2025-2026学年广西玉林市五校联考高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2025-2026学年广西玉林市五校联考高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(1,x,2)，b=(−4,4,y)，若a与b共线，则x+y=( )
A. 12B. 9C. −9D. −12
2.已知直线l1：2x−y+1=0与l2：x+ky−3=0垂直，则实数k的值为( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
3.过点P(−1,2)的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，且P恰好是AB的中点，则AB的斜率为( )
A. 12B. −12C. −2D. 2
4.已知四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是( )
A. 54B. 52C. 22D. 3 24
5.直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0, 3)为端点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围是( )
A. [− 3,1]B. (−∞,− 3]∪[1,+∞)
C. (−∞,− 3]D. [1,+∞)
6.若点A(−3,−4)，B(6,3)到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为( )
A. 79B. −13C. 79或13D. −79或−13
7.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是A1D，D1B的中点，则下述结论中正确的个数为( )
①MN//平面ABCD；
②平面A1ND⊥平面D1MB；
③直线MN与B1D1所成的角为45°；
④直线D1B与平面A1ND所成的角为45°．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为( )
A. 2 B. 3
C. 3 22 D. 2 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：ax+y−3a=0，直线l2：2x+(a−1)y−6=0，则( )
A. 当a=3时，l1与l2的交点是(3,0)B. 直线l1与l2都恒过(3,0)
C. 若l1⊥l2，则a=13D. ∃a∈R，使得l1平行于l2
10.下列命题中正确的是( )
A. 若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0
B. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角等于50°
C. 已知{a,b,c}是空间的一个基底，则{a+b,b+c,a+b+c}也是空间的一个基底
D. 已知O为坐标原点，向量OA=−i+2j−k，OB=−3i+6j−3k，OC=−2i+4j−2k，则点A，B，C不能构成三角形
11.如图，平行六面体AC1中，∠A1AD=∠A1AB=45°，AD=AB，AC与BD交于点O，则下列说法不正确的有( )
A. 直线AA1⊥直线BD
B. 若|A1O|=|AO|，则A1C⊥平面B1BDD1
C. A1O=AB+AD+AA1
D. 若∠BAD=60°，则A1A与AC夹角的余弦值为 23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知OA=(5,1,3)，OB=(−2,1,x)，且OA⊥OB，则|AB|=______．
13.若直线2x+y−3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离为 32，则实数a的值为______．
14.如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，AF=13AD,AG=2GA1，AC1与平面EFG交于点M，则AMAC1= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(−2,6)，C(−8,0)，求：
①AC边上的中线所在直线的方程；
②AC边上的高所在直线的方程．
(2)已知直线l经过点P(−2,1)，若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
如图，已知棱长为1的正四面体OABC，E，F分别是AB，OC的中点．
(1)用OA,OB,OC表示向量EF，并求EF的模长；
(2)求OE与BF所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知直线l的方程为(m+3)x+(2m−1)y−7m=0(m∈R)．
(1)证明：直线l过定点，并求定点到直线3x+4y−7=0的距离；
(2)当m为何值时，点Q(3,4)到直线l的距离最大？最大距离是多少？
18.(本小题17分)
已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(Ⅰ)求证：D1N//平面CB1M；
(Ⅱ)求平面CB1M与平面BB1C1C的夹角余弦值；
(Ⅲ)求点B到平面CB1M的距离．
19.(本小题17分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．
(1)如果PA与平面ABCD所成的线面角为π4，求证：PC⊥平面ADM；
(2)当BP与平面BDM所成角的正弦值最大时，求三棱锥D−BCM的体积．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：向量a=(1,x,2)，b=(−4,4,y)，由a与b共线，
故存在t∈R，使得b=ta，即−4=t4=txy=2t，
解得x=−1，y=−8，所以x+y=−9．
故选：C．
由空间向量共线的充要条件列式求得x=−1，y=−8，即得．
