吉林省四平市双辽市兴隆中学2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 正负数可以表示一组具有相反意义的量，如果将小明在图书馆借书10本记作，那么还书5本可以记作（ ）
2. 如图所示几何体的左视图为（ ）
3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
4. 在《九章算术》中有这样一个问题“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”题目大意：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱：每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为人，则根据题意，可以得到的方程为（ ）
5. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E．若D为的中点，，则的面积为（ ）
6. 如图，是的直径，，则（ ）
二、填空题
7. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________．
8. 计算：______．
9. 物理课中同学们观察了小孔成像现象．如图，电子蜡烛的火焰高度为、倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为______．
10. 某圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为__________m．
11. 如图，一张扇形纸片，，，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为_______（结果保留）．
三、解答题
12. 先化简，再求值：，其中．
13. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．
14. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F．求证：四边形是平行四边形．
15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，点M在格点上，画出点M关于直线的对称点N；
(2)在图②中，点E、F在格点上，在线段上确定一点O，连结、，使；
(3)在图③中，点P在上且不是格点，在线段上确定一点O，使．
16. 王师傅准备年前换车，看中了价格相同的两款国产车．一款燃油车油箱容积：40升，油价：7元/升；另一款新能源车电池电量：60千瓦时，电价：元/千瓦时．若满油状态下的燃油车的续航里程和满电状态下新能源车的续航里程相等，并且燃油车的每千米行驶费用比新能源车每千米行驶费用多元．请你帮王师傅计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少？
17. 小明在纸上画了某个反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺按如图的位置放置，点A，B在反比例函数图象上，点O，A，B，C都在矩形的边上．已知点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式：
(2)求点B的坐标．
18. 图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到）
(1)求“大碗”的口径的长；
(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，）
19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：
抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中________，_________，________；
(2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？
20. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示．
(1)的值为________；
(2)当时，求与之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
21. 在中，，，．
(1)问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
22. 为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为________；
②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值．
吉林省四平市双辽市兴隆中学2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
整体难度：适中
考试范围：数与式、图形的变化、方程与不等式、图形的性质、函数、统计与概率
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．40
B．36
C．24
D．20
A．
B．
C．
D．
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
b
96
B
88
87
c
①
②
③
④
⑤
⑥
x
0
2
3
4
5
6
y
0
1
2.25
4
6.25
9
题型
数量
单选题
6
填空题
5
解答题
11
难度
题数
容易
4
较易
6
适中
11
较难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
相反意义的量；正负数的实际应用
2
0.94
判断简单组合体的三视图
3
0.85
根据一元二次方程根的情况求参数
4
0.85
古代问题(一元一次方程的应用)
5
0.65
用勾股定理解三角形；与三角形中位线有关的求解问题；线段垂直平分线的性质；作已知线段的垂直平分线
6
0.94
圆周角定理
二、填空题
7
0.85
二次根式有意义的条件
8
0.94
零指数幂；负整数指数幂；求一个数的算术平方根
9
0.65
相似三角形实际应用
10
0.65
喷水问题(实际问题与二次函数)
11
0.65
求其他不规则图形的面积
三、解答题
12
0.85
计算单项式乘多项式及求值；运用完全平方公式进行运算；实数的混合运算
13
0.65
列表法或树状图法求概率
14
0.85
利用平行四边形性质和判定证明；角平分线的有关计算；根据等角对等边证明边相等
15
0.65
全等三角形综合问题；根据正方形的性质证明
16
0.85
分式方程的经济问题
17
0.65
反比例函数与几何综合；相似三角形的判定与性质综合；求反比例函数解析式；解分式方程（化为一元二次）
18
0.65
其他问题（解直角三角形的应用）
19
0.65
由样本所占百分比估计总体的数量；运用中位数做决策；求中位数；求众数
20
0.65
求一次函数解析式；行程问题(一次函数的实际应用)；从函数的图象获取信息
21
0.65
相似三角形的判定与性质综合；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形；根据旋转的性质求解
22
0.4
其他问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移
序号
知识点
对应题号
1
数与式
1,7,8,12
2
图形的变化
2,9,17,18,21
3
方程与不等式
3,4,16,17
4
图形的性质
5,6,11,14,15,21
5
函数
10,17,20,22
6
统计与概率
13,19