七年级数学下学期期末培优测试卷（人教版2024）（解析版）【测试范围：七下全册】-A4

这是一份七年级数学下学期期末培优测试卷（人教版2024）（解析版）【测试范围：七下全册】-A4，共17页。试卷主要包含了测试范围等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：七下全册（人教版2024）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）36的算术平方根是（ ）
A．±6B．6C．±6D．6
【分析】先求出36的算术平方根36=6，然后再求6的算术平方根即可．
【解答】解：∵36=6，
∴6的算术平方根为6．
故选：D．
2．（3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．调查某班同学的视力水平，采用抽样调查方式
B．调查某品牌手机的使用满意度，采用普查的方式
C．调查某热门景区游客的体验情况，采用抽样调查的方式
D．要了解我省初中生的体育爱好情况，采用普查的方式
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、调查某班同学的视力水平，采用全面调查方式，故A不符合题意；
B、调查某品牌手机的使用满意度，采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
C、调查某热门景区游客的体验情况，采用抽样调查的方式，故C符合题意；
D、要了解我省初中生的体育爱好情况，采用抽样调查的方式，故D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）如图，以下说法错误的是（ ）
A．若∠EAD＝∠B，则AD∥BC
B．若∠EAD+∠D＝180°，则AB∥CD
C．若∠CAD＝∠BCA，则AD∥BC
D．若∠D＝∠EAD，则AB∥CD
【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、若∠EAD＝∠B，则AD∥BC，正确，理由：同位角相等，两直线平行．
B、若∠EAD+∠D＝180°，则AB∥CD，错误．
C、若∠CAD＝∠BCA，则AD∥BC，正确，理由：内错角相等，两直线平行．
D、若∠D＝∠EAD，则AB∥CD，正确，理由：内错角相等，两直线平行．
故选：B．
4．（3分）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若a＞b，则c+a＜c+b
B．若a＜b，且c≠0，则ac＜bc
C．若a＞b，则ac2＞bc2
D．若ac2＜bc2，则a＜b
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴c+a＞c+b，故本选项不符合题意；
B．当c＜0时，由a＜b能推出ac＞bc，故本选项不符合题意；
C．当c＝0时，由a＜b能推出ac2＝bc2，故本选项不符合题意；
D．∵ac2＜bc2，
∴不等式的两边都除以c2，得a＜b，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（ ）
A．m＜2，n＞3B．m＜2，n＞﹣3C．m＜﹣2，n＜﹣3D．m＜﹣2，n＞﹣3
【分析】根据点的平移规律可得向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到（m+2，n+3），再根据第二象限内点的坐标符号可得．
【解答】解：将点A（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点A′（m+2，n+3），
∵点A′位于第二象限，
∴m+2＜0n+3＞0，
解得：m＜﹣2，n＞﹣3，
故选：D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，3），B（3，5），C（x，y），AC∥y轴，则当线段BC的长度取最小值时，点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，5）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（5，3）
【分析】根据AC∥y轴，得出点C在直线x＝﹣3上，再根据线段BC取得最小值，即可得出点C的坐标．
【解答】解：因为点A坐标为（﹣3，3），且AC∥y轴，
所以点C在直线x＝﹣3上，
因为点B坐标为（3，5），
所以当BC⊥AC时，线段BC的长度取得最小值，
此时点C的坐标为（﹣3，5）．
故选：A．
7．（3分）若关于x的不等式组x+23＞x2+14x+32a＜x−1的解集是x＜﹣2，且关于y的方程（a+2）﹣（y+2）＝2（y﹣1）的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先通过不等式组的解确定a的范围，再根据方程的解求a的取值范围即可得出答案．
【解答】解：由不等式x+23＞x2+1得：x＜﹣2，
由4x+32a＜x﹣1得：x＜−13−12a，
∵不等式组的解集是x＜﹣2，
∴−13−12a≥−2，
解得a≤103，
解方程得y=a+23，
由题意知a+23＞0，
解得a＞﹣2，
则符合条件的整数a的值之和为﹣1+0+1+2+3＝5，
故选：C．
8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙种袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可建立方程为（ ）
