2022-2023学年广西玉林市四校联考高二（下）联考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年广西玉林市四校联考高二（下）联考数学试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(    )

A.  B.
C.  D.

2.  命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.  十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，，，则下列命题正确的是(    )

A. 若且，则 B. 若，，则
C. 若且，则 D. 若，，则

4.  若幂函数在区间上单调递增，则(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.  甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技能比赛，决出第名到第名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”，对乙说：“你不是最后一名”，从这两个回答分析，人名次的不同排列情况共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6.  蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率每分钟鸣叫的次数与气温单位：存在着较强的线性相关关系某地观测人员根据如表的观测数据，建立了关于的线性回归方程则当蟋蟀每分钟鸣叫次时，该地当时的气温预报值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山个景点中随机选择其中一个，记事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若不等式的解集是，则下列选项正确的是(    )

A.  B.
C. 且 D. 不等式的解集是

10.  下列说法正确的是(    )

A. 设随机变量等可能取，，，，，如果，则
B. 若随机变量的概率分布为，且是常数，则
C. 设随机变量服从两点分布，若，则成功概率
D. 已知随机变量，则

11.  已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，且满足，，则(    )

A. 的图象关于点对称 B. 是周期为的周期函数
C.  D.

12.  已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，若，则(    )

A.  B. 的取值范围是
C. 直线与的交点的横坐标恒为 D. 的取值范围是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若随机变量服从正态分布，且，则的值是______ ．

14.  同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应由长期的经验知，三家产品的正品率分别为、、，甲、乙、丙三家产品数占比例为：：，将三家产品混合在一起从中任取一件，求此产品为正品的概率______ ．

15.  一个篮球运动员投篮一次得分的概率为，得分的概率为，不得分的概率为，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为，则的最小值为______ ．

16.  已知函数在上没有最小值，则的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，，若的展开式中，_______．
求的值；
求的值．
在只有第项的二项式系数最大，第项与第项的二项式系数相等，所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面横线处问题中，解决上面两个问题注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

18.  本小题分
已知集合，．
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；
若，成立，求的取值范围．

19.  本小题分
为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了名居民，经统计这人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为：，将这人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示．
求的值及通过电子阅读的居民的平均年龄同一组中数据用该组区间中点值作代表；
把年龄在的居民称为青少年组，年龄在的居民称为中老年组，若选出的人中通过纸质阅读的中老年有人，请完成下面列联表，依据的独立性检验，能否认为阅读方式与年龄有关联？

附：

20.  本小题分
是定义在上的奇函数，且．
求，的值；
判断函数的单调性不需证明，并求使成立的实数的取值范围．

21.  本小题分
年月日教育部制定出台了关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见也称“强基计划”，意见宣布：年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中．
Ⅰ若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
Ⅱ强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的范围．

22.  本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
当时，若，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：图中阴影表示为，
因为或，
所以．
故选：．
观察图并运用集合的交、补运算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：命题“，”的否定是，．
故选：．
利用特称命题的否定规则即可得到所给命题的否定形式．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对，当，时，，故错误；
对，当，，，时，，故错误；
对，，，则，，则，故C正确；
对，当，，，，满足前提，，但此时，，，故错误．
故选：．
对，，举反例，对利用不等式的基本性质判断即可．
本题主要考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，
所以且，
由，得或，
当时，，满足题意；
当时，足，不符合题意．
综上．
故选：．
根据幂函数的概念和单调性可求出结果．
本题主要考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，甲不是冠军，乙不是最后一名，
因为人名次的不同排列共有，
其中甲是冠军的排列方法有，
乙是最后一名的排列方法有，
甲是冠军且乙是最后一名的排列方法有，
所以甲不是冠军，乙不是最后一名的排列方法有．
故选：．
根据题意，计算得到总情况数，然后计算得到甲是冠军与乙是最后一名的情况数，从而即可得到结果．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
，
样本中心点为，
代入，可得，，
，
当时，．
当蟋蟀每分钟鸣叫次时，该地当时的气温预报值为．
故选：．
根据题意，先求得样本中心点的坐标从而得到，然后将代入计算即可得到结果．
本题考查线性回归直线方程的性质，方程思想，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题知，，，
所以．
故选：．
先利用古典概率公式求出和的概率，再利用条件概率公式即可求出结果．
本题主要考查条件概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：易知，
当时，由可得关于的方程有个不等的实根，
令，
当时，，
则，
当时，，，则，此时函数单调递减，
当时，，，则，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，
作出函数与函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是．
故选：．
分析可知关于的方程有个不等的实根，构造函数，分析可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想和运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由于不等式的解集是，
所以，B正确；
且，即，则，，
所以，A正确；
，，C错误；
不等式，即，
即，无解，D错误．
故选：．
根据一元二次不等式的解集求得，，的关系式，由此对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查一元二次不等式及其应用，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，设随机变量等可能取，，，，，则，
所以，则，故A正确；
对于，若随机变量的概率分布规律为，
则，其中是常数，则，故B错误；
对于，根据题意可得，又因为，
联立即可解得，故C正确；
对于，因为随机变量，所以，
则，故D正确．
故选：．
根据随机变量的分布列的性质逐项进行分析即可求解．
本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，考查运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，则，
而函数是定义在上的偶函数，则，即，
变形可得：，则的图象关于点对称，A正确；
对于，函数是定义在上的奇函数，则的图象关于点对称，则有，
又由的图象关于点对称，则，
综合可得：，即，是周期为的周期函数，B错误；
对于，的图象关于点对称，则有，C正确；
对于，，则，，
又由，则，，
的图象关于点对称，则，
的图象关于点对称，则有，，，
则有，
故，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：不妨设，，则，，
当时，，
当时，，
由导数的几何意义知，．
因为的图象在，两点处的切线互相垂直，所以，即．
对于，因为，所以A正确；
对于，因为：，：，
则，，所以，所以B正确；
对于，当时，，
即直线与的交点的横坐标恒小于，所以C错误；
对于，，所以D正确．
故选：．
由题意分别表示出，，两直线相互垂直可得，由代入中化简即可判断正误；求得及的直线方程，由与轴相交可求得点坐标，由两点间距离公式可求得，再根据的取值范围，即可求得的范围；求得及的直线方程后联立求得横坐标，化简即可比较横坐标与的大小关系；由距离公式表示出展开后由基本不等式即可求得取值范围．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方差，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为随机变量服从正态分布，且，
所以，
因为，，
所以，
故答案为：．
根据正态分布的对称性求解即可．
本题考查正态分布相关知识，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，设事件表示取到的产品为正品，，，分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．
则，且，，两两互斥，
甲、乙、丙三家产品数占比例为：：，则，，，
则，，，
故．
故答案为：．
设事件表示取到的产品为正品，，，分别表示产品由甲、乙、丙厂生产，由全概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件的定义和性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为一位篮球运动员投篮一次得分概率为，得分概率为，不得分的概率为，
且，，，，
已知他投篮一次得分的数学期望为，
所以，
此时，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
由题意，得到，再结合基本不等式即可求得的最小值．
本题考查了离散型随机变量的期望与基本不等式，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
令，解得：或，
即时，在递减，在递增，
此时时，取最小值，舍去，
时，在递增，在递减，在递增，
由题意在没有最小值，
则，解得：，
当时，在显然没有最小值，成立，
当时，在递增，在递减，在递增，
由题意在没有最小值，
则，解得：，
即时，在递增，在递减，
故在没有最小值，
综上，，
故答案为：．
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的最小值的范围确定的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．
 

