2025-2026学年山东省济南市稼轩学校九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份2025-2026学年山东省济南市稼轩学校九年级上学期10月月考数学试卷，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
2．若关于x的一元二次方程无实数根，则m的值可以为（ ）
A． B．0C．1D．2
3．如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ）

A．2B．3C．4D．5
4．一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀；不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（ ）
A．16B．18C．20D．22
5．如图，点是的边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点．若，，则的周长为（ ）
A．21B．34C．48D．60
6．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔，旗杆的顶端M，A共线，同时眼睛C与它们的底端N，B也恰好共线．此时测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，则旗杆AB的高度为（ ）
A．15mB．mC．mD．14m
9．如图，在中，是边的中点．按下列步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点；
②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点；
④作直线，交线段于点．
以下结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C．与的相似比为D．
10．在中，，过点C作交于点D，过点A作交于点E，与交于点F，过点E作分别交、于点G、H，点Q在上，连接交于点P，点P是的中点，连接．下面结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
11．若，则 ．
12．现将背面完全一样，正面分别写有“我”、“爱”、“中”、“国”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“中国”的概率是 ．
13．如图，若是斜边上的高，，，则的面积为 ．
14．如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上），则的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（－2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为 ．
三、解答题
16．解一元二次方程：
(1)
(2)
17．如图，BO 是△ABC 的角平分线，延长 BO 至 D 使得 BC＝CD．
（1）求证：△AOB∽△COD．
（2）若 AB＝2，BC＝4，OA＝1，求 OC 长．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上）
(1)在第三象限中画出，使得以点为位似中心，与位似比为；
(2)在（）条件下，若为内部的任意一点，则变换后点的对应点的坐标为（______，______）；
(3)在第二象限中画，使且面积是的倍．
19．在十四届全国人大三次会议上，国家卫生健康委员会宣布我国将开展“体重管理年”年行动．某校兴趣小组为了解该校学生的健身锻炼情况，通过调查，形成了如下调查报告．
结合调查信息，解答下列问题．
(1)本次调查共抽查了______名学生，扇形统计图中组别所对应圆心角的度数为_________；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)若该校有名学生，请你估计该校学生暑期健身活动总时长不低于小时的人数．
20．如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)填空：______；______；______；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
22．如图，在中，已知，，于D， 点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿向终点C运动，速度为；点F沿向终点A运动速度为，一个点到达终点时另一个点也随之停止． 设它们运动的时间为．
(1)是否存在这样的t值使的面积为18？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(2)t为何值时，和相似？
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)过点A作直线，交x轴正半轴于点C，连接，若，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点D（点D在点B左侧），在x轴上取一点E，连接，，，当时，求此时的面积．
24．如图1，在和中，，，点D是线段上一动点，连接．
(1)填空：①的值为 ；②的度数为 ．
(2)类比探究：如图2，在和中，，，点D是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，在和中，，，点D是线段上一动点，连接，P为中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出点P经过的路径长．
调查目的
．了解本校学生暑期健身活动的总时长；
．给该校学生提出合理的健身活动建议．
调查方式
随机抽样调查
调查对象
部分初中生
调查内容
同学，你暑期健身活动的总时长为（ ）．
小时；小时；小时；
小时；小时及以上（每组含最小值，不含最大值）
请根据实际情况选择最符合的一项，感谢参与！
调查结果
《山东省济南市稼轩学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷》参考答案
1．A
【分析】本题考查三视图中的主视图知识，解题关键是准确理解“主视图是从正面观察物体所得图形”这一概念．根据主视图的定义（从物体正面观察所得到的平面图形），结合“月壤砖”示意图的形状特征，分析各选项是否符合从正面看到的图形．
【详解】解：观察“月壤砖”的示意图，从正面看时，其轮廓呈现为下方是一个长方形，上方中间位置有一个突出的梯形形状．
选项A的图形与从正面观察“月壤砖”得到的形状一致，
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，即，
解得：，
故选C．
4．A
【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率求解即可．
【详解】解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.2附近，故摸到白球的频率会接近0.2，
∵袋中白球的个数为4，
∴估计袋子中共有个球，
则可估计袋子中黑球的个数为个，
故选A．
5．C
【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：C
6．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
又∵，是双曲线上的两点，且，
∴，
又∵，在第四象限，
∴，
∴，，的大小关系为，
故选：．
7．B