A．11x=9y(8x+y)+(10y+x)=13
B．11x=9y(10y+x)−(8x+y)=13
C．9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13
D．9x=11y(8x+y)+(10y+x)=13
【分析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据“黄金9枚和白银11枚的重量相等，黄金8枚和白银1枚的重量比黄金1枚白银10枚轻13两”，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
依题意，得：9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13．
故选：C．
9．（3分）用现代高等代数的符号可以将方程组x+y=52x−y=4的系数排成一个表1152−14，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵11t32−1m2表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（ ）
A．m﹣2t＝﹣1B．m+2t＝1C．2m﹣t＝1D．2t+m＝﹣1
【分析】根据矩阵定义列方程组可解答．
【解答】解：由题意得：x+y+tz=3①2x−y+mz=2②，
①×2+②得：4x+y+2tz+mz＝8，
∵4x+y﹣z为定值，
∴2t+m＝﹣1．
故选：D．
10．（3分）如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是（1，0），则点B的坐标为（ ）
A．(113，3)B．(103，3)C．(154，3)D．(185，3)
【分析】如图，设BC＝x，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：如图，设BC＝x，
由题意得，直线AB左边部分的面积为：12×3×（2+x）=12×8，
解得：x=23，
3+23=113，
∴点B的坐标为（113，3），
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）比较大小：2 ＞ 2−12．
【分析】估算无理数的大小，据此判断即可．
【解答】解：∵2＞1，2−12＜1，
∴2＞2−12，
故答案为：＞．
12．（3分）一组数据，其中最大值是170，最小值是147，对这组数据进行整理时，组距是4，则分成 6 组合适．
【分析】求出最大值与最小值的差，再根据组距、组数、最大值与最小值的差的关系进行计算即可．
【解答】解：（170﹣147）÷4≈6（组），
故答案为：6．
13．（3分）如图，把一张两边平行（AD∥BC）的纸条沿着EF向上方翻折，若∠1＝40°，则∠AEF的度数为 110 °．
【分析】根据折叠的性质可得∠BFE＝∠B′FE，于是根据平角的定义解得∠BFE＝70°，最后利用平行线的性质即可得到答案．
【解答】解：由折叠可知，∠BFE＝∠B′FE，
∵∠1＝40°，∠1+∠BFE＝∠B′FE＝180°，
∴∠BFE=180°−40°2=70°，
又∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110．
14．（3分）在长方形ABCD中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 44 cm2．
【分析】设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm，根据图示可以列出方程组，然后解方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm，
依题意得x−2y+y=6x+3y=14，
解之得x=8y=2，
∴小长方形的长、宽分别为8cm，2cm，
∴S阴影＝S四边形ABCD﹣6×S小长方形，
＝14×10﹣6×2×8
＝44（cm2）．
故答案为：44．
15．（3分）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝110°，则∠BEG的度数为 35° ．
【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠GEH＝180°﹣2∠GEH，在△AEF中，70°+2∠FEB+180°﹣2∠GEH＝180°，故∠GEH﹣∠FEB＝35°，即可等量代换求解．
【解答】解：∵∠FBE＝∠FEB，∠AFE＝∠FBE+∠FEB，
∴∠AFE＝2∠FEB，
∵∠FEH的角平分线为EG，
∴∠GEH＝∠FEG，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
而∠D＝∠ABC，
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠DEH＝110°，
∴∠CEH＝∠FAE＝70°，
∵∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠GEH＝180°﹣2∠GEH，
∴70°+2∠FEB+180°﹣2∠GEH＝180°，
∴∠GEH﹣∠FEB＝35°，
∴∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝∠GEH﹣∠FEB＝35°．
