（人教A版）必修第一册高一数学上册期末考点提升练习05 一元二次不等式、分式不等式（2份，原卷版+解析版）

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一、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上．
（2） = 1 \* GB3 ①若，解集为．
= 2 \* GB3 ②若，解集为．
= 3 \* GB3 ③若，解集为．
（2） 当时，二次函数图象开口向下．
= 1 \* GB3 ①若，解集为
= 2 \* GB3 ②若，解集为
二、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
三、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【方法技巧与总结】
（1）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
（2）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
（3）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
（4）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【题型归纳目录】
题型一：一元二次不等式的解法
题型二：分式不等式的解法
题型三：绝对值不等式的解法
题型四：高次不等式的解法
题型五：一元二次不等式恒成立问题
【典型例题】
题型一：一元二次不等式的解法
例1．不等式的解集是，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为不等式的解集是，所以方程的两根为，
所以由韦达定理得，，即，
所以，解不等式得解集为故选：C
例2．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．B．不等式的解集为
C．D．不等式的解集为
【答案】B
【解析】因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为．所以选项B正确；设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误．故选：B
例3．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为不等式的解集为，所以即，不等式等价于，解得．故选：A．
例4．已知不等式组的解集是关于的不等式解集的子集，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不等式组解得，所以不等式组的解集是，
关于的不等式解集包含，令，
，解得，故选：．
例5．（多选题）关于x的不等式的解集为，则下列正确的是（ ）
A．
B．关于x的不等式的解集为
C．
D．关于x的不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】A．由已知可得且是方程的两根，A正确，
B．由根与系数的关系可得：，解得，
则不等式可化为：，即，所以，B错误，
C．因为，C正确，
D．不等式可化为：，即，解得或，D正确，
故选：ACD．
例6．（多选题）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．关于的不等式解集为D．关于的不等式解集为
【答案】ABD
【解析】因为不等式的解集为，所以，故，此时，所以A正确， B正确；，解得：或．所以D正确；C错误．故选：ABD
例7．关于的不等式的解集为，则的最小值是_____________．
【答案】4
【解析】关于的不等式可化为
所以不等式的解集为，所以．
所以（当且仅当，即时取“=”）．
故答案为：4．
例8．已知关于x的一元二次不等式的解集为，且，，，，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】由题意，关于x的一元二次不等式的解集为，
可得，且，所以且，所以，
又由不等式的解集为，所以，
令，则，
所以，当且仅当时取等号．
所以的最小值为．
故答案为：．
题型二：分式不等式的解法
例9．不等式的解集是______．
【答案】
【解析】不等式化为以下两个不等式组：或，
解，即，解得，
解，即，解得，
所以原不等式的解集是．
故答案为：
例10．）不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】由可得，即，即
解得
所以不等式的解集是
故答案为：
例11．不等式的解是___________．
【答案】
【解析】由题设，，
∴，可得，
原不等式的解集为．
故答案为：．
例12．已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】恒成立，
不等式等价于的解集是，
当时，不成立，解集是，
当时， ，解得：，
综上：．
故答案为：
例13．不等式的解集是____________．
【答案】
【解析】原不等式等价于，解得：或，
故答案为：．
例14．设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______；
【答案】
【解析】由于关于的不等式的解集是，则为关于的根，且，
，得，不等式即为，即，
解该不等式得
故答案为：
例15．若不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】∵不等式的解集为
∴，是方程的两根，
∴ ，
∴ 可化为
∴
∴不等式的解集为，
故答案为：．
例16．关于x的不等式的解集是，则的值为____．
【答案】3
【解析】由题知，，整理得，所以，且，
因为不等式，且，的解集为，所以，．
故答案为：．
题型三：绝对值不等式的解法
例17．不等式组的解集为______________；
【答案】；
【解析】不等式等价于，解之得：，
不等式等价于，解之得：，
故不等式组的解集为：．
故答案为：．
例18．已知集合，，则＝___．
【答案】
【解析】解不等式即，解得 ，
故，
解，即，解得 ，
故，
则，
故答案为：．
例19．不等式的解集是_________．
【答案】
【解析】当时，不等式转化为，
解得，此时，
当时，不等式转化为，
解得，此时，
当时，不等式转化为，
解得，此时无解，
综上：的解集是．
故答案为：
例20．设集合A＝{x||x﹣a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A是B的真子集，则a的取值范围为___．
【答案】2≤a≤4
【解析】由|x﹣a|＜1，得﹣1＜x﹣a＜1，∴a﹣1＜x＜a+1，
由A是B的真子集，得 ，∴2＜a＜4．
又当a＝2时，A＝{x|1＜x＜3}， a＝4时，A＝{x|3＜x＜5}， 均满足A是B的真子集，
∴2≤a≤4．
故答案为：2≤a≤4
题型四：高次不等式的解法
例21．不等式的解集为___________．
【答案】
【解析】等价于，即，即，又等价于，
利用数轴标根法解得或，
所以原不等式的解集为，
故答案为：
例22．不等式的解集为___________．
【答案】
【解析】由题得且．
由题得，
所以，
零点为．
当时，不等式不成立；
当时，不等式成立；
当时，不等式不成立；
当时，不等式成立；
当时，不等式不成立；
当时，不等式成立．
故不等式的解集为：
故答案为：
