2023-2024学年江苏省淮安市清江浦区淮阴中学等四校高三（上）期初联考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省淮安市清江浦区淮阴中学等四校高三（上）期初联考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合A={m,−1,2}，其中m为实数.令B={a3|a∈A}，C=A⋃B.若C的所有元素和为9，则C的所有元素之积为( )
A. 0B. 2C. 4D. 0或4
2. 已知复数z满足|z|=1，且z+1z−+1=13+ai，则|a|=( )
A. 13B. 2 23C. 35D. 45
3. 设整数n≥4，P(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a，b∈{1,2,3,⋯,n}，a>b，记An为满足a−b≥3的点P的个数，则An=( )
A. n−3B. n(n−1)C. n−2D. (n−2)(n−3)2
4. 若△ABC的内角A，B，C满足sinA=csB=tanC，则A与B的关系为( )
A. A−B=π2B. A+B=π2C. B−A=π2D. A+B=π3
5. 1986年4月26日，乌克兰普里皮亚季邻近的切尔诺贝利核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物为锶−90，它每年的衰减率约为2.5%.专家估计，当锶−90含量减少至初始含量的约1.6×10−9倍时，可认为该次核泄漏对自然环境的影响已经消除，这一过程约持续
(参考数据：lg2≈0.301，lg975≈2.989)( )
A. 400年B. 600年C. 800年D. 1000年
6. 已知线段AB是抛物线y2=4x的一条弦，且AB中点M在x=1上，则点A横坐标( )
A. 有最大值，无最小值B. 无最大值，有最小值
C. 无最大值，无最小值D. 有最大值，有最小值
7. 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是( )
A. 101⋅298B. 101⋅297C. 100⋅298D. 100⋅297
8. 设g(x)=f(x)x2，f(0)=0，对于x，y≠0，有g(xy)=g(x)+g(y)，则x=0是f(x)的( )
A. 极大值点B. 极小值点C. 非极大极小值点D. ABC选项均可能
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知a∈R，则函数f(x)=|x+a|(x−2a)的图象可能是( )
A. B. C. D.
10. 已知O为坐标原点，点A(1sinθ,1csθ),B(sinθ,csθ),C(1sin2θ,1cs2θ),D(8,1)，其中θ为锐角，则( )
A. OA⋅OB为定值B. |OA+OB|的最大值为3
C. OC⋅OD的最小值为9+4 2D. OA⋅OD的最小值为5 5
11. 有方程x+y+z=2023，试讨论有序数对(x,y,z)解的个数.下列分析正确的是( )
A. 若x，y，z均为正整数，则(x,y,z)解的个数为C20222
B. 若x，y，z均为非负整数，则(x,y,z)解的个数为C20252
C. 若x，y，z均为正整数，且x，y，z两两不等，则(x,y,z)解的个数为341044
D. 若x，y，z均为正整数且满足x≤y≤z，则(x,y,z)解的个数为341044
12. 设函数f(x)=f1(x)=x x2+1，且∀n∈N*都有fn+1(x)=f(fn(x))，则下列判断正确的是( )
A. ∀n∈N*，y=fn(x)的图象关于原点对称
B. ∀n∈N*，直线y=m(m>0)和y=fn(x)的图象至多只有一个交点
C. ∃n∈N*，命题“∃a，b∈R，满足(a−b)[fn(a)−fn(b)]<0”成立
D. ∃n∈N*，使得∀y∈(0,+∞)，都有f1(y)+f2(y)+⋯+fn(y)>2 n成立
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 请写出一个同时满足以下三个条件的函数f(x)=______．
①f(x)的定义域是R；
②f(x)是偶函数；
③f(x)的值域为[0,1)．
14. 现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为______ .(用数字作答)
15. 将边长为1的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长)2梯形的面积，则S的最小值是______．
16. 设椭圆T：x2a2+y220=1(a>2 5)的右焦点为F，过点P(1,1)的直线l与椭圆交于点A，B，M为AB的中点，使得|FM|是|FA|、|FB|的等比中项，则a的最小整数值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．
