2025-2026学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（上）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，复数z=21+i−i，则z⋅z−=( )
A. 5B. 3C. 5D. 2
2.已知向量a=(2,1)，b=(−2,4)，则|a−b|=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是( )
A. 至少有2个红球B. 至少有2个黄球C. 都是黄球D. 至多1个红球
4.某校对全校300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于60分的人数为( )
A. 270B. 240C. 180D. 150
5.在△ABC中，BC=2，AC=1+ 3，AB= 6，则A=( )
A. 45°B. 60°C. 120°D. 135°
6.如图1，在直角梯形ABCD中，BC/​/AD，AB⊥AD，BC=12，AD=13，AB=2 3，E为线段BC上的一点，BE=9，过E作AB的平行线交AD于F，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直得到六面体ABCDFE，如图2，则六面体ABCDFE的体积为( )
A. 33 32B. 27 3C. 30 3D. 33 3
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A. π2B. π3C. π4D. π6
8. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为( )
A. 3πB. 4πC. 9πD. 12π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据如下：2，3，4，4，7，则下列说法中正确的是( )
A. 这组数据的极差为5B. 这组数据的方差为2.5
C. 这组数据的众数等于平均数D. 这组数据的第40百分位数为3.5
10.已知事件A，B，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则( )
A. 事件A与事件B互为对立事件
B. 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=0.9
C. 若事件A与事件B互斥，则P(AB)=0.2
D. 若P(A−B−)=0.3，则事件A与事件B相互独立
11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=2 2，D为B1C1的中点，则( )
A. A1D⊥B1C
B. B1C⊥平面A1BD
C. AC1//平面A1BD
D. 直线AC1与B1C所成角为π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.|−3+4i|=______．
13.设向量a，b夹角的余弦值为13，且|a|=1，|b|=3，则(2a+b)⋅b= ______．
14.如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足CD= 2AB，cs∠CAD=2 55，则∠ADC的大小为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取
100名志愿者，他们的年龄情况如表所示：
(Ⅰ)频率分布表中的①②位置应填什么数据？
(Ⅱ)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数；
(Ⅲ)现用比例分配的分层随机抽样从[30,35)、[35,40)、[40,45)的样本中共抽取n名志愿者，已知从[40,45)中抽取了2人，求n的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，b2+c2−a2=4 23bc．
(1)求csA的值；
(2)若3csinA= 2asinB，且△ABC的面积S=2 2，求c的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，PA=2．
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)求二面角P−CD−A的正弦值．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=3．
(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求点B到平面PAD的距离．
19.(本小题17分)
在一次奥运会男子乒乓球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛，决赛采取7局4胜制.已知每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛结果互不影响．
(1)求只需进行四局比赛的概率；
(2)已知前两局比赛甲均告负，求甲最终能逆转获得冠军的概率．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：因为i为虚数单位，复数z=21+i−i，
即z=2(1−i)(1+i)(1−i)−i=1−i−i=1−2i，
则z−=1+2i，所以z⋅z−=(1−2i)(1+2i)=5．
故选：A．
根据复数的乘法、除法运算即可．
本题主要考查复数的基本运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：a−b=(4,−3)，
故a−b= 42+(−3)2=5，
先计算处a−b的坐标，再利用坐标模长公式即可．
本题主要考查利用向量坐标求模，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，
由题意得若发生“至少有1个红球”，
则取出红球的数量为1个，2个，3个，
由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球，
即取到的都是黄球，故C正确．
故选：C．
先对至少有1个红球进行情况分析，再结合对立事件的定义求解即可．
本题考查对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为(m+2m+0.015+0.020×2+0.030)×10=1，解得m=0.005，
所以些同学的数学成绩大于等于60分的人数为[1−10×(0.005+0.015)]×300=240．
故选：B．
根据频率之和为1得到方程，求出m=0.005，进而求出数学成绩大于等于60分的人数．
本题考查频率分布直方图的性质，属基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为BC=2，AC=1+ 3，AB= 6，
所以由余弦定理得：csA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=(1+ 3)2+6−42×(1+ 3)× 6=2(3+ 3)2 2(3+ 3)= 22，
因为0°