四川省+内江市隆昌市知行中学2023—2024学年下学期第+二次月考九年级数学试题

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本试卷分为A卷和B卷两部分。A卷满分100分；B卷满分60分。全卷满分160分，考试时间120分钟。
A卷（共100分）
注意事项：
1、答题前，考生务必将将自己的姓名学号班级等填写好。
2、答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。）
1、的绝对值是（ A ）
A、2024 B、 C、 D、
2、4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距离地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示为（ C ）
A、 B、 C、 D、
3、下列运算中，正确的是（ D ）
A、 B、 C、 D、
4、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）
A
B
C
D
5、下列说法正确的是（ C ）
A、打开电视，它正在播天气预报是不可能事件
B、要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查
C、在抽样调查中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D、甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明甲的射击成绩比乙稳定
6、如图，已知直线，EG平分，，则的度数是（ A ）
A、 B、 C、 D、
1
2
D
F
E
G
第6题图
B
C
A
D
O
E
P
第9题图
B
C
A
-2
1
0
b
第7题图
a
2
-3
-1
7、实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ C ）
A、 B、 C、 D、
8、某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，7.5小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，5小时能完成。”现在两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，可列方程（ D ）
A、 B、
C、 D、
9、如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，P为优弧ADB上一点，则（ A ）
A、 B、 C、 D、
10、二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ D ）
A、第一象限 B、 第二象限 C、第三象限 D、第四象限
x
y
第10题图
O
M
N
D
A
P
B
C
第11题图
E
x
y
B
D
A
O
C
第12题图
E
11、如图，在中，D、M是边AB的三等分点，N、E是边AC的三等分点。连接ND并延长与CB的延长线相交于点P，若，则线段CP的长为（ D ）
A、5 B、7 C、6 D、8
F
G
C
D
A
B
E
第16题图
12、如图，点A是射线上一点，过点A作轴于点B，以AB为边在其右侧作正方形ABCD，过点A的双曲线交CD于点E，则的值为（ A ）
A、 B、 C、 D、1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13、若式子有意义，则x的取值范围是 ；【答案】且
14、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ；
【答案】4
15、若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是 ；
【答案】
16、如图，矩形ABCD中，，将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则途中阴影部分面积是 . 【答案】3.6
三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17、（本小题共两个小题，每个小题4分，共8分）
（1）计算：
【详解】解原式
【点评】本题主要考查了绝对值、乘方、负整指数幂、特殊三角函数，熟练地掌握相关法则和运算是解决此类问题的关键。
（2）先化简，再求值：，其中
【详解】解原式
当时，原式
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，熟练地掌握异分母分式的加减和分式的乘除法则是解决此类问题的关键。
18、（本小题满分8分）
已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且，.
（1）求证：；
（2）求证：四边形CEAF是平行四边形。
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，
∴
F
C
D
A
B
E
∵，
∴
在和中
∴（AAS）
（2）∵
∴
∵，
∴
∴四边形CEAF是平行四边形
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的综合应用，熟练地掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定和平行四边形的性质是解决此类问题的关键。
19、（本小题满分9分）某校开展了“阳光体育”活动，增设篮球、足球、柔道、射击共四个课外活动项目。为了解全校1500名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：
8
16
12
4
14
10
6
2
0
18
18
12
14
人数
足球
柔道
射击
项目
篮球
足球
柔道
射击
20%
篮球
（1）参加问卷调查的同学共 名，补全条形统计图；
（2）估计该校1500名同学中喜爱篮球运动的人数；
（3）学校准备组建一支篮球队，某班甲、乙、丙、丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两名同学的概率。
【详解】（1）参加问卷调查的同学的人数为：（名）故答案为60
喜爱柔道的人数为：（名）
补全条形统计图如下：
8
16
12
4
14
10
6
2
0
18
18
12
14
人数
足球
柔道
射击
项目
篮球
足球
柔道
射击
20%
篮球
（2）（人）
∴该校1500名同学中喜爱篮球活动的人数大约450人。
（3）画树状图如下：
开始
甲
乙
丙
丁
乙
甲
丙
丁
丙
甲
乙
丁
丁
甲
乙
丙
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是甲、乙两名同学的结果有2种，
∴抽到的学生恰好是甲、乙两名同学的概率为．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键。条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小。
20、（本小题满分9分）随着科技的发展，无人机已广泛用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度。某校“综合与实践”活动小组的同学要测量某广场雕塑的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在距地面63m高的点C处，测得雕塑顶部点B处的俯角为，沿水平方向由点C飞行43m到达点D，测得雕塑底部点A处的俯角为，其中点A、B、C、D均在同一竖直平面内，请根据以上数据，求雕塑AB的高度。（结果精确到1m，参考数据：，，）
