宁夏吴忠市青铜峡市2025~2026学年高三上学期开学考试数学试卷（含解析）

这是一份宁夏吴忠市青铜峡市2025~2026学年高三上学期开学考试数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．1D．-1
4．现收集了7组观测数据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型一B．模型二C．模型三D．模型四
5．现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
6．下列式子中最小值为4的是（ ）
A．B．C．D．
7．函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是等差数列的前项和，公差，，若成等比数列，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．的根为和
B．函数的零点为和
C． D．
10．甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（ ）
A．四名同学看电影情况共有种
B．“每部电影都有人看”的情况共有72种
C． D．“四名同学最终只看了两部电影”的概率是
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减B．函数有两个零点
C．方程有且仅有1个解时m的取值范围为或
D．函数有极大值，无极小值
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在的二项展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）
13．某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛（这两个比赛不能同时参加）的概率分别为0.6，0.4，若甲参加跑步比赛获奖的概率为0.7，参加跳绳比赛获奖的概率为0.6，则甲获奖的概率为 ．．
14．已知函数有零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15（13分）．等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
16（15分）．“民政送温暖，老人有饭吃”．近年来，各级政府，重视提高老年人的生活质量.在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区，创建了“爱心食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．“爱心食堂”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人．用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为，当时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”．统计结果部分信息如下表：
(1)①完成上面列联表；
②能有多大（百分比）的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？
(2)用分层抽样在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中恰有2人是女性的概率：
17（15分）．某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩其中.通过计算得到与的相关系数.
(1)求与的线性回归方程；
(2)已知同学甲的此次数学成绩为分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过80分？
参考公式：，；相关系数.
18（17分）．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在时取得极值，求实数a的值；
(3)当时，求零点的个数.
19（17分）．作为影视打卡基地，都匀秦汉影视城推出了大影视博物馆：陈情令馆、庆余年馆、大秦馆、双世宠妃馆，馆内还原了影视剧中部分经典场景，更有丰富的、具有特色的影视剧纪念品供游客选择，国庆期间甲、乙等名同学准备从以上个影视馆中选取一个景点游览，设每个人只选择一个影视馆且选择任一个影视馆是等可能的，
(1)分别求“恰有人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率；
(2)设表示人中选择博物馆的个数，求的分布列和数学期望.
高三年级数学开学考答案
单选题
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对一个得2分，有选错的得0分.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12 21 13 0.66 14
详解
一、单选题：本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【解析】利用特称命题的否定是全称命题，直接写结果即可.
【详解】特称命题的否定是全称命题，故命题“”的否定是.
故选：A.
3．已知复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．1D．-1
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算
【分析】先求出，即可判断.
【详解】因为，所以，所以的虚部为1.
故选：C
4．现收集了7组观测数据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型一B．模型二C．模型三D．模型四
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】残差的计算
【分析】根据残差的带状宽度对拟合效果的影响，即可作出判断.
【详解】当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，拟合的精确度越好，拟合效果越好，对比四个残差图，可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄.
故选:D
5．现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
【答案】C
【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.
【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.
所以共有种不同安排方法.
故选：C
6．下列式子中最小值为4的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【分析】对于A，当时，有最大值；对于B，等号取不到，最小值不是；对于C，当时，有最大值；对于D，最小值为4．
【详解】对于A，当时，，不符合题意；
对于B，成立的条件为，不符合题意；
对于C，当时，，不符合题意；
对于D，；
故选：D
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用不等式求最值，属于中档题．
7．函数的单调减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】简单复合函数的导数、导数的加减法、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】利用导数求原函数的单调区间，注意原函数的定义域.
【详解】∵的定义域为，且，
令，解得，
∴函数的单调减区间是.
故选：D.
8．已知是等差数列的前项和，公差，，若成等比数列，则的最小值为
A．B．2C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】等差数列与等比数列综合应用
【解析】由成等比数列可得数列的公差，再利用等差数列的前项和公式及通项公式可得为关于的式子，再利用对勾函数求最小值.
【详解】∵成等比数列，
∴，解得：，
∴，
令，令，其中的整数，
∵函数在递减，在递增，
∴当时，；当时，，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基本量运算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意为整数，如果利用基本不等式求解，等号是取不到的.
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．的根为和
B．函数的零点为和
C．
D．
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】根据三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的关系，即可得出正确的选项.
【详解】关于的不等式的解集为，
，C选项正确；
且和是关于的方程的两根，
则 ，则，，故D不正确；
不等式解集的端点值就是函数的零点及方程的根，故A正确，B不正确.
故选：AC．
10．甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（ ）
A．四名同学看电影情况共有种
B．“每部电影都有人看”的情况共有72种
C．
D．“四名同学最终只看了两部电影”的概率是
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率
【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；将四名同学先分组，再分到三部电影可判断B；由条件概率可判断C；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项可判断 D.
【详解】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，
故四名同学的报名情况共有种，A正确；
对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，
再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，
故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误；
对于C，由已知有：，，
所以， C正确；
对于D， “四名同学最终只报了两个项目”的概率是，D正确.
故选：ACD.
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数有两个零点
C．方程有且仅有1个解时m的取值范围为或
D．函数有极大值，无极小值
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数（导函数）图象与极值的关系、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数
【分析】求函数的定义域与导数，分析函数的单调性与图象趋势，作出函数的大致图象，数形结合可判断各选项.
【详解】函数的定义域为.
则，
当时，，则在单调递增；
当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递减.
所以在处取极大值，极大值为且；
又当
当.
由此，作出函数的大致图象（如图）.
