湖南省娄底市第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题含答案含答案解析

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2025 年秋季学期高二 1 月月考数学试卷
一 、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数z1=5-3i, z2=-2+i,i为虚数单位 ，则复数在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第—象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 直线3x-FY+m=0的倾斜角为 ( )
A. 30 B. 60 C. 120" D. 150
3. 已知函数flx) 的导函数为 ，若 ，则 f"(2)= ( )
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
4. 已知函数为奇函数 ，则 ( )
A. -l B. 1 C. 2 D. 3
5. 等差数列 中 ，若 ，则 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6. 已知M(4,2)是直线 l 被椭圆x2+4y2=36所截得的线段 AB 的中点 ，则直线 l 的方程为 ( )
A. 2x+y- 8 = l B. C. x-2y-8 = 0 D. 2x-y-8=0
7. 若不等式 对 恒成立 ，则实数 的最大值为 ( )
A. B. 兰 C. 6 D. -6
8. 已知ΘM：x2+y-2x-2y-2=0 ， 直线 ： 2x+y+2= l ，P为 上的动点， 过点p作ΘM 的切线PA, PB ，切点为A,B ， 当IPM II AB I最小时， 直线AB 的方程为 ( )
A. lx- y-I= l B. 2x+y-IO C. 2x-y+I=I D.
二 、多选题：本题共 3 小题， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.
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9. 已知点 p 是平行四边形 ABCD 所在的平面外—点， 如果 ， aT=(4,2,0) ，
. 下列结论正确的有 ( )
A AP 上 AB
B. AP上 AD
C. 是平面 ABCD 的—个法向量
D.
10. 已知数列 满足 a,+2a,+…+2"'a,=n·2" ，则 ( )
A. a,=n+l B. 的前 n 项和为
C. 的前 100 项和为 100 D. a,- 的前 30 项和为 357
11. 已知分别为双曲线 的左 、右焦点， 过 的直线 与圆 =a'相切于点M， 且直线 与双曲线E及其渐近线在第二象限的交点分别为P,Q ，则下列说法正确的是( )
A. 直线 是 的—条渐近线
B. 若 ，则 的渐近线方程为
C. 若lr:]=Mr:I ，则 E的离心率为
D. 若 [PF=MF ，则 E 离心率为
三、填空题：本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 曲线y=x2+l在点p(2,5) 处的切线是_____.（ —般式方程）
13. 已知向量 ， ，若 ，则 __________．
14. 设数列 的前 项和为 ， 且 ，则数列的前 项和为___________.
四、解答题：本题共 5 小题， 共 60 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.
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15. 记 ABC 的内角A ，B ， C 的对边分别为a ， b ， ， 已知 .
（1） 求 C 的大小.
（2）若a=2sinA ， 求 ABC 面积的最大值.
16. 已知圆c: x2+y'=4
（1） 求过点 且与圆 相切的直线方程；
（2） 已知直线 被圆c 截得的弦长为 ， 求实数 m的值.
17. 已知数列 满足 a=4, a1=3a,-2．
（1） 求 的通项公式；
（2）若 ，记数列 的前 项和为 ， 求证： ．
18. 如图， 在四棱锥P-ABC D 中， PD l 平面 ABCD ， 底面 ABCD 为菱形， AD=2 ， PB=PC ， E,F 为 AB ， PD 中点．
（1） 求证： 平面 PBC ；
（2）若 DP = 入AD （ ）， 且直线CP 与平面EFC 所成角 正弦值为 ， 求 的值；
（3）在（2） 的条件下 ，若点G 为直线EF 上—点， 求直线BG 与平面EFC 所成角正弦值的最大值．
19. 已知椭圆 的上 、下两个焦点分别为F(0,1), F(0,-1) ， 过点r. 垂直于y 轴的直线交椭圆C 于 P,Q 两点且Ir g=3 .
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2）若直线Y=K X+4 与椭圆C 交于A,B 两点， 直线AF, BF 斜率分别为 .
①求证： k+k为定值；
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②求A4BF 面积的最大值.
