2025~2026学年度四川省隆昌市知行中学上学期九年级第一次月考数学试题【附答案】

这是一份2025~2026学年度四川省隆昌市知行中学上学期九年级第一次月考数学试题【附答案】，共32页。试卷主要包含了答题前，请考生务必将自己姓名等内容，欢迎下载使用。
隆昌市知行中学 2025—2026 学年度第一学期初中九年级第
一次月考数学试题
本试卷三个大题共 22 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上；
2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相 应号上．
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分．以下每小题都给出 了 A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．）
1 ．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A ．x + 2 = 0 B ．x2 + 2 = 0 C ．x2 + 2y = 2 D ．x + = 2
2 ．下列计算正确的是( )
A ． B ． = 4 C ． D ．
3 ．下列二次根式中，可以与 合并的是( )
A ． B ． C ． D ．
4 ．实数 a 、b 在数轴上对应点的位置如图，则 的结果是 ( )
A ．2b - a B ．b - 2a C ．a D ．-a
5 ．如图，在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm2 和12cm2 的两张正方形纸片，则图 中空白部分的面积为（ ）cm2 ．
A ． B ． C ． D ．
6 ．用配方法解一元二次方程x2 - 4x - 6 = 0，配方后得到的方程是( )
A ．(x + 2)2 = 2 B ．(x - 2)2 = 2 C ．(x + 2)2 = 10 D ．(x - 2)2 = 10
7 ．当x = 1+ 时，代数式x2 - 2x + 2019 = ( )
A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2023
8 ．如果关于 x 的一元二次方程kx2 - 4x +1 = 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 ( )
A ．k < 4 且k ≠ 0 B ．k ≤ 4 且k ≠ 0 C ．k > 4 D ．k ≥ 4
9．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 49 人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传 染了x 个人，则可列方程为( )
A ．1 + x + x2 = 49 B ．x + x2 = 49
C ．1+ x + x (1+ x ) = 49 D ．x + x (1+ x) = 49
10 ．设 a ，b 是方程 x2 + x - 2025 = 0的两个不相等的实数根，则 a2 + 2a + b 的值为( )
A ．0 B ．2025 C ．2024 D ．2023
11 ．已知a + b = -5 ，ab = 1 ，则 的值为 ( ).
A ．23 B ．5 C ．-23 D ．-5
12 ．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x (x + 6) = 16 的方程的正数解，方法为： 如图，将四个长为x + 6，宽为 x 的长方形纸片（面积为 16）拼成一个大正方形，于是大正 方形的面积为16× 4 + 36 = 100 ，边长为 10，故得x (x + 6) = 16 的正数解为x = = 2 ．小 明用此方法解关于 x 的方程x2 + mx - n = 0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为
14，小正方形的面积为 4，则( )
C ． D ．
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）
13 ．在函数y = 中，自变量 x 的取值范围是 ．
14 ．已知y = + + 2 ，则 xy = ．
15 ．已知关于x 的一元二次方程m(x - h)2 - k = 0 （ m, h, k 均为常数，且m ≠ 0 ）的解是
x1 = 2 ，x2 = 5 ，则关于x 的一元二次方程m(x - h +3)2 = k 的解是 ．
16 ．对于有理数a ，b ，定义min{a, b}：当 a ≥ b 时，min {a, b} = b ；当 a ≤ b 时， min {a, b} = a ．若min{40, -12m + 4n - m2 - n2 } = 40 ，则 mn 的值为 ．
三、解答题（本大题 6 个小题，共 56 分）
17 ．计算：
(2) ( + 2)( - 2)+ × - ÷ .