本题考查的知识点：向量共线的充要条件，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：直线l1：2x−y+1=0与l2：x+ky−3=0垂直，
当k=0时，得l2：x=3，此时l1与l2不垂直；
当k≠0时，若l1⊥l2，则2×(−1k)=−1，解得k=2．
故选：A．
对k分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，设A(a,0)，B(0,b)，
又由P(−1,2)为AB的中点，则有−1=a+02，2=0+b2，则a=−2，b=4；
故A(−2,0)，B(0,4)，
则AB的斜率k=4−00+2=2，
故选：D．
根据题意，由中点坐标公式求出A，B的坐标，进而由直线的斜率公式计算可得答案．
本题考查直线的斜率计算，涉及中点坐标公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，
所以建系如图，则根据题意可得：
P(0,0,1)，D(0,1,0)，E(1,12,0)，
所以PD=(0,1,−1),DE=(1,−12,0)，
所以|DE|= 52,|PD|= 2,DE⋅PD|PD|=−12 2=− 24，
所以点E到直线PD的距离为：
|DE|2−(DE⋅PD|PD|)2= 54−18=3 24．
故选：D．
利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得．
本题考查向量法求解点面距问题，属中档题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道基础题．
结合函数的图象，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可．
【解答】
解：如图示：
当直线l过B时设直线l的斜率为k1，
则k1= 3−00−1=− 3，
当直线l过A时设直线l的斜率为k2，
则k2=1−02−1=1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，
则直线l的斜率的取值范围是(−∞,− 3]∪[1,+∞)，
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：∵两点A(−3,−4)，B(6,3)到直线l：ax+y+1=0的距离相等，
∴|−3a−4+1| a2+1=|6a+3+1| a2+1，化为|3a+3|=|6a+4|．
∴6a+4=±(3a+3)，
解得a=−13，或a=−79，
故选：D
利用点到直线的距离公式即可得出．
本题考查了点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于①：连接D1A，则M是D1A的中点，
在△D1AB中，N是D1B的中点，则MN//AB，
∵MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴MN/​/平面ABCD，故①正确；
对于②：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，D1M⊥A1D，
∵D1M⊂平面AA1D1D，∴AB⊥D1M，
由①得MN//AB，∴MN⊥D1M，
又MN∩A1D=M，MN⊂平面A1ND，A1D⊂平面A1ND，
∴D1M⊥平面A1ND，
又D1M⊂平面D1MB，
∴平面A1ND⊥平面D1MB，故②正确；
对于③：由①得MN//AB，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，B1D1/​/BD，
则直线MN与B1D1所成的角为∠ABD=45°，故③正确；
对于④：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，则建立以D为原点，以DA、DC、DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系D−xyz，如图所示：
不妨设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,2)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，N(1,1,1)，
∴D1B=(2,2,−2)，DN=(1,1,1)，DA1=(2,0,2)，
设平面A1ND的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DN=x+y+z=0n⋅DA1=2x+2z=0，取z=1，则x=−1，y=0，
∴平面A1ND的一个法向量为n=(−1,0,1)，
设直线D1B与平面A1ND所成的角为α，
则sinα=|cs|=|n⋅D1B||n|⋅|D1B|=42 3× 2= 63≠ 22，
∴直线D1B与平面A1ND所成的角不是45°，故④错误，
故选：C．
根据棱柱的结构特征，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征和直线与平面、平面与平面的位置关系及直线与平面、异面直线的夹角问题，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由正方形ABCD，得BC⊥AB，而平面ABCD∩平面ABEF=AB，BC⊂平面ABCD，得BC⊥平面ABEF，
又四边形ABEF是正方形，则直线BA，BE，BC两两垂直，
以点B为原点，直线BA，BE，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
B(0,0,0)，A(3,0,0)，C(0,0,3)，F(3,3,0)，
AC=(−3,0,3)，BF=(3,3,0)，BC=(0,0,3)，
设与AC，BF都垂直的向量n=(x,y,z)，
则n⋅AC=−3x+3z=0n⋅BF=3x+3y=0，令x=1，得n=(1,−1,1)，
所以MN的最小值为|BC⋅n||n|=3 3= 3．
故选：B．
根据给定条件，证明BA，BE，BC两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法求出最小值．
本题考查了点到平面的距离，属于基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A，当a=3时，l1：3x+y−9=0，l2：x+y−3=0，