2025 年秋季学期高二 1 月月考数学试卷
一 、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数z1=5-3i, z2=-2+i,i为虚数单位 ，则复数在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第—象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限【答案】 D
【解析】
【分析】 求得 ， 即可得答案.
【详解】 因为i,+iy =3-2i ，对应 点(3,-2) 位于第四象限.
故选：D.
2. 直线3x-FY+m=0的倾斜角为 ( )
A. 30 B. 60 C. 120 D.
【答案】 B
【解析】
【分析】 利用斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】 设直线3x-FY+m=0的倾斜角为a ， 且 ，
则 ，所以 .
故选：B
3. 已知函数flx) 的导函数为 ，若 ，则 ( )
A. -3 B. C. 2 D. 3
【答案】 D
【解析】
【分析】 利用导数的定义计算进行求解.
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【详解】 由 ，
则 .
故选：D.
4. 已知函数为奇函数 ，则 ( )
A. -l B. 1 C. 2 D. 3
【答案】 B
【解析】
【分析】 首先要判断函数在x = 0 处是否有定义 ，然后根据奇函数性质列出等式求解.
【详解】 函数 ，分母 恒大于 ，所以函数f(x) 在 处有定义. 因为 f(x) 是奇函数 ，所以f(0)= 0 .
可得： ， 即 ，解得-1 .
时， ， 经检验 满足题意.故选：B.
5. 在等差数列 中 ，若 ，则 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】 D
【解析】
【分析】 根据等差数列的下标和性质即可解出．
【详解】 因为 ，解得： a,=4 ，所以 ．故选：D．
6. 已知M(4,2)是直线 l 被椭圆x2+4y2=36所截得的线段 AB 的中点 ，则直线 l 的方程为 ( ) · 第 2页/共 17页
A. 2x+y- 8 = l B. C. D. 2x-y-8=0
【答案】 B
【解析】
【分析】 设出直线 方程 ，联立椭圆方程 ，利用韦达定理用k 表示中点坐标 ，结合已知中点坐标解关于k 的方程可得
【详解】 当直线 斜率不存在时，
由对称性可知 ，此时直线 被椭圆x2+4y2=36所截得的线段 AB 的中点在x 轴上，而已知M(4,2) 是线段 AB 的中点， 不在X 轴上， 不满足题意.
故直线斜率存在， 可设斜率为k ，则直线的方程为y-2 = k(x-4) ，
即 ，
代入椭圆的方程化简得(1+4k2)x2+(16k-32k2)x+64k2-64k-20=0，
所以 ，解得，
故直线 方程为 ， 即 .
故选：B.
7. 若不等式 对 恒成立 ，则实数 。的最大值为 ( )
A. B. C. 6 D. -6
【答案】 C
【解析】
【分析】 由基本不等式求得不等式左边的最小值， 再由不等式恒成立的条件建立关于 的不等式 ，从而得到实数 的最大值.
【详解】 因为 ，
当且仅当， 即 时取等号，
所以9 22a-3 ，解得u s 6 ，所以a 的最大值为 6.
故选：C.
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8. 已知ΘM：x2+y-2x-2y-2=0 ， 直线 ： 2x+y+2= l ，P为 上的动点， 过点p作ΘM 的切线
PA, PB ，切点为A,B ， 当IPM II AB I最小时， 直线AB 的方程为 ( )
A. lx- y-I= l B. C. D. 2x+y+1=0 【答案】 D
【解析】
【分析】 由题意可判断直线与圆相离 ，根据圆的知识可知， 四点A,P,B,M 共圆， 且 AB上MP ，根据
可知， 当直线MP上 l 时， 最小， 求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．
【详解】 圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知， 四点A,P,B,M 四点共圆， 且 AB上MP ，所以
, ⽽ ，
当直线MP上 l 时， WP'I-5 ， ，此时 最小．
.
,
: 即 ， 由 解得，所以以MP 为直径的圆的方程为(x-(x+1)+yly-1)=0 ， 即两圆的方程相减可得： 2x+ y+1= 0 ， 即为直线AB 的方程．
故选：D.
