河南省郑州市2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（学生版）

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这是一份河南省郑州市2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
A. B.
C D.
2. 根据下列表格中的对应值：
可判断方程必有一个根满足（）
A. B.
C. D.
3. 如图，在菱形中，，则等于（）
A B. C. D.
4. 在中，添加下列一个条件，仍不能判定平行四边形为矩形的是（）
A. B.
C. D.
5. 若方程是一元二次方程，则的值为（）
A. ±2B. 2
C. -2D. 无法确定
6. 方程的根是（）
A. B.
C. D.
7. 用长的铝合金材料做一个形状如图的长方形窗框．若窗框的面积为．设窗框的长．则根据题意列出的方程为（）
A. B.
C. D.
8. 如图，矩形中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为多少（）
A. B. C. 5D. 7
9. 对实数，定义新运算“”如下：，如，若的两根为，则的值为（）
A. B. C. D.
10. 如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M， N分别是，的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（）
A. B. 5C. 6D. 7
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．
12. 如图，菱形对角线和相交于，过点作于点连接，，若菱形的面积为，则的长为______．
13. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为______．
14. 当x的值为_______，y的值为______时，多项式的最小值是______．
15. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，则的长为______．
三、解答题（共8小题，共75分）
16. 用适当的方法解方程：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
17. 如图是一张对边平行的纸片，点A，C分别在平行边上，连接．
（1）求作：菱形，使点A，D落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，，交于点O，若，，求菱形的面积．
18. 如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，，为上的一点，连接，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，求的度数．
19. 已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰的一边长，另两边恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
20. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接．
（1）与有什么数量关系，并说明理由；
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说出理由．
21. 提出问题：为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程得，（不符合要求，舍去）．当时，，．
原方程的解为，．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
（1）运用上述换元法解方程：．
（2）若实数满足方程，则的值是_______．
22. 在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在t值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
23. 如图①，∠QPN顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C、D不重合）．
(1)如图①，当α=90°时，求证：DE+DF=AD．
(2)如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，(1)中的结论变为，请给出证明．
(3)在(2)的条件下，将∠QPN绕点P旋转，若旋转过程中∠QPN的边PQ与边AD的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
x
0
0.5
1
1.5
2
5.25
13