2025-2026学年湖南省长沙市高三（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年湖南省长沙市高三（上）10月月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y= x+1},B={y|y=x2+1}，则A∩(∁RB)=( )
A. [0,1)B. (−∞,1)C. [−1,1)D. [−1,1]
2.双曲线C：y24−x2=1的渐近线方程为y=mx，则|m|=( )
A. 12B. 22C. 2D. 2
3.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4=4a3−4a2，则S4a1+a2=( )
A. 5B. 9C. −9D. −5
4.已知实数a>0，b>1满足a+b=5，则2a+1b−1的最小值为( )
A. 3+2 24B. 3+4 24C. 3+2 26D. 3+4 26
5.已知函数f(x)=a2ax−1+a(a>0且a≠1)是奇函数，则f(1)=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
6.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为π的扇环，则该圆台的体积为( )
A. 7 33πB. 8 33πC. 163πD. 563π
7.已知函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，且f(x)在(1,+∞)上单调，若a>0，b>0，且f(a)+f(b)=0，则2a+8b的最小值是( )
A. 4B. 92C. 8D. 9
8.如图是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，则两个三棱锥D−A1BC1，B1−AD1C的公共部分的内切球的表面积为( )
A. π3
B. 2π3
C. 4π3
D. 8π3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 回归直线y​=b​x+a​可以不经过样本中心
B. 可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强
C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.712，根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验(x0.05=3.841)，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
10.已知函数f(x)=2sin(x2−π3)，则下列说法正确的有( )
A. x=−π3为函数f(x)图象的一条对称轴B. f(x)在区间[π,2π]上单调递增
C. f(x)在区间[−π,π]上的值域为[−2,1]D. f(x)在区间[0,4π]上有3个零点
11.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，点P为C上任意一点，若点M(1,3)，下列结论错误的是( )
A. |PF|的最小值为2
B. 抛物线C关于x轴对称
C. 过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D. 点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(1+2x)5的展开式中含x2的项的系数为______．
13.已知x>−1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为 ．
14.已知函数f(x)=1,x>00,x=0−1,x0,b>0)实轴端点分别为A1(−a,0)，A2(a,0)，右焦点为F，离心率为2，过A1点且斜率1的直线l与双曲线C交于另一点B，已知△A1BF的面积为92．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过F的直线l′与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
17.(本小题20分)
电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查.若被调查的男女生人数均为20n(n∈N∗)，统计得到以下列联表.经过计算，依据小概率值α=0.025的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值α=0.01的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关．
(1)求n的值；
(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为X，求X的分布列及数学期望．
(3)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加本次竞赛的学生分数η近似服从正态分布N(80,25)，若某同学成绩满足μ−σ≤η≤μ+2σ，则该同学被评为“反诈标兵”；若η>μ+2σ，则该同学被评为“反诈达人”．
(i)试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
(ii)若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数.(四舍五入后取整)
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
若x～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤x≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ≤x≤μ+2r)=0.9545，P(μ−3σ≤x≤μ+3σ)=0.9973．
18.(本小题20分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(2,0)到C的一条渐近线的距离为 3．
(1)求C的方程；
