天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高一下学期第三次学业质量检测（6月）数学试题（含答案解析）

这是一份天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高一下学期第三次学业质量检测（6月）数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（ ）
2. 盒中装有形状、大小完全相同的个球，其中红色球个，黄色球个．若从中随机取出个球，则所取出的个球颜色不同的概率等于（ ）
3. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ）
4. 已知表示不同的直线，α，β表示不同的平面，给出下面四个命题：
（1）若，，则；（2）若，，，，则；
（3）若，，则；（4），，则．
上面四个命题正确的有（ ）
5. 设，，向量，，且，，则与夹角的余弦值为（ ）
6. 已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）
7. 如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ）
8. 已知正方体的体积为，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（ ）
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)
9. 已知复数z满足，则______．
10. 若用斜二测画法画的直观图是边长为2的正三角形，如图所示，则原的面积为______．
11. 在中，若，其面积为，则__________．
12. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
①若，则定为等腰三角形
②若，则一定是锐角三角形
③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的
④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形
⑤O为平面内一点，若动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的外心．其中所有正确结论的序号______．
13. 已知正方体的棱长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为______．
14. 在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为_________．
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分)
15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，．
①求的值；
②求的面积．
16. 如图，在直三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点D是棱中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求证：平面；
(3)求点到平面的距离．
17. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求该样本的第75百分位数；
(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)；
(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率．
18. 在锐角三角形中，分别为角所对的边，.
(1)证明：.
(2)求的范围.
19. 如图，在菱形中，的余弦值为为靠近的三等分点，将沿直线翻折成，连接和，
(1)求证：平面平面；
(2)判断线段的长是否为定值？若是，请求出线段的长，若不是，请说明理由；
(3)求二面角的正切值的最大值．
天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高一下学期第三次学业质量检测（6月）数学试题
整体难度：适中
考试范围：计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、平面向量、三角函数与解三角形、等式与不等式、复数、函数与导数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．40人
B．28人
C．12人
D．8人
A．
B．
C．
D．
A．的值为0.005
B．估计这组数据的众数为75
C．估计成绩低于60分的有250人
D．估计这组数据的第85百分位数为85
A．（1），（3）
B．（2），（4）
C．（1），（2），（4）
D．（1），（3），（4）．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
题型
数量
单选题
8
填空题
6
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
3
适中
10
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
2
0.85
计算古典概型问题的概率
3
0.85
由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；总体百分位数的估计；补全频率分布直方图；根据频率分布直方图计算众数
4
0.85
线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断；判断线面平行
5
0.65
向量夹角的坐标表示；已知向量垂直求参数
6
0.94
正弦定理边角互化的应用；余弦定理边角互化的应用
7
0.65
平面向量基本定理的应用；基本不等式“1”的妙用求最值
8
0.65
锥体体积的有关计算；台体体积的有关计算；柱体体积的有关计算
二、填空题
9
0.94
复数的除法运算
10
0.65
斜二测画法中有关量的计算
11
0.65
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形
12
0.65
余弦定理解三角形；数量积的运算律
13
0.65
多面体与球体内切外接问题；证明面面平行；柱体体积的有关计算
14
0.4
数量积的运算律；数量积的坐标表示；用基底表示向量；平面向量共线定理的推论
三、解答题
15
0.65
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；正弦定理解三角形
16
0.65
证明线面平行；证明面面垂直；求点面距离
17
0.65
由频率分布直方图估计平均数；总体百分位数的估计；计算古典概型问题的概率
18
0.4
三角恒等变换的化简问题；正弦定理边角互化的应用；由导数求函数的最值（不含参）；用和、差角的正弦公式化简、求值
19
0.15
证明面面垂直；求二面角；余弦定理解三角形；面面垂直证线面垂直
序号
知识点
对应题号
1
计数原理与概率统计
1,2,3,17
2
空间向量与立体几何
4,8,10,13,16,19
3
平面向量
5,7,12,14
4
三角函数与解三角形
6,11,12,15,18,19
5
等式与不等式
7
6
复数
9
7
函数与导数
18