故答案为：35°．
16．（3分）关于x、y的二元一次方程：ax+y+2a﹣4＝0（a＞0），则下列四个结论：
①无论a为何值时，该方程都有一组解x=−2y=4；
②若a＝1，则方程ax+y+2a﹣4＝0有三组非负整数解；
③若y＝﹣2x，则不等式ax+y+2a﹣4＞0的解集为x＞﹣2；
④若x=cy=m和x=c+1y=n是方程ax+y+2a﹣4＝0的两组解，则m＞n．
其中正确的结论是 ①②④ .（请填写序号）
【分析】将x＝﹣2，y＝4代入方程即可判断①；
当 a＝1 时，方程为x+y﹣2＝0，方程的非负整数解即可判断②；
把y＝﹣2x 代入方程即可判断③；
x＝c，y＝m 和x＝c+1，y＝n是方程 ax+y+2a﹣4＝0 的两组解代入解得即可判断④．
【解答】解：将x＝﹣2，y＝4代入方程，可得a×（﹣2）+4+2a﹣4＝0，所以无论a为何值时，该方程都有一组解x＝﹣2 y＝4，故①正确；
②当 a＝1 时，方程为x+y﹣2＝0，方程的非负整数解为x=0y=2，x=1y=1，x=2y=0故②正确；
③当 y＝﹣2x 时，﹣2x+ax+2a﹣4＞0，当a＞2时，解得x＞4−2aa−2=−2(a−2)a−2=−2，当a＜2时，x＜4−2aa−2=−2(a−2)a−2=−2，故③不正确；
④若x＝c y＝m 和x＝c+1和y＝n是方程 ax+y+2a﹣4＝0 的两组解，则ac+m+2c−4=0a(c+1)+n+2a−4=0，
即(a+1)c+m+2a−4=0(a+1)c+a+n+2a−4=0两式相减得，m﹣n＝a，
因为a＞0，
所以m﹣n＞0，即m＞n，故④正确．
故答案为：①②④．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：16+(−1)2025−327+|1−3|；
（2）解方程组：x−y=33x−8y=14．
【分析】（1）分别根据算术平方根、有理数的乘方、立方根的定义以及绝对值的性质化简即可；
（2）方程组利用代入消元法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣1﹣3+3−1
=3−1；
（2）x−y=3①3x−8y=14②，
由①得x＝y+3③，
把③代入②，得3（y+3）﹣8y＝14，
解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③，得x＝2，
故方程组的解为x=2y=−1．
18．（8分）解不等式组2x+1≤3①x+22＞x+33②
请按下列步骤完成解答：（Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞0 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 0＜x≤1 ．
【分析】分别求出各不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤1，
故答案为：x≤1；
（Ⅱ）解不等式②，得x＞0，
故答案为：x＞0；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为：0＜x≤1，
故答案为：0＜x≤1．
19．（8分）某市为激发学生对科学实验的兴趣，举办市学生科普创新实验暨作品大赛．大赛整体赛程分为初赛、复赛和决赛三个阶段．初赛阶段比赛项目是制作未来太空车，要求参赛队伍设计、制作、提交作品，评委对每个参赛作品打分．初赛结束后，某校项目学习小组分别随机抽取部分七、八年级的作品的打分数据，并制作了统计图表，如：表1，图1，图2．（其中A组：60≤x＜70，B组：70≤x＜80，C组：80≤x＜90，D组：90≤x≤100）
表1七年绂作品分数频数分布表
（1）a＝ 0.10 ，c＝ 12 ，m＝ 35 ．
（2）在图2中，B组对应的圆心角的度数是 126° ，请补全图1频数分布直方图；
（3）若该市七、八年级共有200支队伍参加初赛，作品达到80分及以上的队伍进入复赛，请你估计大约有多少支队伍能进入复赛．
【分析】（1）根据B组的频数除所占的比例，求出总数，再用A组的频数除总数确定出a的值，用总数乘C组所占的比例求出c的值，根据C组占的比例确定出m的值即可；
（2）由B组所占的比例乘360°确定出B组对应的圆心角度数，补全图1频数分布直方图即可；
（3）根据样本中C组与D组所占比例之和，估计出总体中的比例之和，乘200即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：a＝4÷（14÷0.35）＝4÷40＝0.10，c＝40×0.3＝12，扇形中B等级所占百分比为10+1480×100%=30%，
∴m%＝1﹣20%﹣15%﹣30%＝35%，即m＝35，
故答案为：0.10，12，35；
（2）根据题意得：（1﹣30%﹣20%﹣15%）×360°＝126°，即B组对应的圆心角的度数126°，
八年级A组人数为：80×15%﹣4＝8，C组人数为：80×35%﹣12＝16，
补全图1频数分布直方图，如下：
；
故答案为：126°；
（3）根据题意得：200×12+10+16+680=110（支），
则估计大约有110支队伍能进入复赛．
20．（8分）如图，AD∥BE，C点在BE上，∠B＝∠D，AE交CD于点F．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠1＝∠2＝68°，∠BAC＝3∠EAC，求∠EAC和∠DCE的大小．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；