(2)设点P在C的右支上，过点P作圆O：x2+y2=32的两条切线，一条与C的左支交于点M，另一条与C的右支交于点N(异于点P)．
(i)证明：OM⊥OP；
(ii)当△PMN的面积最小时，求直线PM和直线PN的方程．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A={x|y= x+1}={x|x≥−1}=[−1,+∞)，B={y|y=x2+1}={y|y≥1}=[1,+∞)，
所以(∁RB)=(−∞,1)，
所以A∩(∁RB)=[−1,1)．
故选：C．
先求得集合A和B，再结合集合的基本运算求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为双曲线方程为C：y24−x2=1，所以a=2，b=1，
所以渐近线方程为y=±2x，
即得m=±2，所以|m|=2．
故选：D．
根据焦点在y轴上的双曲线方程得出双曲线的渐近线为y=±abx，即可求得参数．
本题考查双曲线的性质及几何意义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
由a4=4a3−4a2，可得a2q2=4a2q−4a2，
因为a2≠0，所以(q−2)2=0，所以q=2，
所以S4a1+a2=a1+2a1+4a1+8a1a1+2a1=15a13a1=5．
故选A．
4.【答案】A
【解析】解：因为a>0，b>1，所以b−1>0，
又满足a+b=5，
则2a+1b−1=(2a+1b−1)[a+(b−1)]×14，
=14[3+2(b−1)a+ab−1]≥14(3+2 2)，
当且仅当2(b−1)a=ab−1，即a=8−4 2，b=4 2−3时取等号，
故选：A．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意知函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
因为f(x)是奇函数，则f(−x)=−f(x)，
所以a2a−x−1+a=−a2ax−1−a，
得a2⋅ax1−ax+a2ax−1+2a=0，
故−a2+2a=0，解得a=2或a=0(舍去)，
则f(x)=42x−1+2，f(1)=6．
故选：C．
根据函数的奇偶性求出a的值，可得f(x)的解析式，继而代入求值，即得答案．
本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为圆台的上、下底面半径分别为1和2，
圆台的侧面展开图是圆心角为π的扇环，
所以圆台的母线长度为2π×(2−1)π=2，
所以圆台的高为ℎ= 22−(2−1)2= 3，
所以圆台的体积为13π× 3×(12+1×2+22)=7 33π．
故选：A．
利用圆台的性质求出母线长度，结合勾股定理求出高，再利用体积公式求解即可．
本题考查圆台的体积的求解，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，且f(x)在(1,+∞)上单调，
若a>0，b>0，且f(a)+f(b)=0，则a+b=2，
则2a+8b=a+ba+4a+4bb=5+ba+4ab≥5+2 ba⋅4ab=9，
当且仅当b=2a，即a=23，b=43时取等号．
故选：D．
由已知结合函数对称性求出a+b=2，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了函数的对称性及奇偶性的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：连接它们的交线后如下图所示，
即两个三棱锥D−A1BC1，B1−AD1C的公共部分为一个棱长为 2的正八面体，
作SR，WT的中点M，N，设内切球的球心为O，半径为r，
所以PS= 2，SM= 22，PM=PN= 2−12= 62，
由对称性可知，O为正方形RSWT的中心，
所以OM= 22，OP=1，又PM⋅r=OM⋅OP，
所以r=1× 22 62=1 3，即表面积为4πr2=4π3．
故选：C．
根据题意可得三棱锥D−A1BC1，B1−AD1C的公共部分为一个棱长为 2的正八面体，再利用截面图，根据等面积法即可求解．
本题主要考查求内切球的表面积，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：A中，回归直线y​=b​x+a​一定经过样本中心，所以A错误；
B中，相关系数r是用来刻画两个变量的相关程度强弱，|r|值越大两个变量的相关程度越强，所以B错误；
C中，在残差图中，若残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，所以C正确；
D中，根据独立性检验的定义，可得变量X与Y有关联，且推断犯错误的概率不超过0.05，所以D正确．
故选：CD．
根据回归直线方程的特征，可判定A错误；根据相关系数r的定义，可得判定B错误；根据残差图的性质，可得判定C正确；根据独立性检验的定义，可判断D正确．
本题主要考查统计的相关知识，考查计算能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，x=−π3时，x2−π3=−π2，此时函数f(x)取最小值，故x=−π3为函数f(x)图象的一条对称轴，故A正确；
对于B，x∈[π,2π]时，x2−π3∈[π6,2π3]，而y=2sinx在[π6,π2]上单调递增，在(π2,2π3]上单调递减，故B错误；
对于C，x∈[−π,π]时，x2−π3∈[−5π6,π6]，y=2sinx在[−5π6,−π2]上单调递减，在(−π2,π6]上单调递增，
则−2≤f(x)≤1，故C正确；
对于D，x∈[0,4π]，x2−π3∈[−π3,5π3]，因y=2sint在t∈[−π3,5π3]上只有0，π两个零点，
且由x2−π3=0⇒x=23π，即f(2π3)=0；由x2−π3=π⇒x=83π，即f(8π3)=0，
即f(x)在区间[0,4π]上有2个零点，故D错误．
故选：AC．
对于A，通过判断是否在x=−π3时，f(x)可取得最值，可判断选项正误；
对于BC，由正弦函数单调性可判断选项正误；
对于D，当x∈[0,4π]，x2−π3∈[−π3,5π3]，然后由正弦函数零点情况可判断选项正误．