18 ．用适当的方法解下列方程：
(1) x2 - 6x + 3 = 0 ；
(2) x2 - 3x = 2x - 6 ．
19 ．已知 求下列代数式的值：
(1) x2 + 3xy + y2 ；
(2) x2 - y2 ；
(3) x2y + xy2 ．
20 ．综合与实践
随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．太原某小型夜市为改善环境，融入地方 特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形ABCD 中， AD = 60m ，AB = 30m ，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面 积为1000 m2 ．
(1)人行过道的宽是多少米？
(2)该夜市有60 个摊位对外出租，每个摊位的月租金为3000 元时，摊位刚好全部租完．夜市 升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨100 元，就会少租 出1个摊位．
①设每个摊位的月租金上涨100a 元，则该夜市可以租出多少个摊位？( 用含a 的代数式表示 )
②在尽可能让利于摊主的条件下，当每个摊位的月租金为多少元时，该夜市的月租金总收 入为192500 元？
21 ．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知 ，求 2a2 - 8a +1的值．他们是这样解答的：
: (a - 2)2 = 3 即a2 - 4a + 4 = 3
: a2 - 4a = -1
: 2a2 - 8a +1 = 2 (a2 - 4a )+1 = 2 × (-1) +1 = -1
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
化简
若 ， ①求a2 - 4a 的值；
②求2a4 - 8a3 - 8a + 4的值．
22 ．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒 等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中， 还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例：求代数式y2 + 4y + 8 的最小值．
解：y2 + 4y + 8 = y2 + 4y + 4 + 4 = (y + 2)2 + 4 ，
∵ (y + 2)2 ≥ 0 ，: (y + 2)2 + 4 ≥ 4
:当y = -2 时，y2 + 4y + 8 的最小值是 4．
(1)【类比探究】求代数式 x2 - 6x +12 的最小值；
(2)【举一反三】若代数式y = -x2 - 2x ；当x = ________时，y 有最________值（填“大”或
“小”），这个值是________；
(3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方 形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个 长方形，且长方形ABEF 与长方形EFCD 面积比为1: 2 ，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少 时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
1 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且 整理后未知数的最高次数是 2，像这样的方程叫做一元二次方程．
根据一元二次方程的定义逐一判断即可．
【详解】解：A ．x + 2 = 0 ，不是一元二次方程；
B ．x2 + 2 = 0 ，是一元二次方程；
C ．x2 + 2y = 2 ，不是一元二次方程；
D ． 不是一元二次方程； 故选：B．
2 ．D
【分析】由二次根式的性质、二次根式的乘除法运算，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】A. 、与 ·、 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的乘除法运算， 以及合并同类二次根式，解 题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
3 ．C
【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，先对各选项的二次根式化简， 再根据同类二次根式的定义逐项判断即可求解．
解 与 3 不能合并，不符合题意；
B 、 与 3 不能合并，不符合题意；
C 、 与 3 能合并，符合题意；
D 、 与 3 不能合并，不符合题意， 故选：C．
4 ．A
【分析】本题考查实数与数轴， 二次根式的性质，化简绝对值．由数轴可知，a < b < 0 ，进 而可得b - a > 0 ，根据绝对值性质和二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可知，a < b < 0 ， ,
故选 A．
5 ．B
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出 CD 、BC 的长度，从而 求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出CD 、BC ，再根 据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：Q在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm2 和12cm2 的两张正方形纸片， : 小正方形边长为 大正方形边长
: 图中空白部分的面积为：S长方形 -12 -16 = CD . BC - 28 = 4 × (2 + 4)- 28 = (8 -12)cm2 ， 故选：B．
6 ．D
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上 一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 即可完成配方，即可 求解．
【详解】解：x2 - 4x - 6 = 0 ，
: x2 - 4x = 6 ，
: x2 - 4x + 4 = 6 + 4 ， 即(x - 2)2 = 10 ，
故选：D．
7 ．B
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值， 直接利用完全平方公式将原式变形，进而代 入已知数据求出答案．
【详解】解：当 x = 1+ 时，x2 - 2x + 2019
= (x -1)2 + 2018
= (1+ -1)2 + 2018
= 3 + 2018
= 2021．
故选：B．
8 ．A
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式 Δ 的关系： Δ > 0 方程有两个不相等的实 数根；Δ = 0 方程有两个相等的实数根；Δ < 0 方程没有实数根．注意到二次项系数不等于 0 这一条件是解题的关键．
方程有两个不相等的实数根，则 Δ > 0 ，由此建立关于 k 的不等式，然后就可以求出 k 的取 值范围．
【详解】解：方程有两个不相等的实数根，则 Δ > 0 ，16 - 4k > 0 ， 解得：k < 4 且k ≠ 0．
故选：A．
9 ．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，第一轮传染后患流感的人数是：1+ x ，第 二轮传染后患流感的人数是：1+ x + x（1+ x），列出方程即可求解．
【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则可得：
1+ x + x (1+ x ) = 49 ． 故选：C．
10 ．C
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，由条件可 得a2 + a = 2025 ，a + b = -1，再进一步求解即可.
【详解】解：设 a ，b 是方程 x2 + x - 2025 = 0 的两个不相等的实数根， : a2 + a - 2025 = 0 ，a + b = -1，
: a2 + a = 2025 ，
: a2 + 2a + b = a2 + a + a + b = 2025 + (-1) = 2024 .