70°
C
D
A
B
45°
70°
C
D
A
B
45°
E
F
【详解】解：（1）过点C作于点E，延长AB交CD于点F
∴四边形CEAF是矩形
∴（米）
在中，
∴ 解得：（米）
∵
∴（米）
在中，
∴ 解得：（米）
∴（米）
答：雕塑AB的高度为8米
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键。
21、（本小题满分10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A、B两点，已知点A的坐标为（3，1），点B的坐标为（，m）。
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）观察图象直接写出满足时x的取值范围；
（3）P为x轴上一动点，当为等腰三角形时，求点P的坐标。
【详解】解：（1）把点A（3，1）代入
∴ 解得：
∴反比函数的解析式为：
把点B（，m）代入，解得：
∴B（，）
把A（3，1）、B（，）代入得：
解得：，
∴一次函数的解析式为：
x
y
B
O
A
P
E
（2）观察图象直接写出满足时x的取值范围为：或
（3）当是等腰三角形时，存在以下三种情况：
①当时，
∵A（3，1）
∴
∴或
②当时，根据等腰三角形的特征及点A的坐标可得到：P（6，0）
③当时，设点P（m，0），则
在中，
∴
∴
∴
综上所述，当点P的坐标为（，0）或（，0）或（6，0）或（，0）时，是等腰三角形
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，数形结合是解题的关键。
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）
22、因式分解：；【答案】
23、已知，是方程的两个实数根，则的值为 ；
【答案】4049
24、如图，，，，……，（n为整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，……，，顶点，，，……，均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点的坐标为 ；
【答案】
A3
y
x
第24题图
A1
A2
A4
A5
A6
A7
A8
A9
E
第25题图
P
D
O
A
B
25、如图，在中，，，P是OB的中点，若点D在直线AB上运动，连接OD，以OD为腰，向OD的右侧作等腰直角三角形ODE，连接PE，则在点D的运动过程中，线段PE的最小值为 . 【答案】1
二、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分。解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
26、某学校为筹备初三同学们的毕业活动，学校准备为同学们购进A、B两款T恤，每件A款T恤比每件B款T恤多10元，用500元购进A款T恤和用400元购买B款T恤的数量相同。
（1）求A款T恤和B款T恤每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划不多于14800元，不少于14750元购买T恤，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折销售，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，求m的值。
【详解】解：（1）设B款T恤每件x元，则A款T恤每件（）元
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意
∴
答：A款T恤每件50元，B款T恤每件40元。
（2）设购买a件A款T恤，则购买B款T恤（），由题意得：
解得：
∵a为正整数
∴a可以取275，276，277，278，279，280
故共有6种方案。
（3）设购买300件两款T恤共用了W元，则
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同
∴w的值与a的值无关
∴
∴
答：m的值为5
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式。
27、如图所示，以的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，，过点C作于点F，交BD于点G，过点C作交AB的延长线于点E.
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求阴影部分的面积。
【详解】（1）证明：连接OC
E
G
B
F
A
C
D
O
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵AB是⊙O的直径
∴
∴
∴，即
∴CE是⊙O的切线
（2）∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（3）∵，，
E
G
B
F
A
C
D
O
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵，
∴是等边三角形
∴，
∴
∴
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理和等腰三角形的判定及锐角三角形函数，正确添加辅助线是解决本题的关键。
28、已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，），点M（1，）为抛物线的顶点。
（1）求抛物线表达式；
（2）如图1，D是第四象限内抛物线上一点，分别连接DA、DB、DC、AC，若，求点D的坐标；
（3）如图2，直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似。若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
O
E
图 2
x
A
M
y
C
B
D
图 1
x
A
M
y
C
B
O
【详解】（1）设抛物线的解析式为：
D
图 1
x
A
M
y
C
B
O
把C（0，）代入，得：
∴
∴抛物线的解析式为：
（2）解：令，则
解得：，
∴A（，0），B（3，0）
连接OD，设点D坐标为（m，）
∴；
∵
∴ 解得：（舍去）或
∴D坐标为（2，）
（3）存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似。理由如下：
设直线CM的解析式为：
O
E
图 2
x
A
M
y
C
B
∴ 解得：
∴直线CM的解析式为：
∴E坐标为（0，）
∵
∴
∵
∴
∴
设P（t，），∵点P是线段EM上的一个动点
∴
∴，
①当∽时，，即，解得： 则P（，）
②当∽时，，即，解得： 则P（，）
综上所述，P点坐标为（，）或（，）
【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求直线解析式、相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性很强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数方法求几何问题。