   C．   D．

4．若，则（    ）

A．   B．   C．   D．

5．如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，则||等于（    ）

A．5   B．   C．   D．5

6．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，，则（    ）

A．   B．   C．   D．

7．在平面直角坐标系xOy（O为坐标原点）中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（    ）

A．3   B．   C．5   D．

8．如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（    ）

A．   B．   C．   D．

二、多选题

9．关于直线，下列说法正确的是（    ）

A．直线在轴上的截距为4   B．当时，直线的倾斜角为0

C．当时，直线不经过第二象限   D．当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8

10．已知直线，，，以下结论正确的是（    ）

A．不论为何值时，与都互相垂直；  B．当变化时，与分别经过定点和

C．如果与交于点M，则的最大值是  D．不论为何值时，与都关于直线对称

11． 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ）

A． 异面直线与所成角的余弦值为   B．

C．平面截正方体所得的截面是四边形  D． 四面体的外接球体积为

12．在△ABC中，有以下四个说法：

①若△ABC是锐角三角形，则；

②存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍；

③存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的三倍；

④若A<B，则．

其中正确的说法有（    ）

A．①     B．②    C．③    D．④

三、填空题

13．经过点，且斜率等于直线的斜率的2倍的直线的一般式方程为________．

14．如图所示，若正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E、F分别为AB、BC的中点，则直线AC到平面PEF的距离为______．

15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若S为的面积，则的最小值为______.

16．如图，在长方体中，，，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为______．

四、解答题

17．已知直线，.

（1）若直线l与直线垂直，求实数的值；

（2）若直线l在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，求直线l的方程.

18． 在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足.

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的周长.

19．已知直线：，：．

（1）若，求实数m的值；

（2）当与相交时，用m表示交点A的坐标，并判断点A是否在某一条定直线上？如果是，求出这条直线的方程，如果不是，请说明理由.

20．如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，，底面，，，，．

（1）求直线与直线所成角的余弦值；

（2）求点到直线的距离．

21．在中，角A，B，C的对边分别为，且

（1）当，求的值；

（2）求的最大值.

22．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，是棱上一动点，已知二面角的余弦值为.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角正弦值的最大值.

2022-2023学年度第一学期月考高二数学参考答案

一、单选题

1．【答案】A

【详解】由题意设所求方程为，因为直线经过点，

所以，即，所以所求直线为.故选：A.

2．【答案】C

【详解】-＝，

.故选：C．

3．【答案】C

【详解】由，解得，所以直线的交点为，因为交点在直线上，

所以，所以点到原点的距离的最小值为，故选：C

4．【答案】D

【详解】由可得 ，

故，

而，故，即，故选：D

5．【答案】B

【详解】∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴•0，0，

又3×5×cos60°.∵，

∴2＝（）2222+2•229+16+25+15＝65，∴||.故选：B.

6．【答案】D

【详解】已知等式利用正弦定理化简得：

∴即∴

∴∴∴，即．故选：D．

7．【答案】B

【详解】将直线的方程变形得，

由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点，

所以，直线和直线的交点P的坐标为，易知，直线，如图所示，易知，四边形OMPN为矩形，且，设，，则，四边形OMPN的面积为，当且仅当，即当时，等号成立，

因此，四边形OMPN面积的最大值为，故选：B

8．【答案】A

【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，

则，

所以，，，

设平面的法向量为，则，

∴，令，可得，又，

设直线与平面所成的角为，则

，又，

∴当时，有最大值，即直线与平面所成的角最大.故选：A.

二、多选题

9．【答案】BCD

【详解】对于A，直线可化为，由斜截式可知直线在轴上的截距为，故A错误；对于B，当时，直线为，即，故直线的倾斜角为0，故B正确；

对于C，当时，有，在轴上的截距为，如图易得直线不经过第二象限，故C正确；对于D，当时，直线为，如图，

易知直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，且两条边长度都为，故，故D正确；故选：BCD.

10．【答案】ABC

【详解】对于A，如果 ，则 ，分别平行于x轴和y轴，显然 ；

如果 ，则 ， 恒成立，A正确；

对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确；对于D，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，代入方程知：不在上，D错误；

对于C，联立，解得：，即，

，即的最大值是，C正确；故选：ABC.

