【人教】九上数学：第一次月考B卷（考试版+解析）

这是一份【人教】九上数学：第一次月考B卷（考试版+解析），共24页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章、第三章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方后可得（ ）
A．（x+5）2＝16B．（x+5）2＝1
C．（x+10）2＝91D．（x+10）2＝109
2．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1可知（ ）
A．图象开口向下B．图象向左平移1个单位得到y＝2（x﹣2）2+1
C．图象的对称轴为直线x＝﹣3D．当x＜3时，y随x的增大而增大
3．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠3
4．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000B．200+200×2x＝1000
C．200（1+x）+200（1+x）2＝1000D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
5．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
6．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则x1x2的值为（ ）
A．6B．﹣6C．﹣3D．3
7．奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传染性强，有一人感染了此病毒，未被有效隔离，经过两轮传染，共有121名感染者，在每轮传染中，设平均一个人传染了x人，则可列方程为（ ）
A．1+x＝121B．（1+x）2＝121C．1+x2＝121D．1+x+x2＝121
8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
9．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
10．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则线段AC的长度为（ ）
A．5B．6C．D．
11．如图，点F为正方形ABCD对角线AC的中点，将以点F为直角顶点的直角△FEG绕点F旋转（△FEG的边EG始终在正方形ABCD外），若正方形ABCD边长为3，则在旋转过程中△FEG与正方形ABCD重叠部分的面积为（ ）
A．9B．3C．4.5D．2.25
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为 ．
14．已知P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，则m+n＝ ．
15．如图，在宽为4、长为6的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15，设铺设的石子路的宽为x，依题意可列方程 ．
16．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6，则CD的长为 m．
17．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在AD边上，AE＝4，点P为矩形内一点且∠APE＝90°，点M为BC边上一点，连接PA，DM，则PM+DM的最小值为 ．
18．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4a＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4．
其中正确的结论有 .（填正确的序号）
三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）2x2+3x＝1．
20．（6分）关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．
21．（8分）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
22．（8分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的9×11网格中，点A（﹣1，1）、B（3，1）、C（3，4）均在格点上．
（1）边AC的长等于 ．
（2）请用无刻度的直尺，在所给的网格中画出一个格点P，连接PA，使∠PAC＝45°；
（3）沿过点C直线l，把△ABC翻折，得到△A'B'C，使点B的对应点B'恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出翻折后的图形△A'B'C，并直接写出直线l的解析式．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
24．（10分）某超市销售一种国产品牌台灯，平均每天可售出100盏，每盏台灯的利润为12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据调查，每盏台灯每降价1元，平均每天会多售出20盏．
（1）若要实现每天销售获利1400元，同时又让消费者得到实惠，则每盏台灯降价多少元？
（2）每盏台灯降价多少元时，商场获利润最大？最大利润是多少元？
25．（10分）问题背景 如图1，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，求证：AE＝BD．
尝试应用 如图2，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E是AC边上一点，点F是BE上一点，若∠CFE＝45°，EF＝4，△ABE面积为30，求BF的长．
拓展创新 M是等腰Rt△ABC外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC，若∠AMC＝75°，AM＝2，CM＝，直接写出MB的长．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．
（1）A点的坐标是 ；B点坐标是 ；
（2）直线BC的解析式是： ；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；
（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．
2023-2024学年九年级数学上学期第一次月考
B卷·重难点过关测试
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章、第三章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方后可得（ ）
A．（x+5）2＝16B．（x+5）2＝1
C．（x+10）2＝91D．（x+10）2＝109
【答案】A
【解答】解：方程x2+10x+9＝0，
整理得：x2+10x＝﹣9，
配方得：x2+10x+25＝16，即（x+5）2＝16，
故选：A．
2．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1可知（ ）
A．图象开口向下
B．图象向左平移1个单位得到y＝2（x﹣2）2+1
C．图象的对称轴为直线x＝﹣3
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【答案】B
【解答】解：∵y＝2（x﹣3）2+1中的a＝2＞0，且顶点坐标是（3，1），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，当x＜3时，y随x的增大而减小，
∴选项A、C、D不符合题意；
∵二次函数y＝2（x﹣3）2+1图象向左平移1个单位得到y＝2（x﹣﹣3+1）2+1，即y＝2（x﹣2）2+1．
∴选项B符合题意．
故选：B．
3．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠3
【答案】B
【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，
k≤4；
②当k﹣3＝0时，y＝2x+1，与x轴有交点．
故选：B．
4．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200（1+x）+200（1+x）2＝1000