故选：C
11 ．C
【分析】本题考查了二次根式的化简求值， 分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运 算法则是解题的关键．
由a + b = -5 ，ab = 1 ，判断 a < 0 ，b < 0 ，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解：Q a + b = -5 ，ab = 1 ，
: a < 0 ，b < 0 ，


= -23 ．
故选：C．
12 ．D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程的几何解法，根据题目给出的条件、找出合适的等 量关系、列出方程是解答本题的关键．根据题意将 x 的方程x2 + mx - n = 0 化为
x (x + m) = n ，即长方形的长为x + m，宽为 x ，再依据大正方形的面积为 14，小正方形的 面积为 4，用代数式表示出边长即可．
【详解】解：∵ 大正方形的面积为 14，小正方形的面积为 4，
:关于 x 的方程x2 + mx - n = 0 化为x (x + m) = n ， :图中长方形的长为x + m，宽为 x ，
:图中小正方形的边长是x + m - x = m = = 2 ， 大正方形的边长是x + x + m = 2x + m = ，
故m = 2 ， ， 故选：D．
13 ．x ≤ 5 且x ≠ 4
【分析】本题考查求自变量的取值范围， 根据二次根式中被开方数大于等于 0，分式的分母 不能为 0，即可求解．
【详解】解：由题意知，5 - x ≥ 0 ，x - 4 ≠ 0 ， 解得x ≤ 5 且x ≠ 4 ，
故答案为：x ≤ 5 且x ≠ 4 ．
14 ．25
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 有理数的乘方，解题的关键是根据利用二次根 式有意义的条件求出x =5 ，进一步求出y 即可求解．
解
:í ,
ìx - 5 ≥ 0
l5 - x ≥ 0
解得：x = 5 ，
:xy = 52 = 25 ， 故答案为：25 ．
15 ．x1 = -1, x2 = 2
【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令x + 3 = y ，由题意得到 的解为 y1 = 2, y2 = 5 ，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程m(x - h)2 - k = 0 （ m, h, k 均为常数，且m ≠ 0 ）的解
是x1 = 2, x2 = 5 ，即 的解为x1 = 2, x2 = 5 ；
令x + 3 = y ，
: 关于x 的一元二次方程m(x - h +3)2 = k 化为m(y- h)2 = k ， 的解为x1 = 2, x2 = 5 ，
的解为y1 = 2, y2 = 5 ，即 x + 3 = 2 或x + 3 = 5 ， :x1 = -1, x2 = 2 ，
: 关于x 的一元二次方程m (x - h + 3)2 = k 的解是x1 = -1, x2 = 2 ，
故答案为：x1 = -1, x2 = 2 ．
16 ．36
【分析】根据 -12m + 4n - m2 - n2 与 40 的大小，再根据min{40, -12m + 4n - m2 - n2 } = 40 ， 从而确定 m ，n 的值即可得出mn 的值．
【详解】解：∵ min {40, -12m + 4n - m2 - n2 } = 40 ， :40≤ -12m + 4n - m2 - n2 ；
: m2 + n2 - 4n + 12m + 40 ≤ 0
:（m+6）2+（n-2）2≤0 ， ∵（m+6）2+（n-2）2 ≥ 0，
:m+6=0 ，n-2=0， :m=-6 ，n=2，
: mn = (-6)2 = 36 故答案为：36．
【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题 的关键．
17 ．(1) -1
(2) 1+
【分析】（1）利用负整数指数幂、零指数幂、乘方的定义、绝对值及二次根式的性质化简， 再合并即可；
（2 ）利用平方差公式、二次根式的乘除法法则分别运算，再相加减即可；
本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式 = 2 +(-1) -1+ 22 -1- 2
= 2 -1-1+ 2 -1- 2
= -1 ；
（2）解：原式 = ( )2 - 22 + -
= 5 - 4 + 3 - 2
= 1+ ．
18 ．(1) x1 = 3 - ，x2 = 3 +
(2) x1 = 3 ，x2 = 2
【分析】本题考查一元二次方程的解法．
（1）把方程化为 x2 - 6x + 9 = -3 + 9 ，再进一步用配方法即可求解．
（2）把方程化为x (x - 3) - 2(x - 3) = 0 ，再利用因式分解法即可求解．
【详解】（1）解：x2 - 6x + 3 = 0 ， 移项得：x2 - 6x = -3 ，
: x2 - 6x + 9 = -3 + 9 ， : (x - 3)2 = 6 ，
: x - 3 = ± ,
解得：x1 = 3 - ，x2 = 3 + ．
（2）解：x2 - 3x = 2x - 6 ，
整理得：x (x - 3) - 2(x - 3) = 0 ，
: (x - 3)(x - 2) = 0 ， : x - 3 = 0 或 x - 2 = 0 ， : x1 = 3 ，x2 = 2 ．
19 ．(1)17
(2) -8
(3) 4
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值、平方差公式、完全平方公式， 因
式分解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