例23．不等式的解集为________．
【答案】
【解析】，
根据数轴穿根法可解得或，
，解得或或，
所以，解得．
故答案为：
例24．不等式的解集为______．
【答案】
【解析】不等式化为，，，
解得或．
故答案为：．
例25．不等式的解集为________
【答案】
【解析】如下图所示：
根据图象可知：当或或时，，
所以不等式的解集为：，
故答案为：．
例26．不等式的解集为______．
【答案】
【解析】因为，
所以，
解得或．
所以不等式的解集为：．
故答案为：
例27．不等式的解集为_________．
【答案】．
【解析】等价于
当时，不等式不成立，
当时，不等式等价于，解得或且，
故不等式的解集为．
故答案为：．
例28．不等式的解集是______．
【答案】或
【解析】不等式等价为且，
∴或，
∴不等式的解集是或
故答案为：或
例29．不等式的解集为（ ）
A．[－1，2]B．[－2，1]
C．[－2，1）∪（1，3]D．[－1，1）∪（1，2]
【答案】D
【解析】由可得，，
∴，解得且，故原不等式的解集为．故选：D．
题型五：一元二次不等式恒成立问题
例30．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】正实数x，y满足，可得，
不等式恒成立，即恒成立，
变形可得恒成立，即恒成立，
，，，当且仅当时等号成立，
，即，
解不等式可得，或舍
可得，要使恒成立，只需恒成立，
化简可得，即，解得或，
故实数a的取值范围是故选：B．
例31．在R上定义运算．若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，即，
令，此时只需，又，
所以，即，解得．故选：A．
例32．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】若“，”是真命题，即判别式，解得：，
所以命题“，”是假命题，则实数的取值范围为：．
故选：A．
例33．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵不等式在R上恒成立，∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件，故选：A．
例34．已知关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，不等式为，对恒成立，所以满足条件
当时，不等式为，解集为，不满足题意
当时，对应的二次函数开口向上，的解集一定不是R，不满足题意
当，时，若不等式的解集为R，则，解得：，综上，故选：B
例35．已知，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，恒成立，可得在上恒成立，即即．故选：D．
例36．若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为当，，所以，，即m的取值范围是故选：A
例37．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题知，命题“”为假命题，则为真命题，即恒成立．又，当且仅当，即等号成立，所以．
故选：B
例38．已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，当时，不等式有解，
等价于“，恒成立”为真时对应a取值集合的补集
若，恒成立为真命题，需满足，
且，解得．
因此p命题成立时a的范围时
故选：A．
【过关测试】
一、单选题
1．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意得，所以．所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B
2．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．
故选：C
3．若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】A
【解析】，因为，所以，所以，
当时，，解得，当时，，解得，
故x的最大值为．故选：A
4．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】关于x的不等式的解集为，，，可化为，，关于x的不等式的解集是．故选：D．
5．关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为不等式对恒成立，
所以对恒成立，所以，当时，对恒成立．
当时，由题意，得，即，解得，
综上，的取值范围为．故选：C
6．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】关于x的不等式的解集为
，且和1是方程的两个根，则，，
关于x的不等式，即，
，解得，故不等式的解集为，故选：A
7．关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，不等式为恒成立，；当时，不等式可化为：，
，（当且仅当，即时取等号），；综上所述：实数的取值范围为．
故选：B．
8．已知的解集为，关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因的解集为，则，且，即有，
因此，不等式化为：，即，
于是有：或，解得，解得，
所以所求不等式的解集为：．
故选：A
二、多选题
9．下列结论错误的是（ ）
A．不存在实数a使得关于x的不等式的解集为
B．不等式在R上恒成立的必要条件是且
C．若函数对应的方程没有实根，则不等式的解集为R
D．不等式的解集为
【答案】CD
【解析】对于选项A，当时，的解集不为，而当时，要使不等式的解集为，只需，即，因，故不存在实数a使得关于x的不等式的解集为，因此A正确；
对于选项B，当且时，在R上恒成立，故不等式在R上恒成立的必要条件是且，因此B正确；
对于选项C，因函数对应的方程没有实根，但正负不确定，故或恒成立，因此不等式的解集不一定为R，故C错；
对于选项D，由，得，即，解得，故D错．故选：CD．
10．设：实数满足，则成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】由题设，若成立，，解得，
∴成立的一个必要不充分条件，只需在某个范围内，但不相等即可．
故选：ACD．
11．定义区间的长度为，若满足的构成的区间的长度之和为3，则实数的可能取值是（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】CD
【解析】若， 故区间长度之和为1+1=2，不符合题意；
若 ， 故区间长度之和为1+，不符合题意；
若， 故区间长度之和为，符合题意；
若 故区间长度为3，符合题意．
故选：CD．
12．下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】因为关于的不等式对恒成立，
当时，原不等式即为恒成立；
当时，不等式对恒成立，
可得，即，解得：．
当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，
综上：的取值范围为：．
所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有
或．
故选：BC．
三、填空题
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则不等式（ax+b）（cx-b）