(1)试证明：BDDC=ABsin∠BADACsin∠DAC；
(2)若P为重心，AD=5，BE=4，CF=3，求△ABC的面积．
18. (本小题12.0分)
已知{an}是等差数列，a2+a5=16，a5−a3=4．
(Ⅰ)求{an}的通项公式和i=2n−12n−1ai；
(Ⅱ)已知{bn}为等比数列，对于任意k∈N*，若2k−1≤n≤2k−1，则bk(i)当k≥2时，求证：2k−1(ii)求{bn}的通项公式及其前n项和．
19. (本小题12.0分)
如图，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为矩形，且M为线段EF上的动点，AB/​/CD，∠ABC=90°，AD=2DE，AB=2CD=2BC=2．
(1)当M为线段EF的中点时，
(ⅰ)求证：AM⊥平面BDM；
(ⅱ)求直线AM与平面MBC所成角的正弦值；
(2)记直线AM与平面MBC所成角为α，平面MAD与平面MBC的夹角为β，是否存在点M使得α=β？若存在，求出FM；若不存在，说明理由．
20. (本小题12.0分)
已知双曲线C：x2−y2=1．
(1)求C的右支与直线x=100围成的区域内部(不含边界)整点(横纵坐标均为整数的点)的个数．
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(−2,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
21. (本小题12.0分)
某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
(I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
(II)求使P(X=m)取得最大值的整数m．
22. (本小题12.0分)
设f(x)=ln(x+1)+ x+1+ax+b(a,b∈R,a,b为常数)，曲线y=f(x)与直线y=32x在(0,0)点相切．
(I)求a，b的值；
(II)证明：当0答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据集合中元素的互异性，m≠−1且m≠2.由题意，B={a3|a∈A}={m3,−1,8}．
情况一：若m3=m时，即m=0或m=1，
当m=0时，A={0,−1,2}，B={0,−1,8}，C=A⋃B={0,−1,2,8}，
C的所有元素和为9，符合题意，此时C的所有元素之积为0；
当m=1时，A={1,−1,2}，B={1,−1,8}，C=A⋃B={1,−1,2,8}，
C的所有元素和为10，不符题意；
情况二：若m3=2时，此时m=32，
A={32,−1,2}，B={2,−1,8}，
但C=A⋃B此时含有唯一的无理数32，不可能元素之和为9，舍去；
情况三：若m≠±1，m≠2，m≠32且m≠0时，则A，B中只有唯一重复元素−1，
则C=A⋃B={m,−1,2,m3,8}，由题意m−1+2+m3+8=9，
即m3+m=0=m(m2+1)，此时m=0，矛盾．
综上所述，m=0时符合题意，此时C的所有元素之积为0．
故选：A．
根据集合中元素的互异性讨论参数的取值，然后得到并集的结果，根据并集中的元素之和求出参数，然后求元素之积．
本题考查集合元素的互异性与无序性的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．
2.【答案】B
【解析】解：令z=csθ+isinθ≠−1，则z−=csθ−isinθ≠−1，
所以z+1z−+1=csθ+1+isinθcsθ+1−isinθ=(csθ+1+isinθ)2(csθ+1)2+sin2θ=2cs2θ+2csθ+2sinθ(csθ+1)i2+2csθ=csθ+isinθ=13+ai，
则csθ=13sinθ=a，故|a|= 1−cs2θ=2 23．
故选：B．
由题设令z=csθ+isinθ，利用复数除法化简z+1z−+1，再由复数相等求|a|．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意a≥b+3且b∈{1,2,3,⋯,n}，故a∈{4,5,6,⋯,n}，整数n≥4，
当b=1，对应a有n−3个；当b=2，对应a有n−4个；……；当b=n−3，对应a有1个；
所以满足a−b≥3的点P的个数(n−2)(n−3)2．
故选：D．
由题意a≥b+3且b∈{1,2,3,⋯,n}，则a∈{4,5,6,⋯,n}，分析b的不同取值对应a的个数，再应用等差数列前n项和公式求点P的个数．
本题主要考查简单的合情推理，属中档题．
4.【答案】A
【解析】解：因为sinA=csB，且 A，B，C为△ABC的内角，
所以sinA=csB>0，
所以0所以A=B+π2或A+B=π2，
若A+B=π2，则C=π2，此时tanC不存在，故舍去，
所以A=π2+B，即A−B=π2．
