2025~2026学年四川省广安中学高三上学期8月月考数学试卷（含解析）

这是一份2025~2026学年四川省广安中学高三上学期8月月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了 已知集合，,则， 不等式的解集是， 《庄子·天下》中有， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
1. 甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（ ）
A. 甲得分的平均数比乙的大B. 乙的成绩更稳定
C. 甲得分的中位数比乙的大D. 甲的成绩更稳定
2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知集合，,则（ ）
A. B.
C. D.
4. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. 或D.
5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（ ）
A. B. C. 1D. 2
6. 已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是公差为1的等差数列，是其前n项和，若，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
8. 在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C D.
10. 已知，则（ ）
A. 曲线关于点对称B. 1是函数极大值点
C. 当时，D. 不等式的解集为
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（ ）
A. B. 的离心率为
C. 的面积为D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，则__________.
13. 函数的图象在处的切线方程是____________．
14. 已知正三棱锥的所有棱长都为，则以PA为直径的球的球面被侧面PBC所截得曲线的长为___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值以及相应的的值；
（3）若，求的值.
16. 已知椭圆的左焦点为，直线l：与椭圆C交于A、B两点．
（1）求线段AB的长；
（2）求的面积．
17. 如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点.
（1）求证平面；
（2）若，
（i）求证平面；
（ii）当为何值时，直线与平面所成角正弦值为.
18. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）若为函数极小值点，求a的取值范围．
（3）曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由．
19. 设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列．
（1）已知数列是“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式；
（2）已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值；
（3）证明：不存在“等比关联数列”．
四川省广安中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题
一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1. 甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（ ）
A. 甲得分的平均数比乙的大B. 乙的成绩更稳定
C. 甲得分的中位数比乙的大D. 甲的成绩更稳定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图形中的数据，可求出甲乙的平均数，中位数，分析数据的离散程度，确定方差大小，即可求解.
【详解】甲、乙得分的平均数均为13，中位数均为13，
甲得分的方差明显比乙大.
故选:B
【点睛】本题考查数据的处理以及数据的分析，属于基础题.
2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用复数的除法运算化简z，再利用复数的几何意义求复数对应的点.
【详解】由已知得，∴z在复平面内对应的点的坐标为，
该点第四象限.
故选：D
3. 已知集合，,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合的补集，再求两集合的交集.
【详解】由可得，
则.
故选：B.
4. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．
【详解】解：不等式可转化为，即，即，
所以不等式等价于解得：，
所以原不等式的解集是
故选：B
5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理可求得，再根据三角形的面积公式，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，所以，
所以的面积为.
故选：C.
6. 已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把抛物线方程化为标准方程可得结果.
【详解】∵抛物线的方程为，
∴标准方程为，
∴抛物线的准线方程为.
故选：A.
7. 已知是公差为1的等差数列，是其前n项和，若，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助等差数列的性质计算即可得.
【详解】因为，所以，
由等差数列的性质得，所以，所以．
故选：A.
8. 在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设化简可得，，从而将向量等式化简，根据平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】，
，
在中，
，
，
为线段上的一点，，且易得，
.
当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由已知可得，逐个验证选项即可.
【详解】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则，
，故A错误；，故B正确；
，，则，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
10. 已知，则（ ）
A. 曲线关于点对称B. 1是函数的极大值点
C. 当时，D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】是由奇函数的图象向下平移1个单位长度而得，进而可得A正确；利用导数求的函数的最值即可得到B错误；由在上单调递减，利用单调性即可判断C选项；D选项，根据B选项得到，再得到函数的单调性，从而得到不等式，求出解集.
【详解】由题意得曲线是由奇函数的图象向下平移1个单位长度而得，故曲线的对称中心为，故A正确；
，易得在和上单调递增，在上单调递减，所以为的极大值点，1为的极小值点，故B错误；
因为在上单调递减，当时，，所以，故C正确；
由上知，易求，
所以，所以，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（ ）
A. B. 的离心率为
C. 的面积为D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线的定义、标准方程和几何性质，结合选项计算依次判断即可.
【详解】A：因为，解得，故A正确；
B：双曲线，所以，
的离心率，故B错误；
C：因为，所以，
则的面积为，故C正确；
D：所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示求出x，然后由向量的模的坐标表示可得.
【详解】因为，所以，解得，
所以.
故答案为：
13. 函数的图象在处的切线方程是____________．
【答案】
【解析】
【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，求出函数在处的切线斜率，进而可得切线方程.
【详解】由已知，得，所以，
所以所求切线方程，即.
故答案为：.
14. 已知正三棱锥的所有棱长都为，则以PA为直径的球的球面被侧面PBC所截得曲线的长为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】作出辅助线，找到球面被侧面PBC所截得曲线是一段圆弧，求出弧长.
【详解】如图，
分别取PA，BC的中点为O，D，连接AD，PD.
则，，，所以平面PAD.
又平面PBC，所以平面平面PBC，交线为PD，
过A作，垂足为E，则平面PCD.
过O作.垂足为M，所以平面PCD，
由于平面截球所得的为圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直，
所以以PA为直径的球的球面被侧面PBC所截得曲线是以点M为圆心的一段圆弧.
易知E是的中心，M是PE的中点，所以M，E分别是线段PD的两个三等分点，
即，所以所求曲线对应劣弧上的圆周角为，
所以对应的圆心角为，
易知，
所以所截得曲线长度.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值以及相应的的值；
（3）若，求的值.
【答案】（1）；（2）最小值，；最大值3，；（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦函数的周期，代入求解即可；
（2）由，则，再求函数的值域即可；
（3）由已知有，又，再结合诱导公式化简求值即可.
【详解】解：（1）因为函数的最小正周期为，
由，得
（2），因为，所以，
从而.
于是，当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值3.
（3）因为，所以.
故

