2025-2026学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）段考数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）段考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z=(m−1)−(m+2)i(m∈R)为纯虚数，则复数z为( )
A. 3iB. −3iC. 3D. −3
2.已知M={1}，N={1,2}，设A={(x,y)|x∈M，y∈N}，B={(x,y)|x∈N，y∈M}，则A∩B=( )
A. {(1,1)}B. {(1,1)，(1,2)，(2,1)}
C. {(1,2)，(2,1)}D. ⌀
3.在△ABC中，角A0，
设φ(x)=2lnx+1x3−1x，x≥1，
则φ′(x)=2x−3x4+1x2=x2+2x3−3x4，
当x>1时，x2>1，2x3>2，所以φ′(x)>0恒成立，
所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增，又φ =0，
所以当x>1时，φ(x)>0恒成立，
所以2x3+mx1>0
【解析】(1)由题意可得f′(1)=3，又f′(x)=mx+1+1x2=x2+mx+1x2，
所以f′(1)=m+1+1=m+2=3，解得m=1，
所以f(1)=0，即b+3=−0，解得b=−3，
所以m=1，b=−3．
(2)由(1)f′(x)=mx+1+1x2=x2+mx+1x2，x∈(0,+∞)，
当Δ=m2−4≤0，即−2≤m≤2时，f′(x)≥0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又f(1)=0，所以f(x)仅有一个零点，不符合题意；
当m>2时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合符题意；
当m0，又a0，
设φ(x)=2lnx+1x3−1x，x≥1，
则φ′(x)=2x−3x4+1x2=x2+2x3−3x4，
当x>1时，x2>1，2x3>2，所以φ′(x)>0恒成立，
所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增，又φ(1)=0，
所以当x>1时，φ(x)>0恒成立，
所以2x3+mx1>0．
(1)由条件结合导数的几何意义可得f′(1)=3，f(1)=3+b，f(1)=0，再求f′(1)，解方程可得结论；
(2)分别在−2≤m≤2，m>2，m2，再利用导数证明当x>1时，lnx< x−1 x，由此可得当x>1时，f(x)>( x−1 x)(m+ x+1 x)，再证明f(m2)>0，由此可得存在x3∈(b,m2)，使得f(x3)=0，并证明f(x)+f(1x)=0，由此可得结论；
(3)由(2)可得要证明2x3+mx1>0，只需证明2lnx3+1x33−1x3>0，记φ(x)=2lnx+1x3−1x，x>1，利用导数证明当x>1时，φ(x)>0，由此证明结论．
本题考查函数的单调性与函数的零点，属于中档题．