故选：A．
依题意由sinA=csB可得A=B+π2或A+B=π2，再分类讨论，即可判断．
本题考查了三角函数的性质在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设初始量为a，n年后为初始含量的1.6×10−9倍，
∴a×(1−2.5%)n=1.6×10−9×a，
∴(9751000)n=1.6×10−9，
两边同时取常用对数得，n(lg975−3)=lg16−10，
∴n=799.63636≈800，
故选：C．
利用题中的条件，建立等式关系，即可解出．
本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由抛物线范围可知，x≥0，
如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0，
由AB中点M在x=1上，可知x1+x22=1，即x1=2−x2，
∴x1≤2，
即如图2，当点B在原点时，点A横坐标有最大值，为2．
故选：D．
由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在x=1上，从而最大值为2．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据下列数表的规律可以发现，第一行的公差是20，第二行公差是21，
然后下面每一行的公差依次是22，23⋯第99行的公差是298，
设第n行的第一个数是an，
则a100=a99+(a99+298)=2a99+298=2(2a98+297)+298=22a98+2⋅298=⋯=299a1+99⋅298=101⋅298，
即第100行第1个数是101⋅298．
故选：A．
先发现每一行的公差的规律，然后利用数表的性质进行求解．
本题主要考查了归纳推理，考查了等差数列的性质，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为对于x，y≠0，有g(xy)=g(x)+g(y)，
可设g(x)=ln|x|，
此时f(x)=x2ln|x|,x≠00,x=0，
易知函数f(x)在定义域内连续且为偶函数，
当x∈(−1,0)⋃(0,1)时，ln|x|<0，
所以f(x)<0=f(0)，
则x=0为f(x)的极大值点；
可设g(x)=−ln|x|，
此时f(x)=−x2ln|x|,x≠00,x=0，
易知函数f(x)在定义域内连续且为偶函数，
当x∈(−1,0)⋃(0,1)时，ln|x|<0，
所以f(x)>0=f(0)，
则x=0为f(x)的极小值点；
当f(x)=0，g(x)=0(x≠0)，其满足g(xy)=g(x)+g(y)，
所以x=0为f(x)的非极大极小值点．
故选：D．
由题意，根据极值点的定义，结合对数函数的性质，可得答案．
本题考查对数函数的性质以及极值点的定义，考查了逻辑推理和运算能力．
9.【答案】BC
【解析】解：不妨a=1，函数的解析式为：f(x)=|x+1|(x−2)，此时函数的图象，
当a=−1时，函数的解析式为：f(x)=|x−1|(x+2)，此时函数的图象为：，
故选：BC．
通过a的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可．
本题考查函数的图象的判断，是中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由θ为锐角，故sinθ，csθ∈(0,1)，
对于选项A，OA⋅OB=1sinθ×sinθ+1csθ×csθ=2为定值，
即选项A正确；
对于选项B，|OA+OB|= (1sinθ+sinθ)2+(1csθ+csθ)2= (1sinθcsθ)2+5= 4sin22θ+5，
所以|OA+OB|≥3，
当且仅当sinθ=csθ= 22时等号成立，
故|OA+OB|的最小值为3，
即选项B错误；
对于选项C，OC⋅OD=8sin2θ+1cs2θ=8sin2θ+11−sin2θ，而sin2θ，1−sin2θ∈(0,1)，
所以(8sin2θ+11−sin2θ)(sin2θ+1−sin2θ)=8(1−sin2θ)sin2θ+sin2θ1−sin2θ+9≥2 8(1−sin2θ)sin2θ⋅sin2θ1−sin2θ+9=9+4 2，
当且仅当sinθ= 8−2 27时等号成立，
故OC⋅OD的最小值为9+4 2，
即选项C正确；
对于选项D，OA⋅OD=8sinθ+1csθ，且sinθ，csθ∈(0,1)，
则设f(θ)=8sinθ+1csθ，θ∈(0,π2)，
则f′(θ)=−8csθsin2θ+sinθcs2θ=(sinθ−2csθ)(sin2θ+2sinθcsθ+4csθ2)sin2θcs2θ，
则当02时，f′(θ)>0，
即tanθ=2，即sinθ=2 55，csθ= 55时，8sinθ+1csθ取最小值5 5．
即选项D正确．
故选：ACD．