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
【答案】D
【解答】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，
即200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000．
故选：D．
5．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝2（x+1）2+c的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c上的三个点，
∴点A关于对称轴x＝﹣1的对称点是（0，y1），
∴y3＞y2＞y1，
故选：C．
6．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则x1x2的值为（ ）
A．6B．﹣6C．﹣3D．3
【答案】D
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，
∴x1x2＝3，
故选：D．
7．奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传染性强，有一人感染了此病毒，未被有效隔离，经过两轮传染，共有121名感染者，在每轮传染中，设平均一个人传染了x人，则可列方程为（ ）
A．1+x＝121B．（1+x）2＝121C．1+x2＝121D．1+x+x2＝121
【答案】B
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则1+x+x（x+1）＝121，
整理得：（1+x）2＝121．
故选：B．
8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
【答案】C
【解答】解：把A代入得：
＝﹣×9+k，
∴k＝，
∴y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0得﹣（x﹣3）2+＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，
∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，
故选：C．
9．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
【答案】C
【解答】解：∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2020+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．
故选：C．
10．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则线段AC的长度为（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】D
【解答】解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，
∴△EBD≌△ABC，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝60°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠EAD＝90°，
∵AE＝AB＝5，AD＝4，
∴DE＝＝＝，
∴AC＝DE＝，
故选：D．
11．如图，点F为正方形ABCD对角线AC的中点，将以点F为直角顶点的直角△FEG绕点F旋转（△FEG的边EG始终在正方形ABCD外），若正方形ABCD边长为3，则在旋转过程中△FEG与正方形ABCD重叠部分的面积为（ ）
A．9B．3C．4.5D．2.25
【答案】D
【解答】解：如图，连接FD，
∵点F是AC的中点，四边形ABCD是正方形，
∴∠DFC＝90°，DF＝FC，∠FDN＝∠FCM＝45°，
∴∠DFN+∠NFC＝90°，
∵EF⊥EG，
∴∠MFC+∠NFC＝90°，
∴∠DFN＝∠CFM，
∴△MFC≌△NFD（ASA），
∴S△MFC＝S△NFD，
∴S四边形FMCN＝S△MFC+S△NFC＝S△NFD+S△NFC＝S△DFC，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴AC＝3，
∴FD＝FC＝，
∴S△DFC＝×FD×FC＝××＝，
∴重叠部分四边形EMCN的面积为．
故选：D．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，
对称轴为x＝＜1，
∵a＜0，
∴2a+b＜0，
而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
当x＝1时，a+b+c＝2．
∵＞2，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，
∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，
②4a+2b+c＜0，
③a﹣b+c＜0．
由①，③得到2a+2c＜2，
由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，
上面两个相加得到6a＜﹣6，
∴a＜﹣1．
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0，
解得k＝2．
故答案为：2．
14．已知P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，则m+n＝ ﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，
∴m+2＝﹣2，n﹣4＝﹣3；
解得m＝﹣4 n＝1；
∴m+n＝﹣3．
15．如图，在宽为4、长为6的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15，设铺设的石子路的宽为x，依题意可列方程 （4﹣x）（6﹣x）＝15 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设铺设的石子路的宽应为x米，由题意得：
（4﹣x）（6﹣x）＝15，
故答案为：（4﹣x）（6﹣x）＝15．
16．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6，则CD的长为 22 m．
【答案】22．
【解答】解：当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故答案为：22．
17．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在AD边上，AE＝4，点P为矩形内一点且∠APE＝90°，点M为BC边上一点，连接PA，DM，则PM+DM的最小值为 3﹣2 ．
【答案】3﹣2．
【解答】解：如图2，
∵∠APE＝90°，
∴点P在以AE为直径的⊙O上运动，
作点D关于BC的对称点G，连接OG，交BC于M，交⊙O于P，
则PM+DM最小，最小值为PG的长，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CG＝CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，
在Rt△ODG中，DG＝CD+CG＝6，OD＝AD﹣OA＝5﹣2＝3，
∴OG＝＝＝3，
∴PG＝OG﹣OP＝3﹣2，
∴PM+DM的最小值为：3﹣2．
故答案为：3﹣2．
18．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4a＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4．
其中正确的结论有 ①②③④ .（填正确的序号）
【答案】①②③④．
【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，
∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故答案为：①②③④．
三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0；
