2025年高考数学真题第一轮专项练习：集合与常用逻辑用语（含解析）

这是一份2025年高考数学真题第一轮专项练习：集合与常用逻辑用语（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．(2025·全国一卷)设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A．0B．3C．5D．8
2．(2025·全国二卷)已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
3. (2025·北京)集合，则（ ）
A. B. C. D.
4．(2025·天津)已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2025·天津)设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6. (2025·北京)已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题
7．(2025·上海)已知全集，集合，则 ．
解答题
8. (2025·北京)，从M中选出n个有序数对构成一列：．相邻两项满足：或，称k列．
（1）若k列的第一项为，求第二项．
（2）若为k列，且满足i为奇数时，：i为偶数时，；判断：与能否同时在中，并说明；
（3）证明：M中所有元素都不构成k列．
集合与常用逻辑用语
一、单选题
1．(2025·全国一卷)设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A．0B．3C．5D．8
【答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为，所以， 中的元素个数为，
故选：C．
2．(2025·全国二卷)已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后结合交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：D.
3. (2025·北京)集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为，所以，
故选：D.
4．(2025·天津)已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【详解】由，则，
集合，
故
故选：D.
5．(2025·天津)设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【详解】由，则“”是“”的充分条件；
又当时，，可知，
故“”不是“”的必要条件，
综上可知，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. (2025·北京)已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
二、填空题
7．(2025·上海)已知全集，集合，则 ．
【答案】/
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知.
故答案为：.
解答题
8. (2025·北京)，从M中选出n个有序数对构成一列：．相邻两项满足：或，称k列．
（1）若k列的第一项为，求第二项．
（2）若为k列，且满足i为奇数时，：i为偶数时，；判断：与能否同时在中，并说明；
（3）证明：M中所有元素都不构成k列．
【答案】（1）或
（2）不能，理由见解析
（3）证明过程见解析
【分析】（1）根据新定义即可得解；
（2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论；
（3）假设全体元素构成一个列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
【小问1详解】
根据题目定义可知，或，
若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或；
【小问2详解】
假设二者同时出现在中，由于列取反序后仍是列，故可以不妨设在之前.
显然，在列中，相邻两项横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中.
【小问3详解】
法1：若中的所有元素构成列，考虑列中形如的项，
这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个，
而，因为只能6由2来，3只能由7来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，
即对于16个，有12个与之相对应，矛盾．
综上，M中所有元素都无法构成列．
法2：全体元素构成一个列，则.
设，.
则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中.
如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于.
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和，
否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时.
从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于；
这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于.
如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况.
这意味着必定存在，使得.
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）.
但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得.
从而有.
这就得到.
再设，.
则同理有.
这意味着.
从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾.
所以全体元素不能构成一个列.