由向量数量积、模长的坐标表示写出各项关于θ对应的表达式，应用三角恒等变换、基本不等式“1”的代换判断各项正误．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了均值不等式，属中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：选项A：因x，y，z均为正整数，x+y+z=2023，
则(x,y,z)解的个数相当于把2023个1用两个档板分成3份，分别对应x，y，z，
所以(x,y,z)解的个数为C20222，故A正确；
选项B：由x+y+z=2023得(x+1)+(y+1)+(z+1)=2026，
因x，y，z均为非负整数，所以(x+1)，(y+1)，(z+1)均为正整数，
(x,y,z)与(x+1,y+1,z+1)一一对应，
(x+1)+(y+1)+(z+1)=2026相当于把2026个1用两个档板分成3份，分别对应x+1，y+1，z+1，
所以(x,y,z)解的个数为C20252，故B正确；
C选项：因x，y，z均为正整数，x+y+z=2023，
若x=y=z，则x=20233，不满足x为正整数，
故x，y，z至多有两个相等，
若x=y≠z，则2x+z=2023，故x的取值为从1到1011的整数，共1011个，
所以x，y，z有两个相等时(x,y,z)的个数为C32×1011=3033个，
故x，y，z两两不等时，(x,y,z)解的个数为C20222−3033=2040198个，故C错误；
选项D：若x，y，z均为正整数且满足x≤y≤z，
当x=y≤z时，因x+y+z=2023，
所以z=2023−2x>x，得x<20233，即x≤674，
所以x的取值为从1到674的整数，共674个，
此时(x,y,z)的个数为674个．
当x≤y=z时，因x+y+z=2023，
所以y=2023−x2≥x，得x≤20233，即x≤674，
因y取正整数，所以x的取值为从1到674的奇数，共337个，
此时(x,y,z)的个数为337个，
当x2023个1用两个隔板分成3份，将其从小到大，分别对应x，y，z，
有C20222−3033A33=340033，
共有340033+674+337=341044，故D正确．
故选：ABD．
AB可转化为排列组合问题用档板法可得；C选项可先求x，y，z相等时(x,y,z)的解个数，再用排除法可得；D选项分为由相等和不相等并且x≤y≤z的不同的类，利用分类加法可得．
本题主要考查了排列组合知识，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：由题可得f2(x)=f(f1(x))=x x2+1 (x x2+1)2+1=x 2x2+1，同理得f3(x)=x 3x2+1,⋯⋯，
由此推得fn(x)=x nx2+1,x∈R，
所以fn(−x)=−fn(x)，则y=fn(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，故A对；
当x>0时，fn(x)=1 n+1x2，所以∀n∈N*，fn(x)在R上单调递增，B对，C错；
∀y∈(0,+∞),fn(y)<1 n，
故f1(y)+f2(y)+⋯+fn(y)<1 1+1 2+⋯+1 n，
当k≥1时，1 k=22 k<2 k+ k−1=2( k− k−1)，
则1 1+1 2+⋯+1 n<2 n，D错．
故选：AB．
由递推关系得到fn(x)=x nx2+1，即可得到函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可判断A、B、C，再利用放缩法证明，即可判断D．
本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题．
13.【答案】x2x2+1(答案不唯一)
【解析】解：同时满足以下三个条件①f(x)的定义域是R；②f(x)是偶函数；③f(x)的值域为[0,1)，
则函数f(x)=x2x2+1，
故答案为：x2x2+1 (答案不唯一)．
由题意，利用函数的奇偶性、定义域和值域，得出结论．
本题主要考查函数的奇偶性、定义域和值域，属于基础题．
14.【答案】15000
【解析】解：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：
(1)有一个项目有3人参加，共有C73⋅5!−C51⋅5!=3600种方案；
(2)有两个项目各有2人参加，共有12(C72⋅C52)⋅5!−C52⋅5!=11400种方案；
所以满足题设要求的方案数为3600+11400=15000．
故答案为：15000
由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：(1)有一个项目有3人参加；(2)有两个项目各有2人参加，由此可得结论．
本题考查排列、组合的实际应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
