四川省巴中市南江县实验中学2025~2026学年高二上学期入学考试数学试卷

这是一份四川省巴中市南江县实验中学2025~2026学年高二上学期入学考试数学试卷，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（ ）
A. B. C. 3D.
4. 为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）78，70，72，86，79，80，81，84，56，83，则这10人成绩的第80百分位数是（ ）
A 83B. 83.5C. 84D. 70
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在区间上单调，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
8. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等．图1为棱长为r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为r的正方体的八分之一，图3是底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖暅原理计算知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（ ）
A B. C. D.
二、多选题（本题共3小题．每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 在中，为边的中点，则（ ）
A B. C. D.
10. 若复数，则下列说法正确是（ ）
A. 当或时，z为实数
B. 若z为纯虚数，则或
C. 若复数z对应的点位于第二象限，则
D. 若复数z是方程的解，则
11. 如图，在边长为1的正方体中，点P在线段上运动，下列命题中正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 异面直线与直线所成角为定值
C. 在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形
D. 直线与平面所成角的余弦值的范围是
三、填空题（本题共3小题．每小题5分，共15分）
12. 计算________．
13. 已知球的半径为，则它的表面积为_________，体积为_________.
14. 已知向量，，的模长分别为2，1，1，记向量与的夹角为θ，，则的最大值为________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，若，与的夹角为．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值．
16. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）．
（1）求a的值；
（2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数；
（3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数）
17. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
18. 已知函数图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，.
（1）求的解析式；
（2）求在上的单调增区间；
（3）设，证明：函数在上必有零点.
19. 如图，已知四棱锥中，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为．

（1）证明平面PBO；
（2）求点P到平面ABCD的距离；
（3）求二面角余弦值．