（2）2x2+3x＝1．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣3；（2）．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣15＝0，
∴（x+3）（x﹣5）＝0，
则x+2＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣3；
（2）2x2+3x＝1
移项得2x2+3x﹣1＝0，
a＝2，b＝3，c＝﹣1，
Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，，
．
20．（6分）关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4﹣8m＞0，
解得：m＜．
故m的取值范围为m＜．
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣4m＝8，
所以m＝﹣1
验证当m＝﹣1时Δ＞0．
故m的值为m＝﹣1．
21．（8分）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设路宽应为x米
根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，
解得：x＝4或40，
40不合题意，舍去，
所以x＝4，
答：道路的宽应为4米．
22．（8分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的9×11网格中，点A（﹣1，1）、B（3，1）、C（3，4）均在格点上．
（1）边AC的长等于 5 ．
（2）请用无刻度的直尺，在所给的网格中画出一个格点P，连接PA，使∠PAC＝45°；
（3）沿过点C直线l，把△ABC翻折，得到△A'B'C，使点B的对应点B'恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出翻折后的图形△A'B'C，并直接写出直线l的解析式．
【答案】（1）5；
（2）作图见解析部分；
（3）作图见解析部分，y＝2x﹣2．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，1）、B（3，1）、C（3，4），
∴AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
故答案为：5；
（2）如图，点P即为所求；
（3）如图，△A'B'C即为所求；
直线l的解析式为：y＝2x﹣2．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）设x秒后，PQ＝2
BP＝5﹣x BQ＝2x
∵BP2+BQ2＝PQ2
∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2）2
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）
∴3秒后，PQ的长度等于2；
（2）△PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：
设t秒后，PB＝5﹣t QB＝2t
又∵S△PQB＝×BP×QB＝7
×（5﹣t）×2t＝7
∴t2﹣5t+7＝0
Δ＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0
∴方程没有实数根
∴△PQB的面积不能等于7cm2．
24．（10分）某超市销售一种国产品牌台灯，平均每天可售出100盏，每盏台灯的利润为12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据调查，每盏台灯每降价1元，平均每天会多售出20盏．
（1）若要实现每天销售获利1400元，同时又让消费者得到实惠，则每盏台灯降价多少元？
（2）每盏台灯降价多少元时，商场获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）要实现每天销售获利1400元，则每盏台灯应降价5元；
（2）每盏台灯降价3.5元时商场获利润最大，最大利润是1445元．
【解答】解：（1）设每盏台灯应降价x元，依据题意列方程得：
（12﹣x）（100+20x）＝1400
整理得x2﹣7x+10＝0，
解得：x1＝2，x2＝5．
∵让消费者得到实惠，
∴x＝5，
答：要实现每天销售获利1400元，则每盏台灯应降价5元．
（2）设商场获利润为W元，则
W＝（12﹣x）（100+20x）
＝﹣20x2+140x+1200
＝﹣20（x﹣35）2+1445，
∵﹣20＜0，
∴当x＝3.5时，W取得最大值1445元，
答：每盏台灯降价3.5元时商场获利润最大，最大利润是1445元．
25．（10分）问题背景 如图1，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，求证：AE＝BD．
尝试应用 如图2，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E是AC边上一点，点F是BE上一点，若∠CFE＝45°，EF＝4，△ABE面积为30，求BF的长．
拓展创新 M是等腰Rt△ABC外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC，若∠AMC＝75°，AM＝2，CM＝，直接写出MB的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】问题背景
证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
尝试应用
解：过点C作DC⊥CF交BE延长线于点D，连接AD，
由问题背景可知：△BFC≌△ADC，
∴BF＝AD，∠CBF＝∠CAD，
∵∠BEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴AD⊥BE于点D，
∵△ABE的面积为30，
∴，
∴（BF+4）×BF＝60，
解得：BF＝6，BF＝﹣10（舍去）．
∴BF＝6．
拓展创新
解：如图3，作CH⊥CM，且CH＝CM，连接MH，AH，
∴△CMH为等腰直角三角形，
∴∠CMH＝45°，
∴△CBM≌△CAH（SAS），
∴BM＝AH，
∵∠AMC＝75°，
∴∠AMH＝∠AMC+∠CMH＝75°+45°＝120°，
∵CM＝，
∴MH＝CM＝2，
∵AM＝2，
∴AM＝MH，
过点M作MG⊥AH于点G，
∴∠MAG＝30°，AG＝GH，
∴MG＝1，
∴AG＝GH＝，
∴AH＝2，
∴BM＝2．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．
（1）A点的坐标是 （﹣2，0） ；B点坐标是 （8，0） ；
（2）直线BC的解析式是： y＝﹣x+4 ；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；
（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，
∴﹣＝3，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
故答案为（﹣2，0），（8，0）．
（2）当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
故答案为y＝﹣x+4．
（3）假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．
∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S△PBC＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．
∵﹣1＜0，
∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．
∵0＜x＜8，
∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．
（4）如图，
当AC为平行四边形的边时，点N的纵坐标的绝对值为4，
可得N1（N2）（6，4），M2（4，0），
N3（3﹣，﹣4），N4（3+，﹣4），可得M3（5﹣，0），M4（5+，0），
当AC为对角线时，可得M1（﹣8，0），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（﹣8，0），（4，0），（5+，0），（5﹣，0）．