15.【答案】32 33
【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3−x，
梯形的面积为 34(1−x2)，
∴S=(3−x)2 34(1−x2)(0∴S′=4 3⋅−2(3x−1)(x−3)(1−x2)2，
令S′=0，∵0当00，
∴x=13时，S取极小值，也为最小值，且为32 33．
故答案为：32 33．
先设剪成的小正三角形的边长为x，用x表示出梯形的周长和面积，从而得到S的解析式，对函数S进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值．
本题考查函数中的建模应用，以及函数的最值求法，考查导数知识的运用，属于中档题．
16.【答案】7
【解析】解：1a2+120≤125+120<1，
∴点P(1,1)在该椭圆内，因此过点P(1,1)的直线l与椭圆必有两个交点，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∵M为AB的中点，
∴|FM|2=14(FA+FB)2=14(FA2+FB2+2FA⋅FB)
=14(|FA|2+|FB|2+2|FA|⋅|FB|⋅|FA|2+|FB|2−|AB|22|FA|⋅|FB|)
=12(|FA|2+|FB|2)−14|AB|2，
即|FM|2=12(|FA|2+|FB|2)−14|AB|2，
∵|FM|是|FA|、|FB|的等比中项，∴|FM|2=|FA|⋅|FB|，
于是有|AB|2=2(|FA|−|FB|)2，由已知得b2=20,c= a2−202，
∴|FA|= (x1−c)2+y12= x12+c2−2cx1+b2(1−x12a2)=a−cax1，
同理：|FB|=a−cax2，
由|AB|2=2(|FA|−|FB|)2⇒(x1−x2)2+(y1−y2)2=2[c2a2(x2−x1)2]，
即(y1−y2)2=a2−40a2(x2−x1)2，则有a2−40≥0，得a2≥40．
∴a的最小整数值为7．
故答案为：7．
根据中点的性质，结合点到直线距离公式、点与椭圆的位置关系、等比中项的性质进行求解即可．
本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查等比数列的性质，利用平面向量加法几何意义，结合余弦定理得到中项表达式是解题的关键，是中档题．
17.【答案】解：(1)△ABD中ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，则BD=ABsin∠BADsin∠ADB，
△ACD中ACsin∠ADC=DCsin∠DAC，则DC=ACsin∠DACsin∠ADC，
又∠ADB+∠ADC=π，则sin∠ADB=sin∠ADC，
所以BDDC=ABsin∠BADACsin∠DAC，得证；
(2)由P是重心，则AD，BE，CF为中线，又AD=5，BE=4，CF=3，
所以AP=103,PD=53,BP=83,PE=43,CP=2,PF=1，
而PC+PB=2PD，则PC2+2PC⋅PB+PB2=4PD2，
所以4+323cs∠BPC+649=4×259，可得cs∠BPC=0，且∠BPC∈(0,π)，所以∠BPC=π2，
同理PA+PB=2PF，PB+PC=2PD,PC+PA=2PE，可得cs∠APB=−45，cs∠APC=−35，
所以sin∠APB=35，sin∠APC=45，
则S△ABC=S△BPC+S△APB+S△APC=12×83×2+12×103×83×35+12×103×2×45=8．
【解析】(1)利用正弦定理及角的互补关系即可证结论；
(2)由题意AD，BE，CF为中线，可得AP=103,PD=53,BP=83,PE=43,CP=2,PF=1，再由PC+PB=2PD、PA+PB=2PF、PB+PC=2PD,PC+PA=2PE，求cs∠BPC，cs∠APB，cs∠APC，进而求对应正弦值，结合S△ABC=S△BPC+S△APB+S△APC及三角形面积公式求面积．
本题考查了解三角形问题，涉及到平面向量的运算，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵{an}是等差数列，a2+a5=16，a5−a3=4．
∴a1+d+a1+4d=2a1+5d=16a1+4d−a1−2d=2d=4，得d=2，a1=3，
则{an}的通项公式an=3+2(n−1)=2n+1(n∈N⋅)，
i=2n−12n−1ai中的首项为ai=2×2n−1+1=2n+1，项数为2n−1−2n−1+1=2n−2n−1=2×2n−1−2n−1=2n−1，
则i=2n−12n−1ai=2n−1(2n+1)+2n−1(2n−1−1)2×2=2n−1(2n+1)+2n−1(2n−1−1)=2n−1(2n+1+2n−1−1)=2n−1(2n+2n−1)=2n−1×3×2n−1=3×4n−1．