17.【答案】解：在二项式的展开式中，
若选填，只有第项的二项式系数最大，则展开式中有项，即；
若选填，第项与第项的二项式系数相等，
则，即；
若选填，所有二项式系数的和为，
则，即．
故；
二项式的展开式的通项，
可知的奇数次方的系数为负，的偶数次方的系数为正．
在中，
取，得；
取，得．
； 

【解析】根据题意，由二项式的性质即可得到的值；
根据题意，由可得，从而得到其展开式的通项，然后再取与即可得到结果．
本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：若“”是“”的充分不必要条件，
则，而不为空集，
则等号不同时成立，解得，
即的取值范围是；
设，
则，
，
，
由题意得，即，
即的取值范围为． 

【解析】根据充分不必要条件得出集合，的包含关系，根据包含关系可求答案；
根据二次函数区间最值，及二次不等式恒成立可求答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了二次函数的性质，属于基础题．
 

19.【答案】解：由表可知，，解得；
各组的频率依次为，，，，，
所以通过电子阅读的居民的平均年龄为岁．
所以的值为，通过电子阅读的居民的平均年龄为岁．
因为人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为：，
所以电子阅读人，纸质阅读人，
因为年龄在的居民称为青少年组，年龄在的居民称为中老年组，
所以电子阅读的青少年有人，中老年有人，
补全列联表如下：

零假设：阅读方式与年龄无关，
则，
所以依据的独立性检验，能认为阅读方式与年龄有关联． 

【解析】根据频率分布直方图相关知识可解．
根据题意完成列联表见，结合独立性检验思想可解．
本题考查独立性检验相关知识，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即；
又，即，解得；
所以，经验证，函数在上是奇函数，
故，；
易知在上是增函数，
又因为是定义在上的奇函数，
由，得，
所以，
即，
解得．
所以实数的取值范围是． 

【解析】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，属于中档题．
根据函数是定义在上的奇函数得，即；再由求得的值；
根据在上是增函数，且为奇函数，不等式可化为关于的不等式组，求出解集即可．
 

21.【答案】解：Ⅰ该考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，
甲通过的考试科目的门数，
该考生报考甲大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率为：
．
当时，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，
该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率为：
．
Ⅱ甲通过的考试科目的门数，
．
设乙通过的考试科目的门数为，
则，
，
，
，
，
该考生更希望通过乙大学的笔试，
，，
再由，解得．
当该考生更希望通过乙大学的笔试时，的范围是． 

【解析】本题考查概率、离散型随机变量的数学期望的求法，涉及到相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是中档题．
Ⅰ甲通过的考试科目的门数，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式求解；
Ⅱ求出甲通过的考试科目的门数，设乙通过的考试科目的门数为，利用相互独立事件概率乘法公式求出，现由该考生更希望通过乙大学的笔试，，能求出的范围．
 

22.【答案】解：的定义域为，
因为，
当时，，
所以在上单调递增；
当时，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
证明：当时，，定义域为，
，所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
设，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即，
又因为，，所以，
又因为在上单调递减，
所以，即． 

【解析】先求定义域，再求导，分与两种情况，由导函数的正负求出函数的单调性；
先结合中函数单调性得到，构造，求导得到其单调性，从而证明出，得到结论．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，极值点偏移问题的证明，分类讨论思想，化归转化思想，属中档题．