本题主要考查了正弦函数对称性及单调性的应用，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把 PF 转化为 P 到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D．
【解答】
解：设 P(x0,y0) ，则 x02=4y0 ， y0≥0 ，又抛物线的焦点为 F(0,1) ，
对A，由题可知 PF=y0+1≥1 ， y0=0 时，等号成立，所以 PF 的最小值是1，A错；
对B，抛物线的焦点在 y 轴上，抛物线关于 y 轴对称，B错；
对C，由题知点 M 在抛物线的内部(含有焦点的部分)，因此过 M 与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
对D，记抛物线的准线为 l ，准线方程为 y=−1 ，
过 P 作 PH⊥l 于 H ，过 M 作 MN⊥l 于 N ，则 PF=PH ， PM+PF=MP+PH ，
所以当 M,P,H 三点共线，即 H 与 N 重合时， PM+PF 最小，最小值为 3+1=4 .D正确．
故选：AB．
12.【答案】40
【解析】解：(1+2x)5的展开式的通项公式Tr+1=C5r(2x)r=2rC5rxr，
则含x2的项是T3=22C52x2=40x2，
所以系数为40．
故答案为：40．
用通项公式Tr+1=Cnran−rbr来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含x2的项，由此可得其系数．
本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】92
【解析】【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
由题意可得x+1>0，且(x+1)+2y=2，可得1x+1+2y=52+12[2yx+1+2(x+1)y]，由基本不等式求解即可．
【解答】
解：∵x>−1，y>0且满足x+2y=1，
∴x+1>0，且(x+1)+2y=2，
∴1x+1+2y=12(1x+1+2y)[(x+1)+2y]
=52+12[2yx+1+2(x+1)y]
≥52+12×2 2yx+1⋅2(x+1)y=92，
当且仅当x=−13，y=23时取等号，
故1x+1+2y的最小值为92．
故答案为：92．
14.【答案】(1, 5)
【解析】解：由题意可知，f(a,b),f(b,c),f(a,c)三者全为0或一个为1，一个为−1，一个为0，
当全为0时，可知a,b,c两两垂直，不符合题意；
所以必为一个为1，一个为−1，一个为0，不妨设f(a⋅b)=0,f(b⋅c)=−1，f(a⋅c)=1，
由函数f(x)=1,x>00,x=0−1,x0，b⋅c=sinθ0，可得csA=12，又A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)由(1)得S△ABC=12bcsinA= 34bc=3 34，解得bc=3，
根据△ABC的周长为a+b+c=9，可得b+c=9−a，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−3bc，可得a2=(9−a)2−9，解得a=4．
(1)根据正弦定理化简所给等式，结合两角的正弦公式化简，进而求得角A的大小；
(2)由(1)的结论，利用三角形面积公式与余弦定理列式求解，即可得到本题的答案．
本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理与三角形的面积公式等知识，属于中档题．
16.【答案】解：(1)设直线l的方程为y=x+a，
联立y=x+ax2a2−y2b2=1，得y=2ab2b2−a2，
又e=ca=2，c2=a2+b2，代入上式得
所以y=3a，即yB=3a，
所以S△A1BF=12(a+c)⋅3a=92，解得a=1，
所以b= 3，c=2，
所以双曲线的方程为x2−y23=1．
(2)当直线l′的斜率不存在时，M(2,3)，N(2,−3)，
直线A1M的方程为y=x+1，
直线A2N的方程为y=−3x+3，
联立直线A1M与直线A2N的方程可得的Q(12,32)，
当直线l′的斜率存在时，设直线l′的方程为y=k(x−2)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=k(x−2)x2−y23=1得(3−k2)x2+4k2x−4k2−3=0，
所以x1+x2=4k2k2−3，x1x2=4k2+3k2−3，
所以直线A1M的方程为y=y1x1+1(x+1)，直线A2N的方程为y=y2x2−1(x−1)，
所以x+1x−1=y2(x1+1)y1(x2+1)，
两边平方得(x+1x−1)2=y22(x1+1)2y12(x2−1)2，
又因为x2−y23=1，
所以y22(x1+1)2y12(x2−1)2=3(x22−1)(x1+1)23(x12−1)(x2−1)2=(x2+1)(x1+1)(x1−1)(x2−1)=x1x2+(x1+x2)+1x1x2−(x1+x2)+1=4k2+3k2−3+4k2k2−3+14k2+3k2−3−4k2k2−3+1=4k2+3+4k2+k2−34k2+3−4k2+k2−3=9，
所以(x+1x−1)2=9，
所以x=12，或x=2(舍去)，
所以定直线方程为x=12．
【解析】本题考查双曲线的方程，直线与双曲线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于较难题．
(1)设直线l的方程为y=x+a，联立双曲线的方程，解得B点的坐标，再由三角形A1BF的面积解得a，b，c，进而可得答案．
(2)当直线l′的斜率不存在时，得M(2,3)，N(2,−3)，写出直线A1M，A2N的方程，联立解得Q点坐标，当直线l′的斜率存在时，设直线l′的方程为y=k(x−2)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线与双曲线的方程，结合根于系数关系可得x1+x2，x1x2，写出直线A1M，A2N的方程，进而可得x+1x−1=y2(x1+1)y1(x2+1)，两边平方，化简即可得出答案．
17.【答案】解：(1)由已知，完成列联表，
由题意χ2=40n×(150n2−50n2)220n×20n×25n×15n=8n3，
根据条件，可得5.024≤8n3