（2）根据平行线的性质及角的和差求出∠EAC＝17°，∠BAC＝51°，根据三角形内角和定理求出∠B＝61°，据此求解即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠D＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠2＝68°，
∵∠BAE＝∠BAC+∠EAC，∠BAC＝3∠EAC，
∴4∠EAC＝68°，
∴∠EAC＝17°，∠BAC＝51°，
∵∠1＝68°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠1＝61°，
∴∠DCE＝∠B＝61°．
21．（8分）已知A（1，4）、B（5，1），AB＝5．
（1）平移线段AB，使A的对应点A1刚好落在y轴上，B的对应点B1刚好落在x轴上，在图上画出四边形AA1B1B，并写出以下两点坐标A1 （0，3） ，B1 （4，0） ；
（2）在（1）的条件下，求出线段AB扫过的面积 7 ；
（3）P点为直线AB上一动点，写出OP的最小值 195 ．
【分析】（1）根据平移称的性质按要求作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求四边形AA1B1B的面积即可．
（3）连接OA，OB，利用割补法求出△AOB的面积，设点O到直线AB的距离为h，则可列方程为12×5ℎ=192，求出h的值，即为OP的最小值．
【解答】解：（1）如图，四边形AA1B1B即为所求．
由图可得，A1（0，3），B1（4，0）．
故答案为：（0，3）；（4，0）．
（2）线段AB扫过的面积为S四边形AA1B1B=5×4−12×4×3−12×1×1−12×4×3−12×1×1=20﹣6−12−6−12=7．
故答案为：7．
（3）连接OA，OB，
△AOB的面积为12×（3+4）×5−12×3×4−12×1×4=352−6﹣2=192．
设点O到直线AB的距离为h，
则12AB⋅ℎ=12×5ℎ=192，
解得h=195，
∴OP的最小值为195．
故答案为：195．
22．（10分）某商店准备采购甲、乙两种玩具360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件．
（1）求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元；
（2）若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？
（3）若甲种玩具每件售价降低4a（5＜a＜7）元，乙种玩具售价不变，在（2）的采购方案中，该商店销售这360件玩具获得的最大利润为7048元，求a的值．
【分析】（1）设甲种玩具的进价是x元/件，乙种玩具的进价是y元/件，根据“购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，需要4600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件甲种玩具，则购进（360﹣m）件乙种玩具，根据“购进乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该商店共有5种采购方案；
（3）利用利润＝售价﹣进价，可求出每件甲、乙玩具的销售利润，比较后，可得出甲种玩具降价后，每件甲种玩具的销售利润小于每件乙种玩具的销售利润，进而可得出当m＝76时，销售利润最大，利用总利润＝每件甲种玩具的销售利润×购进甲种玩具的数量+每件乙种玩具的销售利润×购进乙种玩具的数量，结合该商店销售这360件玩具获得的最大利润为7048元，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种玩具的进价是x元/件，乙种玩具的进价是y元/件，
根据题意得：40x+30y=570020x+40y=4600，
解得：x=90y=70．
答：甲种玩具的进价是90元/件，乙种玩具的进价是70元/件；
（2）设购进m件甲种玩具，则购进（360﹣m）件乙种玩具，
根据题意得：360−m≥3.5m(130−90)m+(90−70)(360−m)≥8720，
解得：76≤m≤80，
又∵m为正整数，
∴m可以为76，77，78，79，80，
∴共有5种采购方案．
答：该商店共有5种采购方案；
（3）∵5＜a＜7，
∴20＜4a＜28，
∴12＜130﹣90﹣4a＜20．
∵90﹣70＝20（元），
∴甲种玩具降价后，每件甲种玩具的销售利润小于每件乙种玩具的销售利润，
∴当m＝76时，销售利润最大，
∴（130﹣90﹣4a）×76+（90﹣70）×（360﹣76）＝7048，
解得：a＝5.5．
答：a的值为5.5．
23．（10分）已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点H是直线AB与CD外一点，连接HE、HF．
（1）如图（1），若∠CFH＝120°，∠H＝120°，求∠BEH的度数；
（2）如图（2），∠BEH的角平分线的反向延长线交∠CFH的角平分线于点N，猜想∠N与∠H的数量关系，并说明理由；
（3）如图（3），若∠EHF＝120°，∠BEH＝n∠PEH，∠CFH＝n∠HFQ，点P、H、Q在同一直线上，直接写出∠Q﹣∠P的值（用含n的式子表示）.