A项，当时，，，所以不是单调递减的，故A错误；
B项，由图象可知，函数的图象与轴有两个交点，即有两个零点，故B正确；
C项，由图象可知要使直线与的图象有且仅有一个公共点时，则，或，故C错误；
D项，函数在处取极大值，由图象可知有极大值，无极小值，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在的二项展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）
【答案】
【分析】根据二项式的展开式，求出指定项的系数.
【详解】展开式的第项为，
则当时，，所以项的系数为21.
故答案为：21.
13．某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛（这两个比赛不能同时参加）的概率分别为0.6，0.4，若甲参加跑步比赛获奖的概率为0.7，参加跳绳比赛获奖的概率为0.6，则甲获奖的概率为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.
【详解】事件：甲参加跑步比赛，事件：甲参加跳绳比赛，
事件：甲获奖，
则，，
，且互斥，
所以.
所以甲获奖的概率为.
故答案为：
14．已知函数有零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点
【解析】利用导数求出函数的单调性，函数在上递减，在上递增，根据单调性求出函数的最小值为，由解得结果即可.
【详解】因为，
所以，
由得，由得，
所以函数在上递减，在上递增，
所以时，函数取得最小值，
因为函数有零点，所以，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的零点，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于基础题.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为．
由已知得，
解得．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
所以
．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．
16．“民政送温暖，老人有饭吃”．近年来，各级政府，重视提高老年人的生活质量.在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区，创建了“爱心食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．“爱心食堂”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人．用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为，当时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”．统计结果部分信息如下表：
(1)①完成上面列联表；
②能有多大（百分比）的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？
(2)用分层抽样在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中恰有2人是女性的概率：
附：参考公式和临界值表，其中，．
【答案】(1)①表格见解析；②90%
(2)．
【难度】0.65
【知识点】完善列联表、卡方的计算、独立性检验解决实际问题、计算古典概型问题的概率
【分析】（1）①依题意补全列联表；②计算值和临界值比较，得到把握性；
（2）根据分层抽样，得到男性4人和女性2人，分别对男性与女性标号，利用古典概型求概率.
【详解】（1）①由题意，问卷调查人数为（人），其中，男性60人，女性40人．得完整列联表如下表：
②，而．
有的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关．
（2）由（1）知，对菜品的性价比“满意”的人群中有40名男性和20名女性，用分层抽样分别抽取男性4人和女性2人．
4人男性记为人女性记为．从6中抽取3人的所有结果为，，共20种不同结果，其中，同时含有的结果有4种．
抽取的3人中恰有2人是女性的概率为．
17．某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中.通过计算得到与的相关系数.
(1)求与的线性回归方程；
(2)已知同学甲的此次数学成绩为分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过80分？
参考公式：，；相关系数.
【答案】(1)
(2)同学甲物理成绩不会超过分.
【难度】0.65
【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、根据回归方程进行数据估计
【分析】（1）求出、的值，结合题干中的数据求出、的值，即可得出回归直线的方程；
（2）将代入回归直线方程，即可得出结论.
【详解】（1）由题中数据可得，，，
由得，
，
所以，
所以线性回归方程为.
（2）当时，，即同学甲物理成绩不会超过分.
18．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在时取得极值，求实数a的值；
(3)当时，求零点的个数.
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数
【分析】（1）求导计算，，得到切线方程.
（2）求导得到导函数，根据解得，再计算函数的单调区间，验证得到答案.
（3）求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算极值，再根据得到在上有且仅有一个零点，再根据当 时，，结合函数的单调区间得到答案.
【详解】（1），定义域为，，
，，故切线方程为.
（2）定义域为，
.
由已知解得.
当时，.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数在时取得极小值，其极小值为，符合题意，所以.
（3）令，由得.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
函数在时取得极小值，其极小值为.
因为，所以 ，，所以，
所以，而，
又因为，所以，所以.
根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点.
因为.
令，得，，故.
所以当 时，.
根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点，
综上所述：当时，有两个零点.
【点睛】关键点睛：本题考查了切线问题，根据极值求参数，利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，找点计算， 时，，结合零点存在定理是解题的关键，需要熟练掌握.
19．作为影视打卡基地，都匀秦汉影视城推出了大影视博物馆：陈情令馆、庆余年馆、大秦馆、双世宠妃馆，馆内还原了影视剧中部分经典场景，更有丰富的、具有特色的影视剧纪念品供游客选择，国庆期间甲、乙等名同学准备从以上个影视馆中选取一个景点游览，设每个人只选择一个影视馆且选择任一个影视馆是等可能的，
(1)分别求“恰有人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率；
(2)设表示人中选择博物馆的个数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)“恰有人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率分别为、
(2)分布列见解析，期望为
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计数原理与概率综合
【分析】（1）设“恰有人选择庆余年馆”为事件，设“甲选择庆余年且乙不选择陈情馆”为事件，求出所有可能选择的方式的种数，利用排列组合思想求出事件、所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得这两个事件的概率；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）解：所有可能选择的方式有种，设“恰有人选择庆余年馆”为事件，
则其余人每人都有种选择，所以，，
设“甲选择庆余年且乙不选择陈情馆”为事件，
则乙有种选择，其余人每人都有种选择，则，
则“恰有人选择庆余年馆”的概率为，
“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率为.
（2）解：由题可知：的所有可能的值为、、、，
则，，
，，
则的分布列为
所以，.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
A
A
C
D
C
D
D
A
题号
9
10
11
选项
AC
ACD
BD
满意
不满意
合计
男
40
女
20
合计

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
满意
不满意
合计
男
40
20
60
女
20
20
40
吕计
60
40
100