天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题（含答案）

这是一份天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题（含答案），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
4. 某种高科技产品开发的支出成本（单位：万元）与市场销售额（单位：万元）之间有如下表所示的线性相关关系，与的经验回归方程为，当支出成本为8万元时，残差为（ ）
A. B. 1.5C. D. 0.5
5. 已知非零实数满足，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数满足，且当时，恒成立．若，则的大小关系是（ ）
A B.
C. D.
7. 为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（ ）
A 120B. 360C. 180D. 90
8. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 若回归方程，则变量与正相关
B. 线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
C. 在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大
D. 一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”概率为，则事件“至多击中一次”的概率为
9. 已知函数，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）
10. 已知的展开式中，的系数为80，则______________．
11. 已知随机变量,若,,，则_______.
12. 已知，则的最小值为______．
13. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中，正确的结论有________．（填序号）
14. 某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则_______.
15. 已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论：
①的最小值为0；
②的最大值为3；
③若在上单调递减，则的取值范围为；
④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4 个；
则全部正确命题的序号为__________.
三、解答题（本题共5个大题，共75分）
16. 已知，求：
（1）；
（2）；
（3）．
17. 甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．
（1）若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率；
（2）若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率；
（3）判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大．
18. 袋子A和B中都装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出1个红球的概率是，从B中摸出1个红球的概率为p.
（1）若A，B两个袋子中的球数之比为1：2，将A，B中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求p的值；
（2）从A中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止.
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量X的分布列及数学期望.
19. 已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，.
20. 已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．
（1）求的最大值；
（2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；
（3）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．
x
2
4
5
6
8
y
40
50
70
60
80