【点睛】 本题主要考查直线与圆， 圆与圆的位置关系的应用， 以及圆的几何性质的应用， 意在考查学生的转化能力和数学运算能力 ，属于中档题．
二 、多选题：本题共 3 小题， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.
9. 已知点 p 是平行四边形 ABCD 所在的平面外—点， 如果 ， aD=(4,2,0) ， . 下列结论正确的有 ( )
A. AP 上 AB
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B. AP上 AD
C. 是平面 ABCD 的—个法向量
D.
【答案】 ABC 【解析】
【分析】 运用数量积逐项分析.
【详解】 由题意可知 都是非零向量，
对于 A， ， 正确；
对于 B， a亚·D=-1x4+2x2+(-1)x0=0 ， 正确；
对于 C ，:: AP lAD, AP 上 AB, AD C 平面 ABCD， ABC 平面 ABCD， AD nAB=A ， 所以 平面 ABCD， 正确；
对于 D ，: Apl 平面 ABCD， BDC 平面 ABCD， :, AP上BD ，错误；
故选：ABC.
10. 已知数列 满足 a,+2a,+…+2"'a,=n·2" ，则 ( )
A. a,=n+l B. 的前 n 项和为
C. 的前 100 项和为 100 D. a,-l 的前 30 项和为 357
【答案】 AD 【解析】
【分析】 当n22 时， ， 两式相减可求出a, ，检验 满足a, ， 可判断 A； 由等差数列的前 项和公式可判断B； 由分组求和法可判断 C ，D.
【详解】 当 n=l 时， i = 2 ，
当n 2 2 时， ，
两式相减可得： 2a,=n·2"-(n-1)·2'=(n+I):2⃞" ，所以a,=n+l ，
显然当n=l 时， 满足 ， 故 a,=n+l ， 故 A 正确；
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由等差数列求和公式知 的前 项和为， 故 B 错误；
令b,=(-I)"a,=(-1"(n+I) ， 的前 100 项和为：
, 故 C 错误；
令 ，
所以(l,-l 的前 30 项和为： Cy+cy+…+cg=3+2+l+0+l+2+…+26
, 故 D 正确故选：AD.
11. 已知分别为双曲线 的左 、右焦点， 过 的直线 与圆 =a'相切于点M， 且直线 与双曲线E及其渐近线在第二象限的交点分别为P,Q ，则下列说法正确的是( )
A. 直线 是 的—条渐近线
B. 若 ，则 的渐近线方程为
C. 若lr:]=Mr:I ，则 E的离心率为
D. 若 ，则 的离心率为 【答案】 ACD
【解析】
【分析】 根据给定条件求直线 的斜率， 再由0 ll 确定直线 斜率判断A；首先求出点Q,J ， 并设 , 根据给定条件 ，得到双曲线参数的齐次方程判断 B 、C 、D.
【详解】 根据题意 ，设直线1:y= hs-kc= kx-y-c= I,k< 0 ，
又直线 与圆 相切于点 ，所以 ，
又 h'=c'-a' ，则， 而 u 1 1 ，得 ，
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所以直线是 的—条渐近线 ，A 对；
联立 ，得 ，联立 ，得 ， 若 MF=3OM=3a 且 ，则 ， 即 ，
所以， 可得 ，
即渐近线方程为y=tFr ，B 错；
若 且 ， 故 ， 即 ，
化简得e'=3 ，则 C 的离心率为 ，C 对；
若 ，则 ，设 "r, ， 故 ，
得 ， 故 ，
代入 ，得 ，所以 ，则离心率为 ，D 对；故选：ACD
【点睛】 关键点点睛：对于 B 、C 、D ，根据给定条件得到关于双曲线参数的齐次方程为关键.
三、填空题：本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 曲线y=x2+l在点p(2,5) 处的切线是_____.（ —般式方程）
【答案】 4x-y-3=0
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【解析】
【分析】 利用导数求得切线方程.
