四川省广元市川师大万达中学2025~2026学年高二上学期第一次月考（8月）数学试卷

这是一份四川省广元市川师大万达中学2025~2026学年高二上学期第一次月考（8月）数学试卷，共5页。试卷主要包含了考生使用答题卡作答， 在锐角中，若，则的最小值是， 已知复数，则， 下列四个命题为真命题是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.考生使用答题卡作答.
2.在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上.考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回.
3.选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
第I卷（选择题，共58分）
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列计算结果是的是（ ）
A. B. C. D.
2. 某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ）
A. 40人B. 36人C. 30人D. 24人
3. 已知向量与的夹角为 ，且则 （ ）
A. B. C. D.
4. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（ ）
A. B. C. D.
5. 设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
6. 某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
A. 56B. 60C. 140D. 120
7. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）

A. B. C. D.
8. 在锐角中，若，则的最小值是（ ）
A. 4B. C. D. 8
二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知复数，则（ ）
A. 若复数z为实数，则
B. 若复数z为纯虚数，则
C. 当时，
D. 复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
10. 下列四个命题为真命题是（ ）
A. 若向量，，则与反向共线
B. 向量在上的投影向量为
C. 与向量共线的单位向量为
D. 已知向量，，则的最大值为
11. 如图，在直棱柱中，底面ABCD是边长为2菱形，，点为的中点，点为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ）

A. 平面截四棱柱所得截面是五边形
B.
C. 平面与平面ABCD所成角的余弦值为
D. 若∥平面，则点轨迹长度为
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知一组数据如下：，则这组数据的第80百分位数是______.
13. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若为直角三角形，则的面积为________．
14. 已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________.
四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若侧面底面，求证：平面
16. 课外阅读有很多好处，可以帮助学生提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力等．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生一个学期的课外阅读时间（单位：时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人．
（1）求n和a的值；
（2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（3）估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数．
17. 已知分别为锐角三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若；求周长的取值范围.
18. 如图，在边长为2的菱形中.

（1）求；
（2）若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值.
19. 如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，．
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的余弦值．