2025-2026学年海南省琼海市嘉积中学高三（上）第一次月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2025-2026学年海南省琼海市嘉积中学高三（上）第一次月考数学试卷（9月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|y= x},B={x|−2≤x≤1}，则A∩B=( )
A. {x|01”是“1a0且a≠1)，若f(−3)0，则( )
A. a+c>b+cB. ca>cbC. ac>bcD. b+ca+c>ba
10.眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”(设为事件A)和“老花”(设为事件B)是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设P(A)=12，P(B)=13，P(B−|A)=23，则( )
A. A与B互为对立B. A与B相互独立
C. P(A+B)=P(B−)D. P(A|B)=P(A−|B−)
11.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①f(2)=16；②对∀x，y∈(0,+∞)，有f(xy)=f(x)f(y)；③∀x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，有(x1−x2)(f(x1)−f(x2))1的解集为(0, 12)
C. f(x)+f(1x)≥2
D. ∀n∈N,f(20)+f(2)+f(22)+⋯+f(2n)0，则f(x)=0根为______；若函数y=f(f(x)−a)有四个零点，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB=(2c−b)csA．
(1)求A；
(2)若a= 6，求△ABC的周长的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ADC=π3，△PAD为正三角形，AC=2 3，PC=3 2．
(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=l(a>b>0)的离心率为 22，且过点(2, 2).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)设A、B为椭圆C的左、右顶点，过C的右焦点F作直线l交椭圆于M，N两点，分别记△ABM，△ABN的面积为S1，S2，求|S1−S2|的最大值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax2−lnx−1，g(x)=xex−ax2(a∈R)．
(1)求g(x)在x=0处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)证明：f(x)+g(x)≥x．
19.(本小题17分)
为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为34，答错的概率为14，且每道题答对与否互不影响．
(1)求小明答4道题后积分小于6的概率．
(2)设小明答5道题后积分为X，求E(X)和D(X)．
(3)若小明一直答题，直到积分为0或12时停止，记小明的积分为i(i=0,1,2,⋯,12)时最终积分为12的概率为Pi，则P0=0，P12=1．
(i)证明：{Pi+1−Pi}(i=0,1,2,⋯,11)为等比数列；
(ii)求P6的值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：若函数y= x有意义，则x≥0，
所以集合A={x|y= x}={x|x≥0}，
结合B={x|−2≤x≤1}，可得A∩B={x|0≤x≤1}．
故选：B．
根据函数y= x有意义化简集合A，然后根据交集的定义求解，可得答案．
本题主要考查求函数的定义域、交集的运算法则等知识，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算法则化简、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由题利用复数的运算法则化简可得z=12−32i，进而根据复数虚部的定义即可得出结果．
【解答】
解：由z(1+i)=2−i(i为虚数单位)，
∴z(1+i)(1−i)=(2−i)(1−i)，
所以z=12−32i，
则z的虚部为−32．
故本题选C．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题．
根据充分条件，必要条件和充要条件分别进行判断即可．
【解答】
解：由1a1或a1，能够推出1a1是1ab>0，得1a0，则cab>0，则ac>bc，C正确；
对于D，b+ca+c−ba=a(b+c)−b(a+c)a(a+c)=c(a−b)a(a+c)>0，D正确．
故选：ACD．
根据给定条件，利用不等式性质、结合幂函数单调性逐项判断即得．
本题主要考查不等式大小的比较，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，事件A与B可以同时发生，也可以同时不发生，故A与B不是对立事件，A错误；
对于B，P(B−|A)=23，则P(B|A)=13，故P(AB)=P(A)P(B|A)=12×13=16，
则有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A、B相互独立，B正确；
对于C，P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=12+13−16=23=P(B−)，C正确；
对于D，由B的结论，事件A、B相互独立，则A−、B−也相互独立，