联立3x+y−9=0x+y−3=0，解得x=3y=0，
所以交点为(3,0)，所以A正确；
对于B，将l1的方程整理可得：a(x−3)+y=0，可得直线l1恒过定点(3,0)，
整理直线l2：ay+2x−y−6=0，令y=02x−y−6=0，解得x=3y=0，可得直线l2过定点(3,0)，所以B正确；
对于C，由l1⊥l2可得a⋅2+1⋅(a−1)=0，解得a=13，所以C正确；
对于D，由l1//l2可得a(a−1)−2=0，解得a=−1或2，
当a=−1时，l1：x−y−3=0，l2：x−y−3=0，两直线重合，不符合题意，
当a=2时，l1：2x+y−6=0，l2：2x+y−6=0，两直线重合，不符合题意，故D错误．
故选：ABC．
将a=3代入，联立两直线方程即可求得交点的坐标，判断出A的真假；分别求出两条直线过的定点的坐标，判断出B的真假；由两直线垂直时的斜率之积为−1，解得a的值，判断出C的真假；讨论斜率存在和斜率不存在两种情况；由两直线平行得到关于a的方程，解方程可得a值，再代入验证两直线是否重合，即可判断出D的真假．
本题考查两条直线平行的性质的应用及直线恒过定点的求法，两条直线的交点的求法，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A，由向量加法的三角形法则得AB+BC+CD+DA=0，故A正确；
对于选项B，注意线面角的范围是0°～90°，因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为130°，
所以直线l与平面α所成的角为90°−(180°−130°)=40°，故B错误；
对于选项C，假设{a+b,b+c,a+b+c}不是空间一个基底，
那么存在实数x，y使得a+b+c=x(a+b)+y(b+c)成立，
即a+b+c=xa+(x+y)b+yc，
因为{a,b,c}是空间的一个基底，
所以1=x1=x+y1=y，该方程组没有实数解，
因此假设不成立，所以{a+b,b+c,a+b+c}也是空间的一个基底，故C正确；
对于选项D，由题意得OB=3OA，OC=2OA，则OA,OB,OC共线，
故点A，B，C不能构成三角形，故D正确．
故选：ACD．
根据空间向量加法的运算法则，线面角的定义，结合空间向量基底的性质、向量共线的意义可逐项判断即可．
本题主要考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的基本定理，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：对于A，由题意，AD⋅AA1=|AD|⋅|AA1|cs45°，AB⋅AA1=|AB|⋅|AA1|cs45°，
∴AD⋅AA1=AB⋅AA1，
∴BD=AD−AB，
∴BD⋅AA1=(AD−AB)⋅AA1=AD⋅AA1−AB⋅AA1=0，
∴BD⊥AA1，A正确；
对于B，连接A1C，
由选项A知BD⊥AA1，由题意BD⊥AC，
∵AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1，
∵A1C⊂平面ACC1A1，所以BD⊥A1C，
∵A1O|=|AO|，|AO|=|CO|，所以|AO|=|CO|=|A1O|，
∴∠A1AO=∠AA1O，∠CA1O=∠A1CO，
∵∠A1AO+∠AA1O+∠CA1O+∠A1CO=π，
∴∠AA1O+∠CA1O=π2，
∴△AA1C为直角三角形，即A1C⊥AA1，
∵AA1/​/BB1，
∴A1C⊥BB1，
∵BB1∩BD=B，BB1，BD⊂平面BDD1B1，
∴A1C⊥平面BDD1B1，
∴B正确；
对于C，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O为BD的中点，
∴AO=12AB+12AD，
∴A1O=A1A+AO=A1A+12AB+12AD，所以C错误；
对于D，设AB=a，AA1=b，
∵在菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴AC=2AO=2ABcs30°= 3a，
∵∠A1AD=∠A1AB=45°，
∴AA1⋅(AB+AD)=AA1⋅AB+AA1⋅AD=|AA1|⋅|AB|cs45°+|AA1|⋅|AD|cs45°
= 22ab+ 22ab= 2ab，
∴cs∠A1AC=AA1⋅AC|AA1|⋅|AC|=AA1⋅(AB+AD) 3ab= 2ab 3ab= 63，
∴D错误，
故选：CD．
A选项，根据空间向量计算出BD⋅AA1=0，得到BD⊥AA1，A正确；B选项，作出辅助线，证明出BD⊥平面ACC1A1，得到BD⊥A1C，根据|A1O|=|AO|得到△AA1C为直角三角形，即A1C⊥AA1，结合BD⊥AA1，证明出线面垂直；C选项，根据空间向量基本定理得到A1O=A1A+AO=A1A+12AB+12AD；D选项，利用空间向量计算出AA1⋅(AB+AD)= 2ab，从而得到cs∠A1AC= 63．
本题考查了线面垂直的判定，空间向量基本定理，空间向量的运算，考查了空间想象能力和计算求解能力，属于中档题．
12.【答案】7
【解析】解：根据题意可知，OA⋅OB=−10+1+3x=0，解得x=3，
故OB=(−2,1,3)，所以AB=OB−OA=(−2,1,3)−(5,1,3)=(−7,0,0)，
故|AB|= (−7)2+02+02=7．
故答案为：7．
直接利用向量垂直的充要条件可求出x的值，进而可求出AB的坐标，结合空间向量的模长公式可求出|AB|的值．
本题考查了向量垂直，属于基础题．
13.【答案】−6+ 15或−6− 15
【解析】解：直线2x+y−3=0与直线4x+2y+a=0平行，
又直线2x+y−3=0，即4x+2y−6=0，
直线4x+2y−6=0与直线4x+2y+a=0之间的距离为 32，
则|−6−a| 42+22= 32，解得a=−6+ 15或−6− 15．
故答案为：−6+ 15或−6− 15．
结合平行直线间的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
14.【答案】213
【解析】【分析】
本题考查空间向量以及应用，涉及棱柱的相关知识，属于中档题．
设AM=λAC1(0