【分析】（1）过点H作HG∥AB，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点N作NQ∥AB，过点H作MP∥DC，则AB∥CD∥NQ∥PH，可设∠3＝∠4＝α，∠6＝∠7＝β，由AB∥CD∥NQ∥PH得到∠5＝∠3＝α，∠8＝∠BEH＝2α，∠QNF＝∠6＝β，∠PHF＝180°﹣∠CFH，故∠ENF＝β﹣α，∠EHF＝180﹣2（β﹣α ），因此得到∠EHF＝180°﹣2∠ENF，即∠H＝180°﹣2∠N；
（3）设∠PEH＝α，∠HFQ＝β，则∠BEH＝n α，∠CFH＝nβ，过点P作PK∥AB，过点H作HL∥AB，过点Q作QR∥AB，则AB∥CD∥PK∥HL∥QR，则∠KPQ＝∠RQP，∠BEP＝∠KPE＝（n﹣1）α，∠CFQ＝∠RQF＝（n﹣1）β，因此∠PQF﹣∠EPQ＝（n﹣1）（β﹣α），而由AB∥HL∥CD，得∠EHL+∠LHF＝120°，因此∠BEH+∠HFD＝120°，代入得nα+180°﹣nβ＝120°，化简得β−α=60°n，则∠PQF−∠EPQ=(n−1)60°n．
【解答】解：（1）如图，过点H作HG∥|AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥CD，
∴∠1+∠CFH＝180°，
∵∠CFH＝120°，
∴∠1＝60°，
∵∠FHE＝120°，
∴∠2＝60°，
∵HG∥AB，
∴∠BEH＝∠2＝60°；
（2）如图，过点N作NQ∥AB，过点H作MP∥DC，
∵EH平分∠BEH，FN平分∠CFH，
∴设∠3＝∠4＝α，∠6＝∠7＝β，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥NQ∥PH，
∴∠5＝∠3＝α，∠8＝∠BEH＝2α，∠QNF＝∠6＝β，∠PHF＝180°﹣∠CFH，
∴∠ENF＝∠QNF﹣∠5＝β﹣α，∠EHF＝∠8+∠PHF＝2α+180°﹣2β＝180﹣2（β﹣α），
∴∠EHF＝180°﹣2∠ENF，
即∠H＝180°﹣2∠N；
（3）如图，过点P作PK∥AB，过点H作HL∥AB，过点Q作QR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PK∥HL∥QR，
∵∠BEH＝n∠PEH，∠CFH＝n∠HFQ，
设∠PEH＝α，∠HFQ＝β，则∠BEH＝n α，∠CFH＝nβ，
∵PK∥QR，
∴∠KPQ＝∠RQP，
∵AB∥PK，
∴∠BEP＝∠KPE＝（n﹣1）α，
∵QR∥CD，
∴∠CFQ＝∠RQF＝（n﹣1）β，
∵∠PQF＝∠RQP+∠RQF，∠EPQ＝∠EPK+∠QPK，
∴∠PQF﹣∠EPQ＝∠RQF﹣∠EPK＝（n﹣1）（β﹣α），
∵AB∥HL∥CD，∴∠EHL＝∠BEH，∠LHF＝∠HFD，
∵∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝120°，
∴∠BEH+∠HFD＝120°，
即nα+180°﹣nβ＝120°，
∴β−α=60°n ∠PQF−∠EPQ=(n−1)60°n，