.
【点睛】本题考查了三角函数的周期，重点考查了三角函数的最值的求法及给值求值问题，属中档题.
16. 已知椭圆的左焦点为，直线l：与椭圆C交于A、B两点．
（1）求线段AB的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把直线方程代入椭圆方程，求得交点坐标，可求线段AB的长；
（2）结合（1）的结论，利用点到直线距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
联立，或，
当时，，
当时，，不妨设，
；
【小问2详解】
由，

点到直线的距离为，
所以的面积为.
17. 如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点.
（1）求证平面；
（2）若，
（i）求证平面；
（ii）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）由题可证得四点共面，然后由面面平行性质得到线线平行，从而可求解
【小问1详解】
证明：四点共面，
平面平面ABCD，平面平面，平面平面，
平面平面平面.
【小问2详解】
（i）证明：如图所示，
连接平面平面，，
又平面平面平面，
又平面平面.
（ii）如图所示，在平面内作直线垂足为，
连接，设.
平面，
平面即为直线与平面所成角.
平面，
平面平面，
，
当时，直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）若为函数的极小值点，求a的取值范围．
（3）曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解；
（2）按值取正负零分别讨论在0左右两侧值的正负而得解；
（3）假定曲线存在两个不同的点关于轴对称，转化为曲线上存在两个不同的点关于轴对称，利用导数判断单调性即可得解.
【小问1详解】
，，，
所以曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
，
①若，则，单调递增，无极值，不符合题意．
②若，则当时，，，所以不可能为极小值点，不符合题意．
③若，令，则，
当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，
则，又，当时，．
若，则，
当时，，当时，，所以为函数的极小值点，符合题意．
若，因为在上单调递增，的值从增到0，
所以直线与曲线在上的图象有公共点，即存在使得，
当时，，即，
所以存，使得当时，，
当时，，此时为函数的极小值点，符合题意．
综上，.
【小问3详解】
不存在，理由如下．
假定曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为，，，
则有，即，
化简得．
令，则，
由知函数在上单调递增，
由得，即，这与矛盾，
所以曲线上不存在两个不同的点关于y轴对称.
19. 设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列．
（1）已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式；
（2）已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值；
（3）证明：不存在“等比关联数列”．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据定义计算出的前三项，即可写出等比数列的通项公式；
（2）先计算出及的项数，再由的公比为，写出确定的，进而求出，再分两种情况讨论的可能性，从而得到使的前3项成等比数列的所有可能情况，进而求出概率；
（3）先计算出的项数，再由的公比为，写出确定的，进而求出，再求出确定的，推理出，，是连续三项，从而推理出是第4项或第7项，进而分两种情况讨论即可得证.
【小问1详解】
因为，，，
由定义可知，，
故数列的通项公式为；
【小问2详解】
因为中4项均不相同，所以有种，有项，
假设，则，，，．
设的公比为，则，
又数列的第三项，第四项，
或第三项，第四项，
所以，
且，得，且，
或，
且，得，且，
这两种情况，不能同时成立，使得的前3项为等比数列有4种情况，
故．
【小问3详解】
当时，假设的各项从小到大排列，此时数列有项，
则，，，，
因为是等比数列，所以，即，所以．
设公比为，则，所以，
所以，，
剩余四项为，，，，
又公比，所以，，是连续三项，因此是第4项或第7项，
当时，，所以，即，不符合题意；
当时，，所以，即，不符合题意；
因此当时，不存在“等比关联数列”．