【详解】 由y=x2+l ，得 y'=2x ，
所以切线的斜率为2x2=4 ，
所以切线方程为y-5=4fx-2)=4x-8,4x-y-3=0 .
故答案为： 4x-y-3=0
13. 已知向量 ， ，若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示结合三角恒等变换化简得出 ，利用二倍角的余弦公式可求得结果.
【详解】 由 得 ,
所以， ， 因此， .
故答案 ： .
14. 设数列 的前 项和为s. ， 且 ，则数列的前 项和为___________.
【答案】 (n -I)2"""+ 2
【解析】
【分析】 根据给定条件， 利用前 n 项和与第 n 项的关系可得(Il tI)a, = (n -I)a,. ， 变形构造常数列求出(n+I)u, ， 再利用错位相减法求和.
【详解】 由 ，得s =l-Ia, ，
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当 n-1 时， a=s=l-a ，解得 ；
当n 之 2 时， a,=s,-s,__=l-na,-l+(n-1)a,__ ，整理得(Il tI)a, = (n -I)a,. ，
则(n+I)na,=n(n-I)a,_⃞ , 数列是常数列， 因此(n+l)na,=21-a=l ，
, , 设数列 的前n 项和为7. ，
,
于是2T,=1x22+2x2'+3x2'+…+(n-1)x2"+n·2"" ，
两式相减得 ，
则 T,=(n-1)·2"+2 ，所以数列 的前n 项和为 .
故答案为： (n -1)2""+2
四、解答题：本题共 5 小题， 共 60 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.
15. 记 的内角 ，， 的对边分别为 ， ， ， 已知 .
（1） 求 C 的大小.
（2）若a=2sinA ， 求 ABC 面积的最大值.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简边角关系后可求的大小；
（2）根据余弦定理和基本不等式可得 ，从而可求面积的最大值．
【小问 1 详解】
因为 ， 由正弦定理得： ① ,
因 sin B=sin[r-1A+c)]-sin(A+c) .
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故①式可变形为 ，
即 ，化简得： ，
因为Ae(0, x) ，所以sinA>0 ， 故 .
因为ce(0,) ， 故 .
【小问 2 详解】
由正弦定理得 ，所以c=2s inc ，
由（ 1） 知 ， 故 ，则 ，
由余弦定理得c' = a'+ b' -2ab t sc ， 即 ，则abs l ，当且仅当a=b=l 时等号成立，
因此 ，
所以 ABC 面积的最大值为．
16. 已知圆c: x2+y2=4
（1） 求过点pl2,1) 且与圆C 相切的直线方程；
（2） 已知直线 被圆c 截得的弦长为 ， 求实数 m 的值. 【答案】（1） 3x+ 4y-10=I 或x = 2
（2）
【解析】
【分析】（1） 分直线斜率存在和不存在 ，利用点到直线的距离公式可得答案；
（2） 圆心到直线 距离 、弦长的—半 、圆的半径利用勾股定理可得答案. . 【小问 1 详解】
当直线斜率存在时 ，设直线y- I=(r- 2) ，
即kx-y- 2+I= l ，
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圆心 到直线的距离为 ，
解得，
此时直线方程为3x+ 4y-Il= l ，
当直线斜率不存在时， 直线方程为x = 2 ，此时直线与圆相切，综上 ，所求直线方程为3x+ 4y-Il= l 或t=2 .
【小问 2 详解】
记圆心到直线 的距离为d ，则 ，
又弦长为 ， 圆的半径为2 ，则，
解得m =生2 ，所以m =生2 .
17. 已知数列 满足 a=4, a1=3a,-2．
（1） 求 的通项公式；
（2）若 ，记数列 的前 项和为r. ， 求证： ． 【答案】（1） a,=3"+l
（2） 证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据递推公式 ，构造等比数列， 进而求出数列通项公式.