即∠Q−∠P=(n−1)60°n．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b），其中a，b满足|a−4|+a−b+2=0．
（1）请直接填空：a＝ 4 ，B点坐标为 （0，6） ；
（2）点C（x，y）是线段AB上一动点，求x，y之间满足的关系式（含x的式子表示y）；
（3）如图2，将直线AB沿x轴向左平移，当平移后的直线DE经过点D（﹣2，0），点D是点A的对应点时，解决如下问题：
①在直线DE上是否存在点P，使得三角形ADP的面积等于18？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
②已知Q（m，n）是直线DE上一动点，且点Q位于第二象限，若三角形BOQ的面积不大于9，求n的取值范围．
【分析】（1）由|a−4|+a−b+2=0．得a＝4，b＝6，故B（0，6）．
（2）由△OAB面积＝△AOC面积+△BOC面积得12×6×4=12×6x+12×4y，故y=−32x+6．
（3）①设P纵坐标为a，由△ADP面积=12a×DE＝18，得a＝6．当P在第二象限时，点A向左平移6个长度单位到点D，故P（﹣6，6）．当P在第三象限时，点B向下平移6个长度单位，再向右平移4个长度单位，故P（2，﹣6）．
②过P作PM⊥x轴，连BD．设△BOQ的面积＝9，得12×6=9，故m＝±3．当Q位于第二象限时，即m＝﹣3时，△ADP面积＝△BPD面积＝梯形PMOB面积﹣△PMD面积﹣△BDO面积，得12×6n=12（n+6）×3−12×1×n−12×2×6，故n=32．当Q'位于第四象限时，即m＝3时，由△ADQ'面积＝△BDQ'面积＝梯形DHGB面积+△BCQ'面积﹣△DHG面积，得12×6×（﹣n）=12（﹣n+6﹣n）×2+12（6﹣n）×3−12（﹣n）×5，故n=−152，因此−152＜n＜32．
【解答】解：（1）∵|a−4|+a−b+2=0．
∴a＝4，b＝6，
∴B（0，6）．
故答案为：4，（0，6）．
（2）∵△OAB面积＝△AOC面积+△BOC面积，
∴12×6×4=12×6x+12×4y，
∴y=−32x+6．
（3）①设P纵坐标为a，
∴△ADP面积=12a×DE＝18，
∴12a×6＝18，
∴a＝6．
当P在第二象限时，
点A向左平移6个长度单位到点D，
∴P（﹣6，6）．
当P在第三象限时，
点B向下平移6个长度单位，再向右平移4个长度单位，
∴P（2，﹣6）．
综上所述，P（﹣6，6）或（2，﹣6）．
②过P作PM⊥x轴，连BD．
设△BOQ的面积＝9，
∴12×6=9，
∴m＝±3．
当Q位于第二象限时，即m＝﹣3时，
∵AB∥ED，
∴△ADP面积＝△BPD面积＝梯形PMOB面积﹣△PMD面积﹣△BDO面积，
∴12×6n=12（n+6）×3−12×1×n−12×2×6，
∴n=32．
当Q'位于第四象限时，即m＝3时，
∵△ADQ'面积＝△BDQ'面积＝梯形DHGB面积+△BCQ'面积﹣△DHG面积，
∴12×6×（﹣n）=12（﹣n+6﹣n）×2+12（6﹣n）×3−12（﹣n）×5，
∴n=−152，
组别
频数
所占比例
A
4
a
B
14
0.35
C
c
0.3
D
10
0.25
合计
1