(Ⅱ)(i)∵2k−1≤n≤2k−1，∴2k≤2n≤2k+1−2，1+2k≤2n+1≤2k+1−1，
即1+2k≤an≤2k+1−1，
当k≥2时，∵bk∴bk<1+2k，且bk+1>2k+1−1，
即bk>2k−1，
综上2k−1即2k−1(ii)∵2k−1∵{bn}为等比数列，∴设公比为q，
当k≥2时，2k+1−1则2k+1−12k+1即2(2k+1)−12k+1即2−12k+1当k→+∞，2−12k+1→2，2+32k−1→2，
∴q=2，
∵k≥2时，2k−1∴2k−1即2k−12k−1即2−12k−1当k→+∞，2−12k−1→2，2+12k−1→2，
则b1=2，
则bn=2×2n−1=2n，即{bn}的通项公式为bn=2n，
则{bn}的其前n项和Tn=2(1−2n)1−2=2n+1−2．
【解析】(Ⅰ)建立方程组求出首项和公差即可求解．
(Ⅱ)根据数列递推关系，利用极限思想分别求出公比和首项，即可得到结论．
本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式以及求和公式的应用，利用方程组法以及数列的递推关系进行求解是解决本题的关键，是中档题．
19.【答案】解：(1)(i)由题意，四边形ABCD为直角梯形，且∠ABC=90°，AB//CD，
所以∠BCD=90°，所以BD= BC2+CD2= 1+1= 2，
取AB的中点N，连接DN，则CD//BN且CD=BN，且∠BCD=90°，
故四边形BCDN为矩形，
则DN/​/BC，且DN=BC，所以AD= DN2+AN2= 1+1= 2，
又由AB=2，所以BD2+AD2=AB2，所以BD⊥AD，
又平面ADM⊥平面ABCD，平面ADM⋂平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面ADM，
又AM⊂平面ADM，所以AM⊥BD，
因为MD=MA=1，AD= 2，则AM2+DM2=AD2，所以AM⊥DM，
又DM⋂BD=D，DM、BD⊂平面BDM，所以AM⊥平面BDM．

(ii)取AD的中点为P，BC的中点为Q，连接MP、PQ、QM，
过P在平面PQM内作PO垂直于MQ，垂足为O，
又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF⋂平面ABCD=AD，AF⊥AD，
所以AF⊥平面ABCD，M为EF的中点，
所以MP//AF，所以MP⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PM，
又因为BC⊥PQ，PQ∩PM=P，PQ、PM⊂平面PMQ，
所以BC⊥平面PMQ，PO⊂平面PMQ，
所以PO⊥BC，MQ⋂BC=O，MQ，BC⊂平面BCM，
得PO⊥平面BCM，因为MP= 22，PQ=32，∠MPO=π2，
所以MQ= MP2+PQ2= 12+94= 112，
由等面积法可得PO=MP⋅PQMQ=3 24 112=3 22 11=3 2222，
延长AD与BC交于点G，则D为AG的中点，G为直线AD与平面MBC的交点，

设点A到平面MBC的距离为d，直线AM与平面MBC所成的角为θ，
则POd=GPGA=34，所以d=43PO=43×3 2222=2 2211，
由AM=1，所以，sinθ=dAM=2 2211；
(2)假设存在点M，使得α=β，延长AD与BC交于点G，连接MG，
则平面AMD∩平面MBC=MG，
设AR⊥平面MBC，垂足为R，连接MR，∠AMR是直线AM与平面MBC所成的角，
因为CD/​/AB且CD=12AB，所以，点D为AG的中点，则AG=2AD=2 2，
过点R作RT垂直于MG，垂足为T，
因为AR⊥平面MBC，MG⊂平面MBC，所以AR⊥MG，
又因为RT⊥MG，AR⋂RT=R，AR、RT⊂平面ART，所以MG⊥平面ART，因为AT⊂平面ART，所以AT⊥MG，
∠ATR是二面角A−MG−B的平面角，
所以sinα=ARAM，sinβ=ARAT，
由α=β，得AM=AT，所以M、T重合，由AT⊥MG，得AM⊥MG，
设FM=x(0≤x≤ 2)，则AM2=x2+12，GM2=(2 2−x)2+12，
由勾股定理可得AM2+GM2=AG2，
即x2+12+(2 2−x)2+12=8，整理可得2x2−4 2x+1=0，
解得x= 2− 62或x= 2+ 62(舍)，
所以存在点M，当FM= 2− 62，有α=β成立．

【解析】(1)(i)利用面面垂直的性质可推导出BD⊥平面ADM，可得出AM⊥BD，利用勾股定理可得出AM⊥DM，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
(ii)取AD的中点为P，BC的中点为Q，连接MP、PQ、QM，计算出点A到平面MBC的距离以及线段AM的长，即可得出直线AM与平面MBC所成角的正弦值；
(2)假设存在点M，使得α=β，延长AD与BC交于点G，连接MG，根据已知条件得出∠AMR是直线AM与平面MBC所成的角，∠ATR是二面角A−MG−B的平面角，计算出△AMF三边边长，利用勾股定理求出x的值，
