上海市复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

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2024.11
一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分，
1. 已知集合，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由集合交集可得答案.
【详解】由交集定义，结合，则.
故答案为：
2. 已知关于的方程的两实根分别为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据韦达定理的应用即可求解.
【详解】由题意知，
则.
故答案为：
3. 已知，，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用不等式的性质求解即可.
【详解】因为，所以
又，两式相加可得
故答案为：
4. 已知，，则__________.（结果用表示）
【答案】
【解析】
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
5. 关于的不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分式不等式转化为一元二次不等式计算即可.
【详解】.
故不等式的解集为.
故答案为：.
6. 某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为__________.
【答案】41
【解析】
【分析】由题可得只有数学不低于80分，只有物理不低于80分的人数，即可得答案.
【详解】由题，只有数学不低于80分的人数为，
只有物理不低于80分的人数为，
则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为.
故答案为：
7. 若正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】由题意可得，，
当且仅当时，取到最小值，
所以的最小值为，
故答案为：
8. 关于的不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据指数函数的性质，把原不等式转化成，再通过分类讨论去掉绝对值符号，从而求得不等式的解集．
【详解】，
当时，，所以此时不等式无解；
当时，；
当时，，所以此时不等式无解.
综上可知，原不等式的解集为.
故答案为：
9. 已知幂函数的图象过点，则的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】先由幂函数定义结合它图象上的点把表达式求出来，然后根据单调性、偶函数性质解表达式即可.
【详解】依题意，设，则，解得，于是得，
显然是偶函数，且在上单调递增，
而，
即有，解得或，
所以的解集为.
故答案为：.
10. 已知，若对任意的和至少有一个的值非负，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出和可以均为负数时，的取值范围，再求其补集，可得问题答案.
【详解】由得：或.
此时和可以均为负数.
利用补集的思想，所以和至少有一个的值非负，
故答案为：
11. 已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可.
【详解】由题意可知：方程有且仅有一解，
等价于有一个不等于3的实数解，
1.当时，解，满足题意；
2.当时，只有一解时，
则，解得，
若，则，解得，符合题意；
3.当时，且有两解但3是方程的解，
故，解得；
综上所述，实数取值集合为.
故答案为：.
12. 定义：为实数中较小实数.已知，其中均为正实数，则的最大值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用不等式放缩消元，可得，这样就化为同变量的取值分析，从而先研究出，再分析出最大值，即可.
【详解】均为正实数，，
当，即时，，即，
，
当时，取到最大值；
当时，；
综上所述，的最大值为.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 设，则“”是“”的（ ）条件.
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充分必要D. 既非充分又非必要
【答案】B
【解析】
【分析】由解得，根据包含关系分析充分、必要条件.
【详解】若，则，解得，
显然是的真子集，
所以“”是“”必要不充分条件.
故选：B.
14. 已知，则下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断A，应用幂函数及指数函数的单调性判断C，D，应用特殊值法判断B.
【详解】对于A，因为，所以，故正确；
对于B，若，则，故不正确；
对于C，因为在上单调递增，
所以，可得，故正确；
对于D，因为，所以，
又因为在上为单调递减函数，
所以，故正确；
故选：B.
15. 十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（ ）
A. 对任意正整数，关于的方程都有正整数解
B. 对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
C. 存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
D. 存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得正确的选项.
【详解】命题为全称命题，
则命题的否定为：存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解，
故选：D.
16. 设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“ ”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集，，，，
A. 命题①和命题②都成立
B. 命题①和命题②都不成立
C. 命题①成立，命题②不成立
D. 命题①不成立，命题②成立
【答案】A
【解析】
【详解】命题①显然正确，通过如下文氏图亦可知表示的区域不大于
的区域，故命题②也正确，故选A.
考点：集合的性质
三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据交集的定义即可求得结果.
（2）由，得到,利用子集的定义即可得到结果.
【小问1详解】
小问2详解】
18. 已知指数函数，满足.
（1）求函数的解析式；
（2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根题意设且，解出即可；
（2）换元令，结合指数函数值域转化为一元二次方程有两个不等的正根求解即可.
【小问1详解】
设且，
由，可得，又，，
.
【小问2详解】
由（1）知，
又方程有两个不同的实数解，
有两个不同的实数解，设，
有两个不同的正实数解，
，解得，
实数的取值范围为.
19. 现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好
（1）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由.
【答案】（1）为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米.
（2）变好了，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意列不等式求的最小值并求此时的值；
（2）设列不等式组化简求解；设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解.
【小问1详解】
设矩形的另一边长为，由三角形相似得，且，
所以，
又矩形面积
设地板面积为，解不等式组，解得，
故当时，窗户面积最小，
此时由（1）可得或，
故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米.
【小问2详解】
设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），
由题意得：，则，
因，
所以.
又，所以，
因此，即，
所以窗户和地板同时增加相等似面积，采光条件变好了.
20. 设函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；
（3）解关于的不等式：.
【答案】（1）2 （2）：
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值；
（2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集；
（3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可.
【小问1详解】
由题意知，是方程的两个根，
则，则.
【小问2详解】
，
则对于实数时恒成立，
则，即，
解得，∴
则的取值范围为.
【小问3详解】
依题意，等价丁，
当时，不等式可化为，解集为.
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集；
当时，解集为.
21. 设数集满足：①；②任意且，有，则称数集对于乘法封闭.
（1）判断集合是否对于乘法封闭，并说明理由；
（2）证明：集合对于乘法封闭；
（3）求所有对于乘法封闭的三元素集.
【答案】（1）是，不是；理由见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据集合乘法封闭的定义可判断两个集合是否乘法封闭；
（2）根据集合乘法封闭的定义可证对于乘法封闭；
（3）对于三元素集，不失一般性，不妨设，根据乘法封闭的性质可判断只能取中的两个不同数，分类讨论后可求所有不同的三元素集.
【小问1详解】
对于集合，
当时，，所以集合对于乘法封闭；
对于集合，其元素均为整数，满足条件①，
又因为，满足条件②，
所以集合对于乘法封闭.
【小问2详解】
证明：对于集合，
因为任意，所以满足条件①；
又因为任意且，所以满足条件：②，
故集合对于乘法封闭.
【小问3详解】
任意.
证明：对于三元素集，不失一般性，不妨设，
当时，，与三元素集矛盾，所以；
当时，，与三元素集矛盾，所以.
所以只能取中两个不同数.
不妨设，
对于集合，因为其元素均为整数，所以满足条件①，
又因为，所以满足条件②，
所以集合对于乘法封闭.
对于集合，当时，.
对于集合，当时，
综上，所有对于乘法封闭的三元素集.
【点睛】思路点睛：对于集合新定义问题，我们可以根据定义展开讨论，而对于集合的存在性问题，有时为了便于讨论，可以假设元素的大小关系.