2025-2026学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，复数z=21+i−i，则z⋅z−=( )
A. 5B. 3C. 5D. 2
2.已知向量a=(2,1)，b=(−2,4)，则|a−b|=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是( )
A. 至少有2个红球B. 至少有2个黄球C. 都是黄球D. 至多1个红球
4.某校对全校300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于60分的人数为( )
A. 270B. 240C. 180D. 150
5.在△ABC中，BC=2，AC=1+ 3，AB= 6，则A=( )
A. 45°B. 60°C. 120°D. 135°
6.如图1，在直角梯形ABCD中，BC/​/AD，AB⊥AD，BC=12，AD=13，AB=2 3，E为线段BC上的一点，BE=9，过E作AB的平行线交AD于F，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直得到六面体ABCDFE，如图2，则六面体ABCDFE的体积为( )
A. 33 32B. 27 3C. 30 3D. 33 3
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A. π2B. π3C. π4D. π6
8. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为( )
A. 3πB. 4πC. 9πD. 12π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据如下：2，3，4，4，7，则下列说法中正确的是( )
A. 这组数据的极差为5B. 这组数据的方差为2.5
C. 这组数据的众数等于平均数D. 这组数据的第40百分位数为3.5
10.已知事件A，B，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则( )
A. 事件A与事件B互为对立事件
B. 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=0.9
C. 若事件A与事件B互斥，则P(AB)=0.2
D. 若P(A−B−)=0.3，则事件A与事件B相互独立
11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=2 2，D为B1C1的中点，则( )
A. A1D⊥B1C
B. B1C⊥平面A1BD
C. AC1//平面A1BD
D. 直线AC1与B1C所成角为π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.|−3+4i|=______．
13.设向量a，b夹角的余弦值为13，且|a|=1，|b|=3，则(2a+b)⋅b= ______．
14.如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足CD= 2AB，cs∠CAD=2 55，则∠ADC的大小为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取
100名志愿者，他们的年龄情况如表所示：
(Ⅰ)频率分布表中的①②位置应填什么数据？
(Ⅱ)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数；
(Ⅲ)现用比例分配的分层随机抽样从[30,35)、[35,40)、[40,45)的样本中共抽取n名志愿者，已知从[40,45)中抽取了2人，求n的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，b2+c2−a2=4 23bc．
(1)求csA的值；
(2)若3csinA= 2asinB，且△ABC的面积S=2 2，求c的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，PA=2．
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)求二面角P−CD−A的正弦值．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=3．
(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求点B到平面PAD的距离．
19.(本小题17分)
在一次奥运会男子乒乓球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛，决赛采取7局4胜制.已知每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛结果互不影响．
(1)求只需进行四局比赛的概率；
(2)已知前两局比赛甲均告负，求甲最终能逆转获得冠军的概率．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.ACD
10.BD
11.AC
12.5
13.11
14.3π4
15.(Ⅰ)①应填0.20×100=20，②应填35100=0.35；
(Ⅱ)因为[25,30)区间的频率为0.20，
所以该组的高为0.25=0.04，
所以补全频率分布直方图如下：
这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数为0.35×500=175；
(Ⅲ)因为[30,35)、[35,40)、[40,45)的人数比例为0.07：0.06：0.02=7：6：2，
所以从[40,45)中抽取了2人，从[30,35)、[35,40)中分别抽取了7人和6人，
所以n=7+6+2=15．
16.(1)因为b2+c2−a2=4 23bc，
由余弦定理可得b2+c2−a2=2bccsA，
可得csA=2 23；
(2)因为3csinA= 2asinB，
由正弦定理得3ac= 2ab，
所以b=3 22c，
由(1)可得sinA= 1−cs2A= 1−89=13，
因为△ABC的面积为S=12bcsinA=2 2，
可得bc=12 2，
又因为b=3 22c，可得3 22c2=12 2，
可得c2=8，
所以c=2 2．
17.(1)因为AB=BC=1，AB⊥BC，所以AC= 2，∠BAC=45°，
又AB⊥BC，AD//BC，所以∠DAC=45°，
所以CD2=CA2+DA2−2CA⋅DA⋅cs∠DAC=2+4−2× 2×2× 22=2．
所以CD= 2．
因为AD2=AC2+CD2，
所以△ACD为直角三角形，且CD⊥CA．
又因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD．
又因为PA，CA⊂平面PAC，PA∩CA=A，
所以CD⊥平面PAC．
(2)因为CD⊥平面PAC，CA，CP⊂平面PAC，
所以CD⊥CP，CD⊥CA．
所以∠PCA即为二面角P−CD−A的平面角．
在Rt△PAC中，PA⊥AC，PA=2，AC= 2，
所以PC= PA2+AC2= 6，
所以sin∠PCA=PAPC=2 6= 63．
即二面角P−CD−A的正弦值为 63．
18.(1)证明：因为PC⊥底面ABCD，
所以PC⊥AD，又CD⊥AD，且PC∩CD=C，
所以AD⊥平面PCD，又AD⊂平面PAD，
所以平面PCD⊥平面PAD；
(2)根据题意建系如图：
则B(0,2,0)，A(2,2,0)，D(2,0,0)，P(0,0,3)，
所以BA=(2,0,0),AP=(−2,−2,3),AD=(0,−2,0)，
设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则AP⋅n=0AD⋅n=0，即−2x−2y+3z=0−2y=0，取n=(3,0,2)，
所以点B到平面PAD的距离为d=|BA⋅n||n|=6 13=6 1313．
19.(1)设事件Ai=“甲第i局都获胜”，i=1，2，3，4，5，6，7，
则P(Ai)=23, P(Ai−)=1−23=13(i=1,2,3,4,5,6,7)，
只需进行四局比赛包含两种情况：
①甲能胜四局：A1A2A3A4；②乙连胜四局：A1−A2−A3−A4−，
设事件M=“只需进行四局比赛”，则
P(M)=P(A1A2A3A4)+P(A1−A2−A3−A4−)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1−)P(A2−)P(A3−)P(A4−)=(23)4+(13)4=1781；
(2)设事件N=“前两局比赛甲均告负，甲最终能逆转获得冠军”，
由于前两局比赛甲均告负，所以接下来的比赛甲最多可以负一局，包含两种情况：
①甲接下来连胜四局：A3A4A5A6；
②接下来五局比赛中甲4胜1负(负的一局为第3～6局中某一局)：
A3−A4A5A6A7, A3A4−A5A6A7, A3A4A5−A6A7, A3A4A5A6−A7，
所以P(N)=P(A3A4A5A6+A3−A4A5A6A7+A3A4−A5A6A7+A3A4A5−A6A7+A3A4A5A6−A7)
=P(A3A4A5A6)+P(A3−A4A5A6A7)+P(A3A4−A5A6A7)+P(A3A4A5−A6A7)+P(A3A4A5A6−A7)=(23)4+4×(23)4×13=112243．
分组(单位：岁)
频数
频率
[20,25)
5
0.05
[25,30)
①
0.20
[30,35)
35
②
[35,40)
30
0.30
[40,45)
10
0.10
总计
100
1.00