本题考查线面相关计算知识，属于中档题．
20.【答案】解：(1)已知双曲线方程为C：x2−y2=1，
令x=n，2≤n≤99时，整点时y为(n−1)2整点个数为y=2(n−1)+1=2n−1，2≤n≤99，
则区域内部(不含边界)整点为98(3+197)2=9800个；
(2)证明：由(1)知A1(−1,0)，A2(1,0)，
不妨设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
易知直线的斜率不为0，
不妨设直线MN的方程为x=my−2，且−1联立x=my−2x2−y2=1，消去x并整理得(m2−1)y2−4my+3=0，
此时Δ=(−4m)2−4(m2−1)×3=4m2+12>0，
由韦达定理得y1+y2=4mm2−1,y1y2=3m2−1，

所以直线MA1的方程为y=y1x1+1(x+1)，直线NA2的方程为y=y2x2−1(x−1)，
联立y=y1x1+1(x+1)y=y2x2−1(x−1)，
可得x+1x−1=y2(x1+1)y1(x2−1)=y2(my1−1)y1(my2−3)=my1y2−(y1+y2)+y1my1y2−3y1
=m⋅3m2−1−4mm2−1+y1m×3m2−1−3y1=−mm2−1+y13mm2−1−3y1=−13，
解得x=−12，
所以xP=−12，
故点P在定直线x=−12上运动．
【解析】(1)由题意x=2开始求整点通项，再应用等差数列求和公式计算即可得；
(2)设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线MA1与NA2的方程，联立直线方程，消去y，结合韦达定理计算可得x+1x−1=−13，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P在定直线x=−12上．
本题考查双曲线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】解：(I)因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以A与B相互独立，由于P(A)=P(B)=Cn−1k−1Cnk=kn，故P(A)=P(B)=1−kn，
因此学生甲收到活动信息的概率是1−(1−kn)2=2kn−k2n2
(II)当k=n时，m只能取n，此时有P(X=m)=P(X=n)=1
当kP(X=m)=CnkCk2k−mCn−km−k(Cnk)2=Ck2k−mCn−km−kCnk
当k≤m假如k≤2k−(k+1)2n+2k≤2k−(k+1)2n+2<2k+1−(k+1)2n+2当(k+1)2不能被n+2整除时，P(X=M)在m=2k−[(k+1)2n+2]处达到最大值(注：[x]表示不超过x的最大整数)，
下面证明k≤2k−(k+1)2n+2因为1≤k而2k−(k+1)2n+2−n=−(n−k+1)2n+2<0，故2k−(k+1)2n+2因此k≤2k−(k+1)2n+2综上得，符合条件的m=2k−[(k+1)2n+2]
【解析】(I)由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；
(II)由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分
22.【答案】(I)解：由y=f(x)过(0,0)，∴f(0)=0，∴b=−1
∵曲线y=f(x)与直线y=32x在(0,0)点相切．
∴y′|x=0=(1x+1+12 x+1+a)|x=0 =32+a=32
∴a=0；
(II)证明：由(I)知f(x)=ln(x+1)+ x+1−1
由均值不等式，当x>0时，2 (x+1)⋅1令k(x)=ln(x+1)−x，则k(0)=0，k′(x)=1x+1−1=−xx+1<0，∴k(x)<0
∴ln(x+1)由①②得，当x>0时，f(x)<32x
记h(x)=(x+6)f(x)−9x，则当0<32x+(x+6)(1x+1+12 x+1)−9<12(x+1)[3x(x+1)+(x+6)(3+x2)−18(x+1)]
=x4(x+1)(7x−18)<0
∴h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)=0，∴h(x)<0
∴当0【解析】(I)由y=f(x)过(0,0)，可求b的值，根据曲线y=f(x)与直线y=32x在(0,0)点相切，利用导函数，可求a的值；
(II)由(I)知f(x)=ln(x+1)+ x+1−1，由均值不等式，可得 x+10时，f(x)<32x，记h(x)=(x+6)f(x)−9x，可证h(x)在(0,2)内单调递减，从而h(x)<0，故问题得证．
本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，考查不等式的证明，正确构造函数是解题的关键．