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析．根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可．
【详解】解： A、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则，
∴一次函数的图象经过二，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意；
B、反比例函数的图象在二、四象限可知当，则，
∴一次函数的图象经过一，二，三象限，与图象相符，故B符合题意；
C、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则，
∴一次函数的图象经过二，三，四象限，与图象不符，故C不符合题意；
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当，则，
∴一次函数的图象经过一，二，三象限，与图象不符，故D不符合题意；
故选：B．
8．C
【分析】利用相似三角形对应边的比等于对应高的比，过作于,交于，先证四边形是矩形，再明，得出，从而求出．
【详解】解：过作于,交于，
根据题意 ，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
，
又，
∴∠CMN=∠A，∠CNM=∠CBA，
，
，
，
．
故选择C．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，三角形相似判定与性质，掌握相似三角形的应用于测量的方法，矩形的判定与性质，三角形相似判定与性质是解题关键．
9．C
【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由作图过程可得，选项A正确；得到，选项D正确；得到，推出，选项B正确；得到与的相似比为，不能确定，选项C错误．
【详解】解：由作图过程可得，
故选项A正确；
，
故选项D正确；
，
，
故选项B正确；
与的相似比为，
不能确定，
故选项C错误；
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理及三角形的面积等，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键．
结论①：先由，，得，再根据，可对结论①进行判断；结论③：连接，先证为的中位线，进而得为线段的垂直平分线，则.，证和相似得，再根据，可判定和相似，进而得，则为等腰直角三角形，进而可得，据此可证和全等，从而得，如果.则，此时为的垂直平分线，根据已知条件无法判定为的垂直平分线，进而可对结论③进行判断；结论②：由为等腰直角三角形，，得，据此可对结论②进行判断；结论④：过点A作交的延长线于M，先证四边形为矩形，进而得，则和等高，由比得，再根据为的中位线，得，然后根据，得，据此可对结论④进行判断．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，故结论①正确；
连接，如图，
∵，，
∴，
∵点P是的中点，
∴为的中位线，
∴为线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
如果，则，
此时为的垂直平分线，
根据已知条件无法判定为的垂直平分线，故结论③不正确；
∵为等腰直角三角形，，
∴，故结论②正确；
过点A作交的延长线于M，如图，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
和等高，
∴，
∵为的中位线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
∴结论①②④正确，共3个．
故选：B．
11．/0.25
【分析】本题考查了分式的变形与代数式的求值，解决本题的关键是求出a与b的关系．
根据可整理a与b的关系，再代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
可得，
则．
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，再根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】解：分别记“我”、“爱”、“中”、“国”为，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中两张卡片上的文字恰好能组成“中国”的结果有种，
∴抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“中国”的概率是，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，先证明，可得，进而由得到，解得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵是斜边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
整理得，，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明与．
设，根据点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上可得，，再由与相似可得由此可解．
【详解】解：由题意可知，，，，
设，则，
∴，
∵，
在与中，
，
∴，
∴，即，
则有，
整理可得，
解得（舍去），，
∴则的长为．
故答案为： ．
15．
【分析】先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得，求证△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值．
【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，
∵点D（-2，3），AD=5，
∴DH=3，
∴，
∴A（2，0），即AO=2，
∵D（-2，3），A（2，0），
∴AD所在直线方程为：，
∴E（0，1.5），即EO=1.5，
∴，
∴ED=AD- AE=5-=，
∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED，
∴△AOE ∽△CDE，
∴，
∴，
∴在矩形ABCD中，，
∵∠EAO+∠BAF=90°，
又∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠BAF，
又∵∠AOE=∠BFA，
∴△BFA∽△AOE，
∴，
∴代入数值，可得AF=2，BF=，
∴OF=AF+AO=4，
∴B（4，），
∴将B（4，）代入反比例函数，得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE，△AOE∽△BFA，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，包含配方法与因式分解两种解法，熟练掌握一元二次方程的这两种解法是解决本题的关键．
（1）通过配方法，将方程转化为完全平方式即可求解；
（2）根据因式分解，通过移项、提取公因式将方程转化为两个因式乘积为零的情况求解即可．
【详解】（1）解：，
移项可得，，
配方可得，，
整理可得，，
则有，，
解得，；
（2）解：，
移项可得，，
提取公因式可得，，
整理可得，，
则有，，，
解得，．
17．（1）答案见解析；（2）2．
【详解】试题分析：由BD是∠ABC的角平分线得，再由BC=CD得，所以，又，从而∽；
（2）根据∽可求出结果.
