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    2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高三(上)开学数学试卷(含答案)

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    2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高三(上)开学数学试卷(含答案)

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    这是一份2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高三(上)开学数学试卷(含答案),共9页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.设a、b为向量,则“a⋅b>0”是“a、b的夹角是锐角”的( )条件
    A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
    2.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,给出以下事件:
    ①两球都不是白球;
    ②两球中恰有一白球;
    ③两球中至少有一个白球.
    其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )
    A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
    3.如图,正方体ABCD−A1B1C1D1中,M是A1D的中点,则( )
    A. 直线MB与直线B1D1相交,直线MB⊂平面ABC1
    B. .直线MB与直线D1C平行,直线MB⊥平面A1C1D
    C. 直线MB与直线AC异面,直线MB⊥平面ADC1B1
    D. 直线MB与直线A1D垂直,直线MB//平面B1D1C
    4.已知f(x)是定义在R上的函数,其图像是一条连续不断的曲线,设函数ga(x)=f(x)−f(a)x−a(a∈R),下列说法正确的是( )
    A. 若f(x)在R上单调递增,则存在实数a,使得ga(x)在(a,+∞)上单调递增
    B. 对于任意实数a,若ga(x)在(a,+∞)上单调递增,则f(x)在R上单调递增
    C. 对于任意实数a,若存在实数M1>0,使得|f(x)|0,使得|ga(x)|0.若f(0)是函数y=f(x)的最小值,则实数a的取值范围为______.
    12.设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(1)=0.若y=f(x)+a⋅2x是奇函数,y=f(x)+3x是偶函数,则a的值为______.
    13.已知关于x的不等式|x−a|0,b>0)上存在点P满足|PA|−|PB|=2,则ba的取值范围是______.
    15.已知全集U={(x,y)|x,y∈R},若集合A⊆U,且对任意(x1,y1)∈A,均存在(x2,y2)∈A,使得:x1y2+x2y1=0,则称集合A为“对称对点集”.给出如下集合:
    (1)A={(x,y)|x,y∈Z};
    (2)A={(x,y)|y=1x,x∈R,x≠0};
    (3)A={(x,y)|y=2x+1,x∈R};
    (4)A={(x,y)|y=x2,x∈R,x≠0}.
    其中是“对称对点集”的序号为______.(写出所有正确的序号)
    16.关于x的方程2ln(ax+b2)= 4x2+1有实根,则a2+b2的最小值为______.
    三、解答题:本题共5小题,共78分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题14分)
    某公司今年初用25万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为21万元.同时,公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用,第一年各种费用2万元,第二年各种费用4万元,以后每年各种费用都增加2万元.
    (1)引进这种设备后,求该公司使用这种设备后第n(n≤18)年后所获利润f(n);
    (2)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?
    18.(本小题14分)
    已知圆锥母线长为6,底面圆半径长为4,点M是母线PA的中点,AB是底面圆的直径,底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ.
    (1)当θ=60°时,求异面直线MC与PO所成的角;
    (2)当三棱锥M−ACO的体积最大时,求θ的值.
    19.(本小题14分)
    为了缓解高三学生学业压力,学校开展健美操活动,高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操,得到如下的2×2列联表.
    (1)根据该2×2列联表,并依据显著水平α=0.05的独立性检验,判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”;
    (2)在愿意参加的所有学生中,根据性别,分层抽样选取8位学生组织班级健美操队,并从中随机选取2人作为领队,记这2人中女生人数为随机变量X,求X的分布及期望E[X].
    附:P(χ2≥3.841)≈0.05.
    20.(本小题18分)
    已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率e= 22,点P,Q分别是椭圆的右顶点和上顶点,△POQ的边PQ上的中线长为 32.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)过点H(−2,0)的直线交椭圆C于A,B两点,若AF1⊥BF1,求直线AB的方程;
    (3)直线l1,l2过右焦点F2,且它们的斜率乘积为−12,设l1,l2分别与椭圆交于点C,D和E,F.若M,N分别是线段CD和EF的中点,求△OMN面积的最大值.
    21.(本小题18分)
    若函数f(x)满足:对任意正数s,t,都有f(s)+f(t)0,f(t)>0,证明:对任意x∈(2k,2k+1)(k∈N),都有f(x)−f(1x)>x2−2x.
    参考答案
    1.B
    2.A
    3.D
    4.D
    5.150°
    6.5
    7.9
    8.− 53
    9.2 3
    10.56π
    11.{a|a≤2}
    12.−1615
    13.{a|−11−3a恒成立,
    又s,t∈(0,+∞),故3s,3t∈(1,+∞),则(3s−1)(3t−1)∈(0,+∞),
    则1−3a≤0,即a≥13,即实数a的取值范围为[13,+∞);
    (3)证明:由函数f(x)为“H函数”,可知对于任意正数s,t,
    都有f(s)>0,f(t)>0,且f(s)+f(t)2f(s),即f(2s)f(s)>2,
    故对于自然数k与正数s,
    都有f(2k+1s)f(s)=f(2k+1s)f(2ks)⋅f(2ks)f(2k−1s)⋯⋯f(2s)f(s)>2k+1,
    对任意x∈(2k,2k+1)(k∈N),可得1x∈(12k+1,12k),又f(1)=1,
    所以f(x)>f(x−2k)+f(2k)>f(2k)≥2kf(1)=2k+12>x2,
    同理f(1x)

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