2025-2026学年湖南省高三（上）段考数学试卷（二）（含解析）

这是一份2025-2026学年湖南省高三（上）段考数学试卷（二）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|40，圆O：x2+y2=a2，直线l1：x+ay+2=0，l2：2ax+y+1=0，则( )
A. l1与l2不可能垂直
B. 若a=1，则l1与圆O相切
C. 若a= 22，则l2与圆O相交
D. 若圆O与圆(x−2a)2+y2=4无交点，则a>2
10.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)−2xy=f(x)+f(y)，f(1)=0，则( )
A. f(2)=2B. f(12)=−14
C. f(x+1)是偶函数D. f(x)−x2是奇函数
11.在直角坐标系xOy中，曲线Γ：(x2+y2)(x2+y2−4)=sin2x−cs2y，则下列结论正确的是( )
A. Γ与y轴无交点B. Γ关于直线y=x对称
C. 若点P在Γ上，则|OP|< 5D. 若曲线y=ax与Γ有公共点，则a0)的最小正周期为2π3．
(1)求f(x)图象的对称轴方程；
(2)在△ABC中，AC=8，△ABC的周长为4AB，且f(A3)=0，求BC．
16.(本小题15分)
在数列{an}中，a1=12,an+12n=an2n+1+122n+1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=n2an，求数列|bn|的前n项和Sn．
17.(本小题15分)
已知圆C：(x−a)2+y2=r2(a>4,r>0)，过圆C内的点A(4,0)的弦长的最大值为4，最小值为2 3．
(1)求圆C的方程．
(2)点B是x轴上异于点A的一个点，且对于圆C上任意一点P,|PB||PA|为定值．
(i)求点B的坐标；
(ii)点D(7,4)，求|PD|2−|PA|2|PB|+2|PD|+|PA|的最小值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−mx2，m∈R．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)有两个极值点，求m的取值范围；
(3)若m>0，实数a，b满足f′(a)=f(a+1)−f(a)，f′(b)=f(b)−f(b−1)，试比较f′(a)和f′(b)的大小．
19.(本小题17分)
如图，将△EAB，△ECB，△ECD，△EAD四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形ABCDE，其中EA=EC，EB=ED，AB=BC=CD=DA.连接AC，BD，过点E作平面α，满足AC//α，BD//α．
(1)证明：AC⊥BD．
(2)若EA= 2,EB=AB=1，且AC=BD．
(i)求AC到平面α的距离与BD到平面α的距离的平方和；
(ii)求平面AEB与平面α夹角的余弦值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由A={x|41，即直线l1与圆O相离，故B选项错误；
对于C选项，若a= 22，圆O：x2+y2=12，半径为 22，l2： 2x+y+1=0，
圆心到直线的距离d=|0+0+1| ( 2)2+12=1 3a+2或da+2可得2a>a+2⇒a>2，
由d0，g(x)单调递增，则当x∈(−∞,ln2m)时，g′(x)0，所以f′(a)−f′(b)>0，即f′(a)>f′(b)
(1)利用导数求出切线斜率即可得解；
(2)记g(x)=f′(x)，由题意可转化为g(x)有两个零点，再由导数研究g(x)的单调性，分类讨论即可得解；
(3)由题意可求出a=lnme−2，b=1+lnm，代入f′(a)−f′(b)，构造函数利用导数判断单调性，可得差的符号即可比较大小．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
19.【答案】证明：取AC的中点M，连接BM，DM．
因为AB=BC，CD=AD，M为AC的中点，所以BM⊥AC，DM⊥AC，
又因为BM∩DM=M，BM，DM⊂平面BDM，所以AC⊥平面BDM．
又因为BD⊂平面BDM，
所以AC⊥BD；
(i) 5；(ii)3− 52
【解析】(1)证明：取AC的中点M，连接BM，DM．
因为AB=BC，CD=AD，M为AC的中点，所以BM⊥AC，DM⊥AC，
又因为BM∩DM=M，BM，DM⊂平面BDM，所以AC⊥平面BDM．
又因为BD⊂平面BDM，
所以AC⊥BD．
(2)(i)连接EM，因为EA=EC，所以EM⊥AC，由(1)知AC⊥平面BDM，
则E，B，D，M四点共面．
结合题意知△ABC≅△ADC，可得MB=MD，
在四边形EBMD中，EB=ED，MB=MD，
根据对称性，可知EM垂直平分BD．
因为AC//α，BD//α，所以在平面α内存在点F，G，使得EF/​/AC，EG/​/BD，
则EM⊥EF，EM⊥EG，EG∩EF=E，EG，EF⊂平面α，
即得EM⊥平面α
如图，以E为坐标原点，EF,EG,EM的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设AC=BD=2r，直线AC到平面α的距离为ℎ1，BD到平面α的距离为ℎ2，
则A(r,0,ℎ1)，B(0,r,ℎ2)，
因为EA= 2,EB=AB=1，
所以r2+ℎ12=2,r2+ℎ22=1,2r2+(ℎ1−ℎ2)2=1,
解得ℎ12= 5+12,ℎ22= 5−12,r2=3− 52，
故AC到平面α的距离与BD到平面α的距离的平方和为ℎ12+ℎ22= 5．
(ii)设平面AEB的法向量为m=(x,y,z)，而EA=(r,0,ℎ1),EB=(0,r,ℎ2)，
则m⊥EAm⊥EB，则m⋅EA=0m⋅EB=0，即rx+ℎ1z=0ry+ℎ2z=0，
取m=(ℎ1,ℎ2,−r)．
设平面AEB与平面α的夹角为θ，取平面α的一个法向量为n=(0,0,1)，
则m=(x,y,z)，
故平面AEB与平面α夹角的余弦值为3− 52．
(1)取AC的中点M，连接BM，DM，先证明AC⊥平面BDM，即可证明结论；
(2)(i)建立空间直角坐标系，设AC=BD=2r，直线AC到平面α的距离为ℎ1，BD到平面α的距离为ℎ2，由已知可列方程组，求得答案；(ii)求出平面AEB的法向量，根据二面角的向量求法，即可求得答案．
本题考查线线垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．