试题解析：（1）证明： BO是的角平分线

BC=CD


又
∽
（2） ∽

又 AB=2，BC=4，OA=1，BC=CD
OC=2
18．(1)画图见解析
(2)，
(3)画图见解析
【分析】（）根据位似图形的性质画图即可；
（）根据位似图形的坐标变换规律即可求解；
（）根据相似三角形的性质画图即可；
本题考查了位似作图，位似图形的性质，画相似三角形，掌握位似图形和相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：在（）条件下，若为内部的任意一点，则变换后点的对应点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：如图所示，即为所求．
19．(1)，
(2)补图见解析
(3)名
【分析】（）由组人数除以其百分比可求出总人数，再用乘以组的占比可求出圆心角的度数；
（）分别求出组、组和组的人数即可补充条形统计图；
（）用乘以不低于小时的百分比即可求解；
此题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，能根据统计图得到相关信息是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴本次调查共抽查了名学生，
∴扇形统计图中组别所对应圆心角的度数为，
故答案为：，；
（2）解：组人数为，组人数为，
∴组人数为，
∴条形统计图补充完整如下：
（3）解：（名），
答：估计该校学生暑期健身活动总时长不低于小时的人数为名．
20．河宽是12米．
【详解】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，延长交的反向延长线于点H，由求得，再由求得，便可解决问题，关键是构造和证明三角形相似．
【解答】延长交的反向延长线于点H，
则四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴，
∵米，米，
∴米，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
答：河宽是12米．
21．(1)，，；
(2)的面积为；
(3)不等式的解集为或．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，求函数解析式，求面积，确定不等式的解集，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）设直线与轴交于点，求出点，然后通过即可求解；
（3）由图象即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象过，两点，
∴，，
∴，，
∴，，
∵反比例函数的图象过，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：如图，设直线与轴交于点，
由（1）得，，
∴当时，，
∴，
∴点，
∴，
∴
，
∴的面积为；
（3）解：由图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方，
即不等式的解集为或．
22．(1)或
(2)或2
【分析】（1）由勾股定理求出的长，证明，由相似三角形的性质得出，求出，根据三角形的面积可得出答案；
（2）点在上，点在上时，①当时，，②当时，分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：过点作于，
由题意得，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得或，
或时，的面积为18；
（2）解：如图1中，
点在上，点在上时，
①当时，，
，
，
②当时，即，
，
当点在上，点在上时，不存在和相似，
综上所述，或2时，和相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，由相似三角形的性质得出方程是解题的关键．
23．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）把的坐标代入，求出，得，再将代入，求得反比例函数的解析式，最后联立方程组求解即可；
（2）设直线交x轴于点M，，先求得，再根据面积公式列方程求解即可；
（3）先证明是等腰直角三角形，即得是等腰直角三角形，且，；过点B作y轴的平行线，交x轴于点M，过点D作y轴的垂线交于点N，证明，求出，及，即可求得答案．
【详解】（1）解：把的坐标代入，得，
解得，
，
把的坐标代入，得，
解得，
反比例函数的表达式为；
联立方程组，
解方程组得或，
点B得坐标为；
（2）解：设直线交x轴于点M，
令，则，
解得，
，
设，
则，
，
，
，
解得，
点C的坐标为；
（3）解：，，，
，，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，且，，
如图，过点B作y轴的平行线，交x轴于点M，过点D作y轴的垂线交于点N，
，
，，
，，
，
，
，
，
点D在反比例函数的图象上，
，
，
，
的面积为；
综上所述，的面积为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，求反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
24．(1)①1；②；
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）证，得，，即可得出
②由①得，，则；
（2）先由含角的直角三角形的性质得，则，再证，得 ，同①得，然后证，得，，则；
（3）同②得，得，证出，由题意得点P的运动轨迹为，是的中位线，则，再证，求出，则，即可得出答案．
【详解】（1）①∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
故答案为：1；
②由①得：，，
∴，
故答案为：90°；
（2）解：，，理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同①得：，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：同（2）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
当点D与A重合时，点E与B重合，的中点，记为；
当点D与B重合时，点E是的延长线与的延长线的交点，记为，如图3所示：
则点P的运动轨迹为，是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
即P点经过的路径长为．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
A
C
C
B
C
C
B