11．【答案】BD

【详解】如图建立空间直角坐标系，则，

∴，，∴，A错误；

∴，，，∴，B正确；

延长交延长线与，连接交于，延长交延长线于，连接交于，

则五边形为平面截正方体所得的截面，C错误. 由题可知四面体的外接球即为正方体的外接球，所以外接球半径满足，，∴，C正确；故选：BD.

12．【答案】AB

【详解】对于①：由为锐角三角形，则，即，

所以，故①正确；

对于②：设三边长为为大于1的正整数，对角分别为A、B、C，若，则

，

∴，得2n3-7n2-17n+10=0解得（舍去），

所以存在三边为连续自然数4，5，6的三角形，使得最大角是最小角的两倍，故②正确；

对于③：若，由正弦定理得，

，

由此两式消去得，又由余弦定理得，

所以，而该方程无正整数解，所以这样的三角形不存在，故③不正确；

对于④：由A<B，可知，

  ,故④错误. 故选：AB.

三、填空题

13．【答案】

【详解】因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率．又所求直线经过点，所以所求直线的方程为，即．故答案为：.

14.【答案】

【详解】依题意，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，则，

设平面PEF的一个法向量为，则，令，得，显然，即，而直线平面，则平面，

因此直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，而，

则点A到平面PEF的距离，所以直线AC到平面PEF的距离为．故答案为：

15．【答案】

【详解】由题设及正弦定理边角关系，，

即，而，故，又，则，故，

而，，

所以，当且仅当时等号成立，

故的最小值为.故答案为：

16．【答案】2

【详解】连接，则，点、、在平面中，

且，，，

如图1所示；在△中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，

如图2所示，则，，；设点关于直线的对称点为，

的方程为，①  ，直线的方程为，②

由①②组成方程组，解得，，直线与的交点，．

对称点，．

则的最小值为2．故答案为：2．（也可以直接用几何方法）

四、解答题

17．详解：（1）因为直线l与直线垂直，

所以，解得或.--------------------------------------4分

（2）令，得，令，，

由题意知，解得或，-------------------------------------8分

所以直线l的方程为或.--------------------------------------------10分

18．详解：（1）因为，所以由正弦定理得，

因为，所以，所以，------------------------3分

因为所以，

又因为，所以；-------------------------------------------------------------6分

（2）因为，所以，------------------------8分

又由余弦定理得， ，

所以，又由，

所以的周长为：．----------------------------------------------------------12分

19．详解：（1）因为，所以，解得，

又当时，：，：，显然此时两直线重合，故.--------------------4分

（2）由（1）知，当与相交时，联立解得，------8分

即．因为（），

即（），

所以点A一定在一条定直线上，这条直线的方程是------------------------------------------12分

20．详解：（1）以A为原点，AB、AD、AE分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，则，，------2分

，                            

∴直线与直线所成角的余弦值为．  ----------- ---------6分

（2）根据（2）可知：，，，

∴，                         ------------------------------10分

∴点到直线的距离为：．--------------------------12分

21．详解：（1）由题意得：，

即，

则   ---------------4分

（2），两边同乘以得：

，即，整理得：，由正弦定理得：，                      ----------------8分

由余弦定理得：，

因为，当且仅当时等号成立，

此时，由于，而在上单调递减，

故的最大值为                                                     ------------------12分

22．详解:（1）因为四边形是菱形，所以.

因为平面，平面，所以.

因为平面，平面，，所以平面.

因为平面.所以平面平面；                  ----------------------------------4分

（2）设,过O作.以分别为x、y、z轴正方向建系.

所以，，，.

设的长度为，则，所以,.

设为面的一个法向量，

则，即，不妨设，则

由（1）可知：平面，所以为面的一个法向量. 因为二面角的余弦值为，

所以，解得：.        ---------------------8分

即，，.  因为E是棱上一动点，可设，即.  所以.

设直线与平面所成角为，

则

，

所以当时，取最小值，此时.         ---------------------12分