（2） 写出数列 的通项公式 ，根据裂项求和法， 求出数列前 项和， 进而得证. 【小问 1 详解】
因为a=3a,-2 ，所以a-I=3(a,-1) ，
又 -ISS ，所以 ，所以a,-I/ 是以 3 为首项 ，3 为公比的等比数列，所以 ，所以a,=3"+l ；
【小问 2 详解】
第 11页/共 17页
由
所以
,
又 ，所以 ．
18. 如图， 在四棱锥P-ABC D 中， PD l 平面 ABCD ， 底面 ABCD 为菱形， AD=2 ， P8=PC ， E,F 为 AB ， PD 中点．
（1） 求证： 平面 PBC ；
（2）若 DP =入AD （ ）， 且直线CP 与平面EFC 所成角的正弦值为 ， 求: 的值；
（3）在（2） 的条件下 ，若点G 为直线EF 上—点， 求直线BG 与平面EFC 所成角正弦值的最大值． 【答案】（1） 证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1） 由中点还需中点帮.取 PC 中点M.连接FM, BM 很容易得到四边形BEFM 为平行四边形，再用线面平行的定理证明.
（2） 可以D为原点建立空间直角坐标系.求出点C,E,F,P 的坐标.算出平面EFC 的法向量.用向量夹角余弦值来算直线CP 与平面EFC 所成角的正弦值即可.
（3） 设 ， 结合（ 2） 求得 坐标 ，代入线面夹角公式即可求解. 【小问 1 详解】
第 12页/共 17页
取 PC 中点M， 连接FM ,BM .
在APCD 中， 因为M,F 分别为PC, PD 的中点，
所以ur i nc ， ,
在菱形ABCD 中， 因为ABl DC ， ，
所以 ， BE = MF ，
所以四边形BEFM 为平行四边形，因此EF#BM .
又因为EFC 平面PBC ， B.MC 平面PBC所以EF Il 平面PBC .
【小问 2 详解】
因为PD l 平面ABCD ， DC、DEC 平面ABCD所以PD 上DC ， PD上 DE .
因为PB = PC ，所以BD=DC .
在菱形ABCD 中， AB=BD =AD ，因为E为 AB 中点 ，所以 DEl DC .
建立如图空间直角坐标系 D-xyz.
,
在正三角形SADB 中， DE=J F.又 DP =九AD = 2入 ， 所以 ， F(0,0, d) ， E(、月,0,0) ， C(0,2,0) ，所以向量， F=(0,-2,22) .
.
设平面EFC 的法向量为i=(x, y,z) ，则 ， 即取x=l 得 , .
设直线CP 与平面EFC 所成角为 ，
.
可得：，
解得： ， 又 入>l ，所以 .
【小问 3 详解】
设 ， 由（2） 知： ， 匪=(0,-1,0)
所以 ，
设直线BG 与平面EFC 所成角为 ， 平面EFC 的法向量为
则
当m =0 时， 取到最大值 ，此时 .
19. 已知椭圆 的上 、下两个焦点分别为F(0,1), F(0,-I) ， 过点r. 垂直于Y 轴的直线交椭圆C 于 P,Q 两点且 .
（1） 求椭圆 的标准方程；
第 14页/共 17页
（2）若直线Y=K X+4 与椭圆C 交于A,B 两点， 直线AF, BF的斜率分别为 .
①求证： k+为定值；
②求A4BF面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1） 由题知c=l ， ， 进而解方程即可得答案；
（2）①联立方程 ， 由韦达定理可得 ，化简
即可证明；
②由题可得点 到直线 的距离 ,， 弦长,再由面积公式
结合基本不等式即可求解.
【小问 1 详解】
∵ 椭圆 的上 、下两个焦点分别为F(0,1), F(0,-I) ，
: c=l ，∵ 过点 的直线与椭圆C 相交于P,Q 两点， 当 PQ ly 轴时， ，
: ， 即 ，
: ， 即 ，
: ，: ， 即 ，解得a=2 或 （ 舍），
第 15页/共 17页
: ， 即椭圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
如图， 直线Y=X+4 与椭圆C 交于A,B 两点 ，设 ，
联立方程 ，得
则 ，则
弦长
即 ,
所以
,
, 即k >2 或k