海南省定安县定安中学2026届高三上学期9月月考数学试卷（含答案）

这是一份海南省定安县定安中学2026届高三上学期9月月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p:∀x∈R,|x|≥0，则¬ p:( )
A. ∃x∉R,|x|≥0B. ∀x∈R,|x|0成立的x的取值范围是( )
A. (3,+∞)B. (−∞,3)C. (1,+∞)D. (−∞,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题中，是真命题的是( )
A. ∀x∈R，x2−x+1>0
B. “x>2”是“2y”的既不充分也不必要条件
10.下列叙述中正确的是( )
A. 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则a>0
B. 不等式x−3x+1≤0的解集是[−1,3]
C. 不等式2x2−5x−30时，f(x)=x2−1，则f(−2)= ．
13.函数f(x)=32x+6在区间[−2,4]上的值域为 ．
14.已知x>13，则3x+43x−1的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2=b2+c2−bc．
(1)求角A的大小；
(2)若b+c=4,△ABC的面积为 32，求a的值；
16.(本小题15分)
已知数列an,bn分别是等差、等比数列，且a1=−1,a2=b1=1,b2=a3．
(1)求an,bn的通项公式；
(2)求数列an+2bn的前n项和Sn．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F分别为C1C，BC的中点．

(1)求证：A1B⊥B1C；
(2)求直线A1B与平面AEF所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x3−6x．
(1)求曲线y=f(x)在点2,f(2)处的切线方程；
(2)当x∈(0,+∞)时，求证：f(x)≥−3x−2．
19.(本小题17分)
已知椭圆E:x2a2+y23=1a> 3的离心率为12．
(1)求E的方程；
(2)过E的右焦点F的直线l交E于A,B两点，若▵OAB(O为坐标原点)的面积为4 35，求l的方程．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.C
5.B
6.D
7.C
8.C
9.AD
10.ACD
11.BD
12.3
13.314,32
14.5
15.解：(1)由a2=b2+c2−bc可得bc=b2+c2−a2，
故csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
由于A∈0,π，故A=π3，
(2)由S▵ABC=12bcsinA=12bc× 32= 32，故bc=2，
又bc=b2+c2−a2得bc=(b+c)2−2bc−a2，故a2=(b+c)2−3bc=16−6，
故a= 10，

16.解：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，
则d=a2−a1=2，所以an=−1+2(n−1)=2n−3；
所以a3=3，则q=b2b1=a3b1=3，所以bn=b1qn−1=3n−1．
(2)由(1)可知an+2bn=2n−3+2⋅3n−1，
则Sn=a1+ann2+2×b11−qn1−q=(−1+2n−3)n2+3n−1=3n+n2−2n−1．

17.解：(1)证明：连接AB1，

因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，所以AC⊥AA1，
又AC⊥AB,AB∩AA1=A，AB，AA1⊂平面ABA1，所以AC⊥平面ABA1，
又A1B⊂平面ABA1，则A1B⊥AC，
因为在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1，所以四边形ABB1A1为正方形，
所以A1B⊥AB1，
因为AC∩AB1=A，AC、AB1⊂平面ACB1，所以A1B⊥平面ACB1，
又B1C⊂平面ACB1，则A1B⊥B1C．
(2)因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA1两两垂直，
所以以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，
所以A1B=(2,0,−2)，AE=(0,2,1)，AF=(1,1,0)．
设平面AEF的一个法向量为n=(a,b,c)，则n⋅AE=2b+c=0n⋅AF=a+b=0,
令a=1可得n=(1,−1,2)．
设A1B与平面AEF所成角为θ，
所以sinθ=cs〈n,A1B〉=⋅n⋅A1BnA1B=2 4+4× 1+1+4= 36，
即A1B与平面AEF成角的正弦值为 36，
所以A1B与平面AEF成角的余弦值为 336．

18.解：(1)由题f(2)=−4，f′(x)=3x2−6，所以切线斜率为k=f′(2)=6．
因为切点为(2,−4)，
所以切线方程为y+4=6(x−2)，即6x−y−16=0．
(2)证明：令g(x)=f(x)+3x+2=x3−3x+2,x>0，则g′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)，
当x∈(0,1)时g′(x)0，所以g(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以当x=1时，g(x)有最小值为g(1)=0，
所以当x∈(0,+∞)时，g(x)≥0，即当x∈(0,+∞)时，f(x)≥−3x−2．

19.解：(1)由题意知，椭圆E:x2a2+y23=1a> 3的离心率为12，
可得e=ca= a2−3a=12，解得a2=4，
所以椭圆E的方程为x24+y23=1．
(2)由(1)知，椭圆E:x24+y23=1，可得c= a2−b2=1，所以右焦点F(1,0)，
由题意知，直线l的斜率不为零，设l的方程为x=my+1，
联立方程组x=my+1x24+y23=1，整理得到3m2+4y2+6my−9=0，
可得Δ=(6m)2−4(3m2+4)×(−9)>0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4，
所以|AB|= 1+m2 y1+y22−4y1y2= 1+m2 36m23m2+42+363m2+4=121+m23m2+4，
又由点O到l的距离d=|−1| 1+(−m)2=1 1+m2，
所以▵OAB的面积SΔOAB=12|AB|d=12×121+m23m2+4×1 1+m2=6 1+m23m2+4=4 35，
解得m2=13或m2=−1112(舍)，所以m=± 33，
所以l的方程为x= 33y+1或x=− 33y+1，
即直线l的方程为 3x−y− 3=0或 3x+y− 3=0．