故P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)P(B)=P(A)=12，
P(A−|B−)=P(A−B)−P(B−)=P(A−)=1−P(A)=12，故D正确；
故选：BCD．
根据题意，由对立事件的定义分析A，由相互独立事件的性质分析B，由和事件的概率分析C，由条件概率和相互独立事件的性质分析D，综合可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及相互独立事件、对立事件的判断，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由f(xy)=f(x)f(y)，令x=1，y=2，得f(2)=f(1)⋅f(2)，
∵f(2)=16≠0，∴f(1)=1，故A正确；
对于B，由∀x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，有(x1−x2)(f(x1)−f(x2))1=f(1)，
∴4x−10，解得140时，f(x)=0的根为2，
综上，f(x)=0根为−1或2；
(2)因为f(x)=xex+1e,x≤0x2−2x,x>0，
当x≤0时，由(1)f(x)min=f(−1)=0，则0≤f(x)≤1e，
当x>0时，f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，
则函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
且仅当f(2)=0，且f(x)≥−1，
因为当y=f(f(x)−a)=0时，则有f(x)−a=2或f(x)−a=−1，
即f(x)=a+2或f(x)=a−1，
由图象得，要使函数y=f(f(x)−a)有四个零点，
则a+2>1e00．
因为y=ex, y=−1x在(0,+∞)上单调递增，则ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
且ℎ(12)= e−2〈0, ℎ(1)=e−1〉0，
可知ℎ(x)在(0,+∞)上存在唯一零点x0∈(12, 1), ex−1x0=0，
当00，解得x> 12a；令f′(x)0，
则F′(x)=(x+1)ex−1x−1=(x+1)(ex−1x)，
由x>1可知x+1>0，令ℎ(x)=ex−1x, x>0．
因为y=ex, y=−1x在(0,+∞)上单调递增，则ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
且ℎ(12)= e−2〈0, ℎ(1)=e−1〉0，
可知ℎ(x)在(0,+∞)上存在唯一零点x0∈(12, 1), ex−1x0=0，
当00讨论即可得；
(3)令F(x)=f(x)+g(x)−x，则F′(x)=(x+1)(ex−1x)，构造函数ℎ(x)=ex−1x，结合零点存在性定理可得ℎ(x)在(0,+∞)上存在唯一零点x0，则可得F(x)单调性，即可得其最小值F(x0)，即可得证．
本题考查导数的几何意义以及导数在函数单调性中的应用，属于中档题．
19.【答案】13256；
E(Y)=154, D(Y)=1516；
(i)证明见解析；(ii)729730
【解析】(1)某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，
每答对一题加1分，每答错一题减1分，
已知小明每道题答对的概率为34，答错的概率为14，且每道题答对与否互不影响，
小明答4道题后积分小于6，
则小明4题都答错，或答对1题，答错3题，
故所求概率小明答4道题后积分小于6的概率为(14)4+C41×34×(14)3=13256；
(2)设小明答5道题后积分为X，设小明答对的题数为Y，则他答错的题数为5−Y，
所以X=6+Y−(5−Y)=2Y+1，
由题意知Y～B(5, 34)，
根据二项分布期望和方差公式可得E(Y)=5×34=154, D(Y)=5×34×(1−34)=1516，
根据期望和方差的性质可得E(X)=2E(Y)+1=2×154+1=172,D(X)=4D(Y)=4×1516=154；
(3)若小明一直答题，直到积分为0或12时停止，
记小明的积分为i(i=0,1,2,⋯,12)时最终积分为12的概率为Pi，则P0=0，P12=1；
证明：(i)当小明的积分为i(i=1,2,⋯,11)时，
若小明接下来一题答对，则积分变为i+1，
若小明接下来一题答错，则积分变为i−1，
由全概率公式有Pi=34Pi+1+14Pi−1，整理可得Pi+1−Pi=13(Pi−Pi−1)，
又P1−P0=P1≠0，
所以{Pi+1−Pi}(i=0,1,2,⋯,11)为等比数列；
(ii)由(i)可得Pi+1−Pi=13iP1，
所以P12=(P12−P11)+(P11−P10)+⋯+(P2−P1)+P1=P1(1−1312)1−13=32(1−1312)P1，
又P12=1，所以P1=23(1−1312)，
所以P6=(P6−P5)+(P5−P4)+(P4−P3)+(P3−P2)+(P2−P1)+P1
=P1(1−136)1−13=23(1−1312)⋅(1−136)1−13=1−1361−1312=1−136(1+136)(1−136)=11+136=729730，
所以P6的值为729730．
(1)分4题都答错，或答对1题，答错3题两种情况，利用独立事件的概率公式求解；
(2)设小明答对的题数为Y，则X=2Y+1，再利用二项分布的期望和方差公式求出E(Y)，D(Y)，再利用期望和方差的性质求出E(X)，D(X)；
(3)(i)由全概率公式得Pi=34Pi+1+14Pi−1，再结合等比数列的定义可求证；
(ii)由(i)得Pi+1−Pi=13iP1，再结合等比数列的前n项和公式求出P12，进而得出P1，即可求出P6．
本题考查了离散型随机变量期望和方差的计算，属于中档题．