四川省广元市川师大万达中学2026届高三上学期第一次月考（8月）数学试卷[含解析]

这是一份四川省广元市川师大万达中学2026届高三上学期第一次月考（8月）数学试卷[含解析]，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】不等式，所以，
又，所以.
故选：D
2. 设a，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】对于A，因，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，
又，所以，即，故B错误；
对于C，因为，所以，，所以，故C错误；
对于D，因为，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，
又，所以，故D正确.
故选：D.
3. 已知函数，则“为幂函数”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由函数为幂函数，
得，解得或，
所以“为幂函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知函数（且）的图象经过定点，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【详解】令，得，此时，
所以定点P的坐标为，即，，所以.
故选：C
5. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ）
A. 9B. 8C. －1D. －2
【答案】C
【详解】因为，当且仅当时取等号，
所以，解得，
所以的最小值为.
故选：C.
6. 若，，则（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 10
【答案】C
【详解】设t=lgab，由换底公式可得，
所以，解得或，
由于题干中a、b地位等价，不妨设 t=lgab=3，
则，代入可得aa3=a3a=a3a，
由于a在对数的底数上，所以且，
由单调可得，解得，
则ab=a4=9，
故选：C.
7. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（ ）
A. ①③B. ②③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以，
又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确；
二次函数图像过，所以，则，
又，，所以，则，故②正确；
由，所以，又，所以，故③正确；
，故④正确.
故选：D.
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【详解】由是偶函数，得，再对等式两边求导得.
因，所以，即——①.
故函数关于点成中心对称，且定义域为，所以，.
又函数是偶函数，得，即——②.
故函数关于成轴对称，所以.
再由①②得，所以，故，
所以是函数的一个周期，且.
所以，
所以.
故选：B
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】AD
【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为R，
定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确；
对于B，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故B错误；
对于C，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误；
对于D，的定义域为R，的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确.
故选：AD.
10. 若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（ ）
A. 幸福集合个数为8B. 含的幸福集合个数为4
C. 不含1的幸福集合个数为4D. 元素个数为3的幸福集合有2个
【答案】BD
【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组．
含一组的幸福集合有，，，共3个；
含两组的幸福集合有，，，共3个；
含三组的幸福集合有，共1个，
所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误；
其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确，C错误；
元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确.
故选：BD.
11. 已知正数、、满足，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【详解】令，可得，，，
，故A正确；
，故B正确；
，，所以，得，
又，所以，得，所以，，故C不正确；
，故D正确；
故选：ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. ______．
【答案】##
【详解】，
故答案为：
13. 已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为______.
【答案】
【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，又，
，所以抛物线的焦点坐标为.
故答案为：.
14. 已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】易知函数图象如图所示，因为，
所以函数图象即为函数图象左移个单位长度，

当曲线与直线相切时，
令，即，
则，解得：，
故，恒成立时，由图像可知，.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数为偶函数．
（1）求的值；
（2）若函数，且恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由是偶函数得，
即，解得．
【小问2详解】
由（1）得，则，
因为恒成立，
即．
当时，，
因为，所以，
则，则，
因此，即，
故函数区间上单调递增，
则，
则原不等式等价于，解得，
故的取值范围是．
16. 已知中，分别为内角的对边，且，
（1）求角的大小；
（2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度．
【答案】（1）
（2）2
【小问1详解】
在中，由正弦定理及得：，
化简可得：，
由余弦定理得，
又，所以
【小问2详解】
是的角平分线，则，
由可得
因为，，即有，
故.
17. 如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），，，，.
（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
由于平面平面故
因为，所以底面为直角梯形，故，
过，且与相交于，
则，
又，
故,所以,
由于平面，，
所以平面，
【小问2详解】
由题意可知，过作的垂线，垂足为,连接,
由于平面平面故，
平面，
故平面，平面，故，
故为二面角的平面角，
所以从而.
18. 已知函数有两个不同的零点.
（1）证明：；
（2）当时，求的最大值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
，由，，所以在上单调递增，在上单调递减，要使有2个零点，
只需，得证；
【小问2详解】
由已知，，
设，由，则，
将代入，则，结合，
所以，
设，则，
设，则，，
由，则，即在上单调递增，，
所以，则在上单调递增，则，所以的最大值；
19. 已知有两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为．
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）求的数学期望．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【小问1详解】
当时，
因为，
所以，又，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
得到，即．
【小问2详解】
当时，，①
，②
由①－②得，，
而，可得，
结合题意得到，故，
则，递推可得，则，
而的可能取值为，
则，，
则的分布列为：
故．
0
1
2