吉林松花江中学2025届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析）

这是一份吉林松花江中学2025届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：A、自变量在分母上，不是二次函数，不符合题意；
B、不一定，当a为零时，则不，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、自变量在根号内，不是二次函数，不符合题意；
故选：C．
2. 一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是（ ）
A. 2B. ﹣2C. 3D. ﹣3
答案：B
解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项为﹣2x，
∴一次项系数为﹣2．
故选B．
3. 下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解：A、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、该图标不是中心对称图形，本选项符合题意；；
C、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意；；
D、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意；．
故选：B．
4. 若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
答案：A
解：∵二次函数解析式为：，
∴对称轴为：，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∵，
∴，故A正确．
故选：A．
5. 如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，，，则旋转角等于（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解：∵绕点顺时针旋转某个角度得到，
∴，，
又∵，且，，
∴，
即，
故选：D．
6. 2023年我国低空经济规模为万亿元，预计2025年我国低空经济规模将达到万亿元．如果设这两年低空经济规模年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解：由题意得：2024年我国低空经济规模为万亿元，
2025年我国低空经济规模为万亿元，
故，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 抛物线的顶点坐标是________．
答案：
解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
8. 点关于坐标原点对称的点坐标为_________．
答案：
解：点关于原点对称的点坐标为，
故答案为：．
9. 已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是______．
答案：
解：二次函数的图象的顶点在x轴上，
∴，
∴．
故答案为：．
10. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为____________．
答案：
解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴且，
∴．
故答案为：．
11. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_______．
答案：
解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后可得：，
故答案为：；
12. 如图，将绕点A逆时针旋转一定的角度得到，此时边经过点B，若，，则的长是______．
答案：3
解：∵由绕点逆时针旋转一定角度得到，
，
，
故答案为：3．
13. 已知关于x的方程没有实数根，则实数k的取值范围为__________．
答案：
解：∵关于x的方程没有实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，四边形是正方形，顶点B在抛物线的图象上，若正方形的边长为，且边与y轴的负半轴的夹角为，则a的值是______．
答案：
解：如图，连接，过B作轴于D， 则，
由题意得：，
∵，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，
∴在中，
∴，
∴，
∴点，
代入中，得：，
∴故答案为：．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 用直接开平方法解方程：．
答案：
解：
．
16. 用公式法解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．
答案：x1＝，x2＝
解：a=2，b=﹣3，c=﹣1，
∴△＝（﹣3）2-4×2×（﹣1）＝9+8＝17>0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
17. 已知二次函数．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你判断点是否在此二次函数的图象上．
答案：（1）函数图象的开口向上、对称轴是直线、顶点坐标为
（2）点不在此二次函数的图象上
【小问1详解】
解：∵，，
∴此函数图象的开口向上、对称轴是直线、顶点坐标为；
【小问2详解】
解：∵当时，，
∴点不在此二次函数的图象上．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）已知方程一个根为2，求k的值．
答案：（1）见解析 （2），或
【小问1详解】
解：∵，
故方程有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
设方程的另一根为a，
则，
∴，
∴，
∴，或，
解得，，或．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O对称的；
（2）将绕原点O顺时针旋转，得到，画出并写出点B的对应点的坐标．
答案：（1）作图见解析
（2）作图见解析，
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，．
20. 某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，该商店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1200元？
答案：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1200元．
解：设每件商品降价元，根据题意，得
解这个方程得，
由，得
的值
答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1200元．
21. 如图，已知抛物线与x轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长；
（3）当时，x的取值范围是_________．
答案：（1）
（2）
（3）或，
【小问1详解】
解：由题知，将，两点坐标代入函数解析式得，
，
解得．
所以抛物线的解析式为．
【小问2详解】
令得，
，
解得，．
则．
所以的长为．
【小问3详解】
由图像可知：当时，或，
22. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、．

（1）求证：．
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析；（2）
解：（1）由旋转的性质可知，
，，
为等边三角形，
，
，
．
（2）如图，在上截取，连接，

由旋转的性质可知，，，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
又，
为等边三角形，
，
又，
，
．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低康．深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状星如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）踩着高跷的小明头顶距离地面2m，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：，，
，，
分别代入，得
，解得，
该抛物线的函数解析式为；
【小问2详解】
令，则，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
故小明走出时，，头顶刚好碰到树枝．
24. 在四边形中，，，，将沿剪下来，以为旋转中心逆时针旋转，得到，旋转过程中，、与所在直线的交点分别为、．
（1）如图①，求证：；
（2）当旋转角为时，如图②，求重叠部分的面积；
（3）如图③，当点在边上时，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，直接写出的长．
答案：（1）见解析 （2）
（3）
【小问1详解】
证明：，，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
，，
是等腰直角三角形，
，
，
也是等腰直角三角形，
，
将以为旋转中心逆时针旋转，得到，
重叠部分为，且，
，，
，
，
重叠部分的面积为；
【小问3详解】
将绕点顺时针旋转，得到，
，，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在等腰直角中，，
设，则，
，，
，
在中，，
即，
解得：，
，
．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，已知矩形边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为．
（1）填空： ________， ________（用含的代数式表示）；
（2）当是等腰直角三角形时，求的值；
（3）当的长为时，求的值；
（4）当的面积等于矩形面积的时，直接写出此时的值．
答案：（1），
（2）
（3）的值为或
（4）的值为或
【小问1详解】
解：设运动时间为，
根据题意得：，，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，即，
解得：，
当是等腰直角三角形时，的值为；
【小问3详解】
，，
，即，
解得：或，
当的长为时，的值为或；
【小问4详解】
，，，
，
矩形的边长，，
，
的面积等于矩形面积的，
，
解得：或，
当的面积等于矩形面积的时，的值为或．
26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点A的坐标；
（3）连接，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
（4）连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）
（3）当点P的坐标为时，有最大值，且最大值为；
（4）存在点P，使四边形为菱形；点P的坐标为
【小问1详解】
解：将、代入得：
，
解得：，
∴
【小问2详解】
解：令，解得，
∴点A的坐标
【小问3详解】
解：设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得：；
∴直线的解析式为：，
过点作轴，如图所示：

设点，则
∴当，即点时，有最大值，且最大值为；
小问4详解】
解：设点，交轴于点，如图所示：

若四边形为菱形，则，
∴
即：，
解得：（舍）
∴点P的坐标为