求解 再结合完全平方公式进行计 算即可．
求解 再结合平方差公式计 算即可．
求解 结合因式分解进一步计算即 可．
解
: x2 + 3xy + y2 = (x + y)2 + xy = 42 +1 = 17 ．
解 ，
: x2 - y2 = (x + y)(x - y ) = -8 ．
解 ， ，
: x2y + xy2 = xy (x +y) = 4 ．
20 ．(1)人行过道的宽是 5 米
(2)①(60 - a ) ；② 3500
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，设出未知数，列出方程是解题关键．
（1）设人行过道的宽是xm，则阴影部分可合成长为(60 - 2x )米，宽为(30 - 2x ) 米的长方形， 根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解；
（2）①根据每个摊位的月租金每上涨100 元，就会少租出1个摊位，得出该夜市可以租出 (60 - a )个摊位
②设月租金记为(3000 +100a )元，则总月租金为(3000 +100a )(60 - a ) ，根据题意列出方程，
解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设人行过道的宽是xm，则阴影部分可合成长为(60 - 2x )米，宽为(30 - 2x ) 米的长方形，
依题意得：(60 - 2x )(30 - 2x ) = 1000 ，
整理得：x2 - 45x + 200 = 0 ，
解得：x1 = 5 ，x2 = 40 ．
又∵ 30 - 2x > 0 ， : x < 15 ，
: x = 5 ．
答：人行过道的宽是 5 米；
（2）①每个摊位的月租金每上涨100 元，就会少租出1个摊位 设每个摊位的月租金上涨100a 元，
:该夜市可以租出个摊位
② 设月租金记为(3000 +100a )元，则总月租金为(3000 +100a )(60 - a ) ， 由题意可得方程(3000 +100a )(60 - a ) = 192500
解得a = 5 或a = 25 ；
因为尽可能让利于摊主，应取较小的a = 5 ，此时每个摊位的月租金为 3000 +100 ×◆5 = 3500 (元) ．
21 ．
(2) 44
(3)①1 ；②6
【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识， 二次根式的化简求值，一定要先化简再代 入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．
（1）把分子分母都乘以 ，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并二次根式即可；
（3）先分母有理化得到 ，移项后再平方得到 a2 - 4a = 1，再把原式化简变形为
2a2 (a2 - 4a )- 8a + 4 ，接着利用整体代入法计算得到原式= 2a2 - 8a + 4 ，再应用同样方法计 算即可．
解
故答案为： - ；
（2）解：原式 = -1+ - + - + … + - + - = -1
= 45 -1
= 44 ；
解
: a - 2 = ，
: (a - 2)2 = 5 ，
: a2 - 4a = 1；
②: a2 - 4a = 1，
: 2a4 - 8a3 - 8a + 4
= 2a2 (a2 - 4a )- 8a + 4
= 2a2 - 8a + 4
= 2 (a2 - 4a )+ 4
= 2 + 4
= 6 ．
22 ．(1)当x = 3 时，x2 - 6x +12 的最小值为 3
(2) -1；大；1
(3)当BF = 4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 48m2
【分析】本题考查了配方法求代数式极值中的应用， 不等式的性质，实际应用题中几何关系 的建模．解题的关键是正确配方，识别完全平方项的非负性，根据不等式的性质求解 ．
（1）将原式配方，x2 - 6x +12 = (x - 3)2 + 3 ，根据 (x - 3)2 ≥ 0 ，再根据不等式的性质求解
即可 ．
（2）对代数式 -x2 - 2x 进行配方，-x2 - 2x = - (x2 + 2x) = - (x +1)2 +1，结合 - (x +1)2 ≤ 0 ， 再根据不等式的性质求解即可．
（3）设EF= x ，由长方形ABEF 与长方形EFCD 面积比为1: 2 ，得到CF = 2x ，根据栅栏总 长度和面积比建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值．
【详解】（1）解：x2 - 6x +12
= (x2 - 6x + 9) +12 - 9
= (x - 3)2 + 3 ， ∵ (x - 3)2 ≥ 0 ， : (x - 3)2 + 3 ≥ 3，
:当x = 3 时，x2 - 6x +12 的最小值为 3；
（2）y = -x2 - 2x
= -x2 - 2x -1 + 1
= - (x +1)2 +1 ， ∵ (x +1)2 ≥ 0 ，
:- (x +1)2 ≤ 0 ， :- (x +1)2 +1≤ 1，
:当x = -1 时，y = -x2 - 2x 有最大值，最大值为 1， 故答案为：-1；大；1；
（3）设 BF = xm ，则 CF = 2BF = 2xm ， : BC = 3xm ，
= -3x2 + 24x
= -3(x - 4)2 + 48 ，
∵ (x - 4)2 ≥ 0 ， :-3(x - 4)2 ≤ 0 ，
:-3(x - 4)2 + 48 ≤ 48 ， ∵ AD = BC = 3x ≤ 15 ， : 0 < x ≤ 5 ，
:当x = 4 时，S矩形ABCD 最大，最大值为